5.3: Aplicaciones de la trigonometría

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La trigonometría tiene muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. En esta sección presentaremos solo algunos ejemplos de topografía y navegación.

El ángulo realizado por la línea de visión de un observador en el suelo hasta un punto por encima de la horizontal se denomina ángulo de elevación. En la Figura$\PageIndex{1}$,$\angle BAC$ se encuentra el ángulo de elevación.

Figura$\PageIndex{1}$: El ángulo de elevación.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

En un punto a 50 pies de un árbol el ángulo de elevación de la parte superior del árbol es$43^{\circ}$. Encuentra la altura del árbol al décimo de pie más cercano.

$clipboard_eb172ae95cdf1e7bc1541573428478171.png$

Solución

Dejar$x=$ altura de árbol.

$\begin{array} {rcl} {\tan 43^{\circ}} & = & {\dfrac{x}{50}} \\ {.9325} & = & {\dfrac{x}{50}} \\ {(50)(.9325)} & = & {\dfrac{x}{50}(50)} \\ {46.6250} & = & {x} \\ {46.6} & = & {x} \end{array}$

Respuesta:$x = 46.6$ pies.

El ángulo hecho por la línea de visión de un observador por encima de un punto en el suelo se llama ángulo de depresión. En la Figura$\PageIndex{2}$,$\angle ABD$ se encuentra el ángulo de depresión.

Figura$\PageIndex{2}$: El ángulo de depresión

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Desde un avión a 5000 pies sobre el suelo el ángulo de depresión de un aeropuerto es$5^{\circ}$. ¿A qué distancia está el aeropuerto a los cien pies más cercanos?

$2020-11-24 1.05.54.png$

Solución

Dejar$x =$ distancia al aeropuerto. $\angle ABC = 85^{\circ}$.

$\begin{array} {rcl} {\cos 85^{\circ}} & = & {\dfrac{5000}{x}} \\ {.0872} & = & {\dfrac{5000}{x}} \\ {.0872x} & = & {5000} \\ {x} & = & {\dfrac{5000}{.0872} = 57,300} \end{array}$

Respuesta: 57,300 pies

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Una carretera se eleva 30 pies en una distancia horizontal de 300 pies, Encuentra al grado más cercano el ángulo que hace la carretera con la horizontal.

$2020-11-24 1.09.19.png$

Solución

$\begin{array} {rcl} {\tan A} & = & {\dfrac{30}{300}} \\ {\tan A} & = & {.1000} \\ {\angle A} & = & {6^{\circ}} \end{array}$

Respuesta:$6^{\circ}$.

Problemas

1. En un punto a 60 pies de un árbol el ángulo de elevación de la parte superior del árbol es$40^{\circ}$. Encuentra la altura del árbol al décimo de pie más cercano.

2. En un punto a 100 pies de un edificio alto el ángulo de elevación de la parte superior del edificio es$65^{\circ}$. Encuentra la altura del edificio al pie más cercano.

3. Desde un helicóptero a 1000 pies sobre el suelo el ángulo de depresión de un helinort es$10^{\circ}$. ¿A qué distancia está el helipuerto al pie más cercano?

4. Desde lo alto de un faro de 100 pies el ángulo de depresión de un barco es$15^{\circ}$. ¿A qué distancia está el barco del fondo del faro (pie más cercano)?

$Screen Shot 2020-11-24 en 1.14.51 PM.png$

5. Una carretera se eleva 10 pies en una distancia horizontal de 400 pies. Encuentra al grado más cercano el ángulo que hace la carretera con la horizontal.

6. Si un poste telefónico de 20 pies proyecta una sombra de 43 pies, ¿cuál es el ángulo de elevación del sol?

$Screen Shot 2020-11-24 en 1.15.17 PM.png$

7. Una escalera de 20 pies está apoyada contra una pared, Hace un ángulo de$70^{\circ}$ con el suelo. ¿Qué tan alta es la parte superior de la escalera desde el suelo (más cercana décima de pie)?

8. El ángulo de elevación de la cima de una montaña desde un punto a 20 millas de distancia es$6^{\circ}$. ¿Qué tan alta es la montaña (más cercana a la décima de milla)?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Problemas