5.2: Un modelo para geometría hiperbólica
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La geometría hiperbólica se puede dibujar con la ayuda del modelo de disco de Poincaré. El plano hiperbólico está representado por un disco con el borde no incluido (“disco abierto” en términos de análisis). Las líneas son diámetros o arco circular que son ortogonales al disco. El origen es el centro del disco. Utilizará el archivo Geogebra proporcionado o uno que busque en línea en Geoegebra con herramientas especiales para explorar la geometría hiperbólica.
Construir cada una de las siguientes figuras hiperbólicas.
- Triángulo usando al menos dos líneas que son diámetros.
- Triángulo usando exactamente una línea que es un diámetro.
- Triángulo sin usar líneas que sean diámetros.
- Cuadrilátero (¿Se puede hacer un cuadrado?)
Explora el paralelismo en geometría hiperbólica.
- Construya una línea y seleccione un punto que no esté en esa línea. Construye dos líneas a través de ese punto paralelas a la línea dada.
- ¿Cuántas líneas a través de ese punto paralelas a la línea dada podrían construirse?
- ¿Alguna de estas líneas paralelas tiene propiedades especiales? Las propiedades podrían ser más fáciles de describir en términos del modelo.
- Construir dos líneas paralelas. Para mayor facilidad hazlos grandes y cercanos en el modelo. ¿Qué parece ser cierto sobre la distancia entre las líneas paralelas?