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6.2: Integración por Partes

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Aquí hay una integral simple que aún no podemos evaluar:

$$\ int x\ cos x\, dx.\]

Es una cuestión sencilla tomar la derivada del integrando usando la Regla de Producto, pero no existe una Regla de Producto para integrales. Sin embargo, esta sección introduce Integración por Partes, un método de integración que se basa en la Regla de Producto para derivados. Nos permitirá evaluar esta integral.

La Regla del Producto dice que siu yv son funciones dex, entonces(uv)=uv+uv. Por simplicidad, hemos escritou parau(x) yv parav(x). Supongamos que integramos ambos lados con respecto ax. Esto da

$$\ int (uv) '\, dx =\ int (u'v+uv')\, dx.\]

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, el lado izquierdo se integra auv. El lado derecho puede dividirse en dos integrales, y tenemos

$$uv =\ int u'v\, dx +\ int uv'\, dx.\]

Resolviendo para la segunda integral que tenemos

$$\ int uv'\, dx = uv -\ int u'v\, dx.\]

Usando notación diferencial, podemos escribirdu=u(x)dx ydv=v(x)dx y la expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera:

$$\ int u\, dv = uv -\ int v\, du.\]

Esta es la fórmula de Integración por Partes. Para fines de referencia, lo declaramos en un teorema.

Teorema6.2.1: Integration by Parts

Dejaru yv ser funciones diferenciables dex en un intervaloI que contienea yb. Entonces

u dv=uvv du,

e integración por partes

x=bx=au dv=uv|bax=bx=av du.

Probemos un ejemplo para entender nuestra nueva técnica.

Ejemplo6.2.1: Integrating using Integration by Parts

Evaluarxcosx dx.

Solución

La clave para la Integración por Partes es identificar parte del integrando como "u" y parte como "”dv.” La práctica regular ayudará a uno a hacer buenas identificaciones, y posteriormente introduciremos algunos principios que ayudan. Por ahora, vamosu=x ydv=cosx dx.

Generalmente es útil hacer una pequeña tabla de estos valores como se hace a continuación. En este momento solo conocemosu ydv como se muestra a la izquierda de Figura6.2.1; a la derecha rellenamos el resto de lo que necesitamos. Siu=x, entoncesdu=dx. Ya quedv=cosx dx,v es un antiderivado decosx. Nosotros elegimosv=sinx.

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Figura6.2.1: Configuración de la integración por partes.

Ahora sustituya todo esto en la fórmula Integración por Partes, dando

$$\ int x\ cos x\, dx = x\ sin x -\ int\ sin x\, dx.\]

Luego podemos integrarnossinx para obtenercosx+C y en general nuestra respuesta es

$$\ int x\ cos x\ dx = x\ sin x +\ cos x + C.\]

Observe cómo el antiderivado contiene un producto,xsinx. Este producto es lo que hace que la Integración por Partes sea necesaria.

El ejemplo anterior demuestra cómo funciona la Integración por Partes en general. Intentamos identificaru ydv en la integral nos dan, y la clave es que solemos querer elegiru ydv así esodu es más sencillo queu yv ojalá no sea demasiado más complicado quedv. Esto significará que la integral del lado derecho de la fórmula Integración por Partes,vdu será más simple de integrar que la integral originaludv.

En el ejemplo anterior, elegimosu=x ydv=cosxdx. Entoncesdu=dx fue más simple queu y nov=sinx es más complicado quedv. Por lo tanto, en lugar dexcosxdx integrarnossinxdx, podríamos integrar, lo que sabíamos hacer.

Un mnemotécnico útil para ayudar a determinaru es “LIATE”, donde

L=Logarithmic,I=InverseTrig.,A=Algebraic(polynomials),

T=Trigonometric,andE=Exponential.

Si el integrando contiene tanto un término logarítmico como un término algebraico, en general dejandou ser el término logarítmico funciona mejor, como lo indica L que viene antes de A en LIATE.

Consideramos ahora otro ejemplo.

Ejemplo6.2.2: Integrating using Integration by Parts

Evaluarxexdx.

Solución

El integrando contiene un término A lgebraico (x) y un término xponencial\ textbf {E} (ex). Nuestra mnemotécnica sugiere dejaru ser el término algebraico, así que elegimosu=x ydv=exdx. Entoncesdu=dx yv=ex como lo indican las tablas siguientes.

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Figura6.2.2: Configuración de la Integración por Partes.

