6.3: Integrales trigonométricas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Las funciones que involucran funciones trigonométricas son útiles ya que son buenas para describir el comportamiento periódico. En esta sección se describen varias técnicas para encontrar antiderivados de ciertas combinaciones de funciones trigonométricas.
Integrales de la forma∫sinmxcosnx dx
Al aprender la técnica de Sustitución, vimos la integral∫sinxcosx dx en el Ejemplo 6.1.4. La integración no fue difícil, y se podía evaluar fácilmente la integral indefinida dejandou=sinx o dejandou=cosx. Esta integral es fácil ya que la potencia tanto del seno como del coseno es de 1.
Generalizamos esta integral y consideramos integrales de la forma∫sinmxcosnx dx, dondem,n son enteros no negativos. Nuestra estrategia para evaluar estas integrales es utilizar la identidadcos2x+sin2x=1 para convertir altas potencias de una función trigonométrica en la otra, dejando un solo término sinusoidal o coseno en el integrando. Resumimos la técnica general en la siguiente Idea Clave.
Idea Clave 11: Integrales que involucran potencias de seno y coseno
Considere∫sinmxcosnx dx, dondem,n están los enteros no negativos.
- Sim es impar, entoncesm=2k+1 para algún enterok. Reescribir sinmx= sin2k+1x= sin2kx sinx=( sin2x)k sinx=(1− cos2x)k sinx. Entonces int sinmx cosnx dx= int(1− cos2x)k sinx cosnx dx=− int(1−u2)kun du, dondeu=cosx ydu=−sinx dx.
- Sin es impar, entonces usando sustituciones similares a las descritas anteriormente tenemos int sinmx cosnx dx= intum(1−u2)k du, dondeu=sinx ydu=cosx dx.
- Si ambosm yn son pares, usa el poder—reduciendo identidades cos2x= frac1+ cos(2x)2 quad texty quad sin2x= frac1− cos(2x)2 para reducir el grado del integrando. Ampliar el resultado y aplicar de nuevo los principios de esta Idea Clave.
Practicamos aplicar la Idea Clave 11 en los siguientes ejemplos.
Ejemplo6.3.1: Integrating powers of sine and cosine
Evaluar∫sin5xcos8x dx.
Solución
El poder del término sinusoidal es impar, así que reescribimossin5x como
sin5x=sin4xsinx=(sin2x)2sinx=(1−cos2x)2sinx.
Nuestra integral es ahora∫(1−cos2x)2cos8xsinx dx. Vamosu=cosx, de ahídu=−sinx dx. Hacer la sustitución y ampliar el integrando da
∫(1−cos2)2cos8xsinx dx=−∫(1−u2)2u8 du=−∫(1−2u2+u4)u8 du=−∫(u8−2u10+u12) du.
Esta integral final no es difícil de evaluar, dando
−∫(u8−2u10+u12) du=−19u9+211u11−113u13+C=−19cos9x+211cos11x−113cos13x+C.
Ejemplo6.3.2: Integrating powers of sine and cosine
Evaluar∫sin5xcos9x dx.
Solución
Los poderes tanto de los términos seno como de coseno son impares, por lo que podemos aplicar las técnicas de la Idea Clave 11 a cualquiera de las dos potencias. Elegimos trabajar con el poder del término coseno ya que en el ejemplo anterior se utilizó el poder del término sinusoidal.
Reescribimoscos9x como
cos9x=cos8xcosx=(cos2x)4cosx=(1−sin2x)4cosx=(1−4sin2x+6sin4x−4sin6x+sin8x)cosx.
Reescribimos la integral como
∫sin5xcos9x dx=∫sin5x(1−4sin2x+6sin4x−4sin6x+sin8x)cosx dx.
Ahora sustituya e integre, usandou=sinx ydu=cosx dx.
∫u5(1−4u2+6u4−4u6+u8) du=∫(u5−4u7+6u9−4u11+u13) du=16u6−12u8+35u10−13u12+114u14+C=16sin6x−12sin8x+35sin10x+…=−13sin12x+114sin14x+C.
Nota tecnológica: El trabajo que estamos haciendo aquí puede ser un poco tedioso, pero las habilidades desarrolladas (resolución de problemas, manipulación algebraica, etc.) son importantes. Hoy en día los problemas de este tipo suelen resolverse utilizando un sistema de álgebra computacional. El poderoso programa Mathematica se integra∫sin5xcos9x dx como
f(x)=−45cos(2x)16384−5cos(4x)8192+19cos(6x)49152+cos(8x)4096−cos(10x)81920−cos(12x)24576−cos(14x)114688,
que claramente tiene una forma diferente a nuestra respuesta en Ejemplo6.3.2, que es
g(x)=16sin6x−12sin8x+35sin10x−13sin12x+114sin14x.
