4.6: Distancia de un punto a una línea

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114611

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Supongamos que se nos da un punto$P$ y una línea$\overleftrightarrow{AB}$ como en la Figura$\PageIndex{1}$. Nos gustaría encontrar el segmento de línea más corto que se pueda dibujar desde$P$ hasta$\overleftrightarrow{AB}$.

Figura$\PageIndex{1}$: Punto$P$ y Línea$\overleftrightarrow{AB}$.

Primero probaremos un teorema:

Teorema$\PageIndex{1}$

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es más grande que cualquiera de las piernas. En Figura$\PageIndex{1}$,$c>a$ y$c>b$. (El símbolo “>” significa “es mayor que”.)

Figura$\PageIndex{2}$:$c$ es mayor que cualquiera$a$ o$b$.

Prueba

Por el Teorema de Pitágoras,

$c = \sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt{a^2} = a.$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt{b^2} = b.$

Ahora podemos dar la respuesta a nuestra pregunta:

Teorema$\PageIndex{2}$

La perpendicular es el segmento de línea más corto que se puede dibujar de un punto a una línea recta.

En$\PageIndex{3}$ la Figura el segmento de línea más corto de$P$ a$\overleftrightarrow{AB}$ es$PD$. Cualquier otro segmento de línea, como$PC$, debe ser más largo.