4.6: Distancia de un punto a una línea

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Supongamos que se nos da un punto$P$ y una línea$\overleftrightarrow{AB}$ como en la Figura$\PageIndex{1}$. Nos gustaría encontrar el segmento de línea más corto que se pueda dibujar desde$P$ hasta$\overleftrightarrow{AB}$.

Figura$\PageIndex{1}$: Punto$P$ y Línea$\overleftrightarrow{AB}$.

Primero probaremos un teorema:

Teorema$\PageIndex{1}$

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es más grande que cualquiera de las piernas. En Figura$\PageIndex{1}$,$c>a$ y$c>b$. (El símbolo “>” significa “es mayor que”.)

Figura$\PageIndex{2}$:$c$ es mayor que cualquiera$a$ o$b$.

Prueba

Por el Teorema de Pitágoras,

$c = \sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt{a^2} = a.$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt{b^2} = b.$

Ahora podemos dar la respuesta a nuestra pregunta:

Teorema$\PageIndex{2}$

La perpendicular es el segmento de línea más corto que se puede dibujar de un punto a una línea recta.

En$\PageIndex{3}$ la Figura el segmento de línea más corto de$P$ a$\overleftrightarrow{AB}$ es$PD$. Cualquier otro segmento de línea, como$PC$, debe ser más largo.