La figura6.3.1 muestra una gráfica def yg; claramente no son iguales, sino que difieren solo por una constante. Eso esg(x)=f(x)+C para alguna constanteC. Entonces tenemos dos antiderivadas diferentes de una misma función, lo que significa que ambas respuestas son correctas.
Figura6.3.1: Una gráfica def(x) yg(x) de Ejemplo6.3.2 y la Nota Tecnológica.
Ejemplo6.3.3: Integrating powers of sine and cosine
Evaluar∫cos4xsin2x dx.
Solución
Los poderes de seno y coseno son ambos pares, por lo que empleamos las fórmulas reductoras de poder y el álgebra de la siguiente manera.
∫cos4xsin2x dx=∫(1+cos(2x)2)2(1−cos(2x)2) dx=∫1+2cos(2x)+cos2(2x)4⋅1−cos(2x)2 dx=∫18(1+cos(2x)−cos2(2x)−cos3(2x)) dx
Elcos(2x) término es fácil de integrar, especialmente con Key Idea 10. Elcos2(2x) término es otra integral trigonométrica con una potencia uniforme, requiriendo nuevamente la fórmula reductora de potencia. Elcos3(2x) término es una función coseno con una potencia impar, requiriendo una sustitución como se hizo antes. Integramos cada uno a su vez a continuación.
∫cos(2x) dx=12sin(2x)+C.
∫cos2(2x) dx=∫1+cos(4x)2 dx=12(x+14sin(4x))+C.
Finalmente, reescribimoscos3(2x) como
cos3(2x)=cos2(2x)cos(2x)=(1−sin2(2x))cos(2x).
Dejandou=sin(2x), tenemosdu=2cos(2x) dx, por lo tanto
∫cos3(2x) dx=∫(1−sin2(2x))cos(2x) dx=∫12(1−u2) du=12(u−13u3)+C=12(sin(2x)−13sin3(2x))+C
Juntando todas las piezas, tenemos
∫cos4xsin2x dx=∫18(1+cos(2x)−cos2(2x)−cos3(2x)) dx=18[x+12sin(2x)−12(x+14sin(4x))−12(sin(2x)−13sin3(2x))]+C=18[12x−18sin(4x)+16sin3(2x)]+C
El proceso anterior fue un poco largo y tedioso, pero es importante poder trabajar un problema como este de principio a fin.
Integrales de la forma∫sin(mx)sin(nx) dx,∫cos(mx)cos(nx) dx, y∫sin(mx)cos(nx) dx.
Las funciones que contienen productos de senos y cosenos de diferentes períodos son importantes en muchas aplicaciones, incluido el análisis de ondas sonoras. Integrales de la forma
∫sin(mx)sin(nx) dx,∫cos(mx)cos(nx) dxand∫sin(mx)cos(nx) dx
se abordan mejor aplicando primero las fórmulas Product to Sum que se encuentran en la contraportada de este texto, a saber
sin(mx)sin(nx)=12[cos((m−n)x)−cos((m+n)x)]cos(mx)cos(nx)=12[cos((m−n)x)+cos((m+n)x)]sin(mx)cos(nx)=12[sin((m−n)x)+sin((m+n)x)]
Ejemplo6.3.4: Integrating products of sin(mx) and cos(nx)
Evaluar∫sin(5x)cos(2x) dx.
Solución
La aplicación de la fórmula y la posterior integración son sencillas:
∫sin(5x)cos(2x) dx=∫12[sin(3x)+sin(7x)] dx=−16cos(3x)−114cos(7x)+C
Integrales de la forma∫tanmxsecnx dx.
Al evaluar integrales de la forma∫sinmxcosnx dx, el Teorema de Pitágoras nos permitió convertir incluso las potencias del seno en potencias pares del coseno, y viceversa. Si, por ejemplo, el poder del seno era impar, sacamos unosinx y convertimos el poder par restante desinx en una función usando potencias decosx, conduciendo a una fácil sustitución.
La misma estrategia básica se aplica a las integrales de la forma∫tanmxsecnx dx, aunque un poco más matizadas. Los siguientes tres hechos resultarán útiles:
- ddx(tanx)=sec2x,
- ddx(secx)=secxtanx, y
- 1+tan2x=sec2x(el Teorema de Pitágoras).
Si el integrando puede ser manipulado para separar unsec2x término con el poder secante restante incluso, o si unsecxtanx término puede separarse con eltanx poder restante incluso, se puede emplear el Teorema de Pitágoras, conduciendo a una simple sustitución. Esta estrategia se esboza en la siguiente Idea Clave.
Idea Clave 12: Integrales que involucran poderes de tangente y secante
Considere∫tanmxsecnx dx, dondem,n están los enteros no negativos.