Vemosdu es más sencillo queu, mientras que no hay cambio en pasar dedv av. Esto es bueno. La fórmula Integración por Partes da

$$\ int x e^x\, dx = xe^x -\ int e^x\, dx.\]

La integral a la derecha es simple; nuestra respuesta final es

$$\ int xe^x\ dx = xe^x - e^x + C.\]

Observe nuevamente cómo los antiderivados contienen un término de producto.

Ejemplo6.2.3: Integrating using Integration by Parts

Evaluarx2cosxdx.

Solución

El mnemotécnico sugiere dejaru=x2 en lugar de la función trigonométrica, de ahídv=cosxdx. Entoncesdu=2xdx yv=sinx como se muestra a continuación.

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Figura6.2.3: Configuración de la Integración por Partes.

La fórmula Integración por Partes da

$$\ int x^2\ cos x\, dx = x^2\ sin x -\ int 2x\ sin x\, dx.\]

En este punto, la integral de la derecha es efectivamente más simple que la que empezamos con, pero para evaluarla, necesitamos volver a hacer Integración por Partes. Aquí elegimosu=2x ydv=sinx y rellenamos el resto a continuación.

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Figura6.2.4: Configuración de la Integración por Partes.

La integral todo el camino a la derecha es ahora algo que podemos evaluar. Evalúa a2sinx. Después pasando y simplificando, teniendo cuidado de mantener todas las señales rectas, nuestra respuesta es
$$\ int x^2\ cos x\ dx = x^2\ sin x + 2x\ cos x - 2\ sin x + C.\]

Ejemplo6.2.4: Integrating using Integration by Parts

Evaluarexcosxdx.

Solución

Este es un problema clásico. Nuestro mnemotécnico sugiere dejaru ser la función trigonométrica en lugar de la exponencial. En este ejemplo particular, uno puede dejaru ser cualquieracosx oex; para demostrar que no tenemos que seguir LIATE, elegimosu=ex y de ahídv=cosxdx. Entoncesdu=exdx yv=sinx como se muestra a continuación.

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Figura6.2.5: Configuración de la Integración por Partes.

Observe que nodu es más sencillo queu, ir en contra de nuestra regla general (pero tenga en cuenta con nosotros). La fórmula Integración por Partes rinde

$$\ int e^x\ cos x\ dx = e^x\ sin x -\ int e^x\ sin x\, dx.\]

La integral de la derecha no es muy diferente a la que empezamos con, así que parece que no hemos llegado a ninguna parte. Sigamos trabajando y apliquemos Integración por Partes a la nueva integral, usandou=ex ydv=sinxdx. Esto nos lleva a lo siguiente:

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Figura6.2.6: Configuración de la Integración por Partes.

La fórmula Integración por Partes da entonces:

excosxdx=exsinx(excosxexcosxdx)=exsinx+excosxexcosx dx.

Parece que estamos de vuelta justo donde empezamos, ya que el lado derecho contieneexcosxdx. Pero esto en realidad es algo bueno.

Añadirexcosx dx a ambos lados. Esto da

\ [\ begin {align*} 2\ int e^x\ cos x\ dx & = e^x\ sin x + e^x\ cos x\\ text {Ahora divide ambos lados por 2:}
\ int e^x\ cos x\ dx & =\ frac {1} {2}\ grande (e^x\ sin x + e^x\ cos x\ big). \ end {alinear*}\]

Simplificando un poco y sumando la constante de integración, nuestra respuesta es así

$$\ int e^x\ cos x\ dx =\ frac12e^x\ izquierda (\ sin x +\ cos x\ derecha) +C.\]

Ejemplo6.2.5: Integrating using Integration by Parts: antiderivative of lnx

Evaluarlnxdx.

Solución

Se puede haber notado que tenemos reglas para integrar las funciones trigonométricas familiares yex, pero aún no hemos dado una regla para la integraciónlnx. Eso es porque no selnx puede integrar fácilmente con ninguna de las reglas que hemos aprendido hasta este punto. Pero podemos encontrar su antiderivado por una aplicación inteligente de Integración por Partes. Estableceru=lnx ydv=dx. Este es un buen truco para aprender, ya que puede ayudar en otras situaciones. Esto determinadu=(1/x)dx yv=x como se muestra a continuación.

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Figura6.2.7: Configuración de la Integración por Partes.

