10: Serie Power
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Una serie de potencia (en una variable) es una serie infinita. Cualquier polinomio puede expresarse fácilmente como una serie de potencias alrededor de cualquier centro c, aunque la mayoría de los coeficientes serán cero ya que una serie de potencias tiene infinitamente muchos términos por definición. Se puede ver que las series de potencia son como “polinomios de grado infinito”, aunque las series de potencia no son polinomios. El contenido de este capítulo de Textmap se complementa con el Calculus Textmap de Guichard.
- 10.0: Preludio a la serie Power
- Las series de potencia se pueden utilizar para definir funciones y nos permiten escribir funciones que no pueden expresarse de otra manera que como “polinomios infinitos”. También se puede trunca una serie infinita, dando como resultado un polinomio finito que podemos usar para aproximar valores funcionales. Representar funciones usando series de potencia nos permite resolver problemas matemáticos que no pueden resolverse con otras técnicas.
- 10.1: Serie de potencia y funciones
- Una serie de potencia es un tipo de serie con términos que involucran una variable. Más específicamente, si la variable es x, entonces todos los términos de la serie involucran potencias de x Como resultado, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencia se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos series de potencia y mostramos cómo determinar cuándo converge una serie de potencias y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones usando el poder
- 10.1E: Ejercicios para la Sección 10.1
- 10.2: Propiedades de la serie Power
- La serie Power se puede combinar, diferenciar o integrar para crear nuevas series de potencia. Esta capacidad es particularmente útil por un par de razones. Primero, nos permite encontrar representaciones de series de potencia para ciertas funciones elementales, escribiendo esas funciones en términos de funciones con series de potencia conocidas. En segundo lugar, nos permite definir nuevas funciones que no se pueden escribir en términos de funciones elementales. Esta capacidad es particularmente útil para resolver ecuaciones diferenciales.
- 10.2E: Ejercicios para la Sección 10.2
- 10.3: Serie Taylor y Maclaurin
- Aquí discutimos representaciones de series de potencia para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones se pueden representar por series de poder y cómo encontramos tales representaciones? Si podemos encontrar una representación de series de potencia para una función particular ff y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo demostramos que la serie realmente converge a f?
- 10.3E: Ejercicios para la Sección 10.3
- 10.4: Trabajar con la serie Taylor
- En esta sección mostramos cómo usar esas series de Taylor para derivar series Taylor para otras funciones. A continuación presentamos dos aplicaciones comunes de la serie de potencia. Primero, mostramos cómo se pueden usar las series de potencia para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo las series de poder pueden ser utilizadas para evaluar integrales cuando la antiderivada de la integral no puede expresarse en términos de funciones elementales.
- 10.4E: Ejercicios para la Sección 10.4
- 10.5: Ejercicios de revisión del Capítulo 10
Miniatura: La gráfica muestra la función\(\displaystyle y=sinx\) y los polinomios de Maclaurin\(\displaystyle p_1,p_3\) y\(\displaystyle p_5\). (CC BY-SA 3.0; OpenStax).