- Sin es par, entoncesn=2k para algún enterok. Reescribesecnx como segnx= seg2kx= seg2k−2x seg2x=(1+ tan2x)k−1 seg2x. Entonces int tanmx segnx dx= int tanmx(1+ tan2x)k−1 seg2x dx= intm(1+u2)k−1 du, dondeu=tanx ydu=sec2x dx.
- Sim es impar, entoncesm=2k+1 para algún enterok. Reescribirtanmxsecnx como tanmx segnx= tan2k+1x segnx= tan2kx segn−1x segx tanx=( seg2x−1)k segn−1x segx tanx. Luego int tanmx segnx dx= int( seg2x−1)k segn−1x segx tanx dx= int(u2−1)kun−1 du, dondeu=secx ydu=secxtanx dx.
- Sin es impar ym es par, entoncesm=2k para algún enterok. Convertirtanmx a(sec2x−1)k. Amplíe el nuevo integrando y utilice Integración Por Partes, condv=sec2x dx.
- Sim es par yn=0, reescribetanmx como tanmx= tanm−2x tan2x= tanm−2x( seg2x−1)= tanm−2 seg2x− tanm−2x. Así que \boldsymbol{\ int\ tan^mx\ dx =\ underbrackets {\ int\ tan^ {m-2}\ seg^2x\ dx} _ {\ texto {\ small aplicar regla\ #1}}\ quad -\ underbrackets {\ int\ tan^ {m-2} x\ dx} _ {\ text {\ small aplicar regla\ # 4 otra vez}} .}
Las técnicas descritas en los ítems 1 y 2 de la Idea Clave 12 son relativamente sencillas, pero las técnicas en los ítems 3 y 4 pueden ser bastante tediosas. Algunos ejemplos ayudarán con estos métodos.
Ejemplo6.3.5: Integrating powers of tangent and secant
Evaluar∫tan2xsec6x dx.
Solución
Como el poder de la secante es parejo, usamos la regla #1 de Key Idea 12 y sacamos unasec2x en el integrando. Convertimos los poderes restantes de secante en poderes de tangente.
∫tan2xsec6x dx=∫tan2xsec4xsec2x dx=∫tan2x(1+tan2x)2sec2x dx
Ahora sustituya, conu=tanx, condu=sec2x dx.
=∫u2(1+u2)2 du
Dejamos la integración y posterior sustitución al lector. La respuesta final es
=13tan3x+25tan5x+17tan7x+C.
Ejemplo6.3.6: Integrating powers of tangent and secant
Evaluar∫sec3x dx.
Solución
Aplicamos la regla #3 de la Idea Clave 12 ya que el poder de secante es impar y el poder de tangente es par (0 es un número par). Utilizamos Integración por Partes; la regla sugiere dejardv=sec2x dx, lo que significa queu=secx.
u=secxv=?du=?dv=sec2x dx
Figura6.3.2: Configuración de la Integración por Partes.
Empleando Integración por Partes, tenemos
∫sec3x dx=∫secx⏟u⋅sec2x dx⏟dv=secxtanx−∫secxtan2x dx.
Esta nueva integral también requiere aplicar la regla\ #3 de Idea Clave:
=secxtanx−∫secx(sec2x−1) dx=secxtanx−∫sec3x dx+∫secx dx=secxtanx−∫sec3x dx+ln|secx+tanx|
En anteriores aplicaciones de Integración por Partes, hemos visto dónde ha reaparecido en nuestro trabajo la integral original. Esto lo resolvemos sumando∫sec3x dx a ambos lados, dando:
2∫sec3x dx=secxtanx+ln|secx+tanx|∫sec3x dx=12(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C
Damos un ejemplo más.
Ejemplo6.3.7: Integrating powers of tangent and secant
Evaluar∫tan6x dx.
Solución
Empleamos la regla #4 de la Idea Clave 12.
∫tan6x dx=∫tan4xtan2x dx=∫tan4x(sec2x−1) dx=∫tan4xsec2x dx−∫tan4x dx
Integrar la primera integral con sustitución,u=tanx; integrar la segunda empleando de nuevo la regla #4.
=15tan5x−∫tan2xtan2x dx=15tan5x−∫tan2x(sec2x−1) dx=15tan5x−∫tan2xsec2x dx+∫tan2x dx
Nuevamente, use la sustitución para la primera integral y la regla\ #4 para la segunda.
=15tan5x−13tan3x+∫(sec2x−1) dx=15tan5x−13tan3x+tanx−x+C.
Estos últimos ejemplos fueron ciertamente largos, con repetidas aplicaciones de la misma regla. Trate de no sentirse abrumado por la longitud del problema, sino más bien admirar lo robusto que es este método de solución. Una función trigonométrica de alta potencia puede reducirse sistemáticamente a funciones trigonométricas de potencias inferiores hasta que se puedan computar todos los antiderivados.
La siguiente sección introduce una técnica de integración conocida como Sustitución Trigonométrica, una inteligente combinación de Sustitución y el Teorema de Pitágoras.