5.3: Teoremas de Geometría Hiperbólica
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Tenga en cuenta al trabajar en estos problemas el modelo puede ser útil para averiguar por qué algo funciona. Sin embargo, las pruebas deben basarse directamente en los axiomas. Es legítimo probar una afirmación utilizando la descripción del modelo si se ha demostrado que el modelo es equivalente a los axiomas. Para este curso, las pruebas que utilicen el modelo valdrán menos puntos que las pruebas directamente de los axiomas.
Dada una línea y un punto no en esa línea existen infinitamente muchas líneas a través de ese punto paralelas a la línea dada.
Dada una línea y un punto que no está en esa línea existe una primera línea a través de ese punto paralela a la línea dada.
Una línea es un paralelo detectado si y solo si es la primera línea paralela a una línea dada en ese lado a través de un punto dado.
El ángulo menor formado por un paralelo detectado y un transversal a través del punto dado es el ángulo de paralelismo si y solo si la transversal es perpendicular a la línea dada.
El ángulo de paralelismo es el mismo a la izquierda y a la derecha.
El ángulo de paralelismo es menor que π/2.
Considere lo siguiente ilustrado en\(\PageIndex{1}\). l es el paralelo detectado derecho a n en P. Deje que S esté en l a la izquierda de P. Supongamos que la línea m a través de S es el paralelo detectado a n en S. Demostrar que si T está en m a la izquierda de S entonces debe estar por debajo de TP a la derecha de T. Además si U en l tal que U-S-P y A=TPn, entonces sentido paralelo debe estar por encima de SA a la derecha de A y por encima de UA.
Considere lo siguiente ilustrado en\(\PageIndex{2}\). l es la derecha percibido paralelo a n en P. Deje que S esté en l a la derecha de P. Supongamos que la línea m a través de S es el paralelo detectado a n en S. Demostrar que si U y T están de tal manera que U-S-T y A=TPn entonces m está por debajo de UA a la derecha de U y por encima de PA.
Si l es la derecha percibido paralelo a m en P, entonces l es el derecho detectado paralelo a m en cualquier punto a la izquierda de P en l.
Si l es el paralelo detectado a m en un punto P, entonces l es el paralelo detectado a m en cualquier punto Q también en l.
Un par de líneas paralelas y una transversal es un triángulo omega si y solo si los paralelos son paralelos detectados.
Dibuja un triángulo omega usando el modelo de disco de Poincaré.
Si una línea k contiene un vértice y un punto interior de un triángulo omega, se cruza con el lado opuesto al vértice.
¿Funciona una versión del Axioma de Pasch para triángulos omega? Dejar que l y m se detecten paralelos. Deje que AB sea una transversal con Al y BM Deje que M sea el punto medio de AB y D sea el pie de la perpendicular de M a l. También elija Fm en el lado opuesto de AB de D tal que BFAD Let Cl sea tal que C-A-D. Demostrar que CABABΩ.
Un ángulo exterior de un triángulo omega es mayor que el ángulo interior opuesto.
Dos triángulos omega son congruentes si la longitud de los lados finitos y la medida de un par de ángulos correspondientes son congruentes.
Dos triángulos omega son congruentes si los pares de ángulos correspondientes son congruentes.