Al juntar todo esto en la fórmula de Integración por Partes, las cosas salen muy bien:

$$\ int\ ln x\, dx = x\ ln x -\ int x\,\ frac1x\, dx.\]

La nueva integral se simplifica a1dx, que es casi tan simple como se ponen las cosas. Su integral esx+C y nuestra respuesta es

$$\ int\ ln x\ dx = x\ ln {x} - x + C.\]

Ejemplo6.2.6: Integrating using Int. by Parts: antiderivative of arctanx

Evaluararctanxdx.

Solución

El mismo truco furtivo que usamos arriba funciona aquí. Dejaru=arctanx ydv=dx. Entoncesdu=1/(1+x2)dx yv=x. La fórmula Integración por Partes da

arctanxdx=xarctanxx1+x2dx.

La integral de la derecha puede resolverse por sustitución. Tomandou=1+x2, obtenemosdu=2xdx. La integral se convierte entonces

arctanxdx=xarctanx121udu.

La integral de la derecha evalúa aln|u|+C, que se convierteln(1+x2)+C. Por lo tanto, la respuesta es

arctanx dx=xarctanxln(1+x2)+C.

Sustitución antes de la integración

Al tomar derivados, era común emplear múltiples reglas (como usar tanto el Cociente como las Reglas de Cadena). Entonces no debería sorprender que algunas integrales se evalúen mejor combinando técnicas de integración. En particular, aquí ilustramos haciendo una sustitución “inusual” primero antes de usar Integration by Parts.

Ejemplo6.2.7: Integration by Parts after substitution

Evaluarcos(lnx) dx.

Solución

El integrando contiene una composición de funciones, llevándonos a pensar que la sustitución sería beneficiosa. Dejandou=lnx, tenemosdu=1/x dx. Esto parece problemático, ya que no tenemos un1/x en el integrando. Pero considere:

du=1x dxxdu=dx.

Ya queu=lnx, podemos usar funciones inversas y concluir quex=eu. Por lo tanto tenemos que

dx=xdu=eu du.

Así podemos sustituirlnx conu ydx coneu du. Así reescribimos nuestra integral como

cos(lnx) dx=eucosu du.

Evaluamos esta integral en Ejemplo6.2.4. Usando el resultado ahí, tenemos:

cos(lnx) dx=eucosu du=12eu(sinu+cosu)+C=12elnx(sin(lnx)+cos(lnx))+C=12x(sin(lnx)+cos(lnx))+C.

Integrales definidas e integración por partes

Hasta el momento nos hemos centrado únicamente en evaluar integrales indefinidas. Por supuesto, podemos usar Integración por Partes para evaluar integrales definidas también, como6.2.1 estados del Teorema. Lo hacemos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo6.2.8: Definite integration using Integration by Parts

Evaluar21x2lnxdx.

Solución

Nuestro mnemotécnico sugiere dejaru=lnx, por lo tantodv=x2dx.

Luego obtenemosdu=(1/x)dx yv=x3/3 como se muestra a continuación.

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Figura6.2.8: Configuración de la Integración por Partes.

La fórmula Integración por Partes da entonces

21x2lnxdx=x33lnx|2121x331xdx=x33lnx|2121x23dx=x33lnx|21x39|21=(x33lnxx39)|21=(83ln289)(13ln119)=83ln2791.07.

En general, Integration by Parts es útil para integrar ciertos productos de funciones, comoxexdx ox3sinxdx. También es útil para integrales que involucran logaritmos y funciones trigonométricas inversas.

Como se indicó anteriormente, la integración es generalmente más difícil que la derivación. Estamos desarrollando herramientas para manejar una gran variedad de integrales, y la experiencia nos dirá cuándo una herramienta es preferible/necesaria sobre otra. Por ejemplo, considere las tres integrales de aspecto similar

$$\ int xe^x\, dx,\ qquad\ int x e^ {x^2}\, dx\ qquad\ texto {y}\ qquad\ int xe^ {x^3}\, dx.\]

Si bien el primero se calcula fácilmente con Integración por Partes, el segundo se aborda mejor con Sustitución. Llevando las cosas un paso más allá, la tercera integral no tiene respuesta en términos de funciones elementales, por lo que ninguno de los métodos que aprendemos en el cálculo nos dará la respuesta exacta.

La integración por Partes es un método muy útil, solo superado por la sustitución. En las siguientes secciones de este capítulo, seguimos aprendiendo otras técnicas de integración. La siguiente sección se centra en el manejo de integrales que contienen funciones trigonométricas.


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