3.6E: Ejercicios para la Sección 3.6

En los ejercicios 1 - 6, dado\(y=f(u)\) y\(u=g(x)\), encontrar\(\dfrac{dy}{dx}\) usando la notación de Leibniz para la regla de la cadena:\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}.\)

1)\(y=3u−6,\quad u=2x^2\)

2)\(y=6u^3,\quad u=7x−4\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx} = 18u^2⋅7=18(7x−4)^2⋅7= 126(7x−4)^2\)

3)\(y=\sin u,\quad u=5x−1\)

4)\(y=\cos u,\quad u=-\frac{x}{8}\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx} = −\sin u⋅\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}\sin(-\frac{x}{8})\)

5)\(y=\tan u,\quad u=9x+2\)

6)\(y=\sqrt{4u+3},\quad u=x^2−6x\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{8x−24}{2\sqrt{4u+3}}=\dfrac{4x−12}{\sqrt{4x^2−24x+3}}\)

Para cada uno de los siguientes ejercicios,

a. descomponer cada función en la forma\(y=f(u)\) y\(u=g(x)\), y

b. encontrar\(\dfrac{dy}{dx}\) en función de\(x\).

7)\(y=(3x−2)^6\)

8)\(y=(3x^2+1)^3\)

Contestar

a.\(f(u)=u^3,\quad u=3x^2+1\);

b.\(\dfrac{dy}{dx} = 18x(3x^2+1)^2\)

9)\(y=\sin^5(x)\)

10)\(y=\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^7\)

Contestar

a.\(f(u)=u^7,\quad u=\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\);

b.\(\dfrac{dy}{dx} = 7\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^6⋅\left(\dfrac{1}{7}−\dfrac{7}{x^2}\right)\)

11)\(y=\tan(\sec x)\)

12)\(y=\csc(πx+1)\)

Contestar

a.\(f(u)=\csc u,\quad u=πx+1\);

b.\(\dfrac{dy}{dx} = −π\csc(πx+1)⋅\cot(πx+1)\)

13)\(y=\cot^2x\)

14)\(y=−6\sin^{−3}x\)

Contestar

a.\(f(u)=−6u^{−3},\quad u=\sin x\);

b.\(\dfrac{dy}{dx} = 18\sin^{−4}x⋅\cos x\)

En los ejercicios 15 - 24, encuentra\(\dfrac{dy}{dx}\) para cada función.

15)\(y=(3x^2+3x−1)^4\)

16)\(y=(5−2x)^{−2}\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{(5−2x)^3}\)

17)\(y=\cos^3(πx)\)

18)\(y=(2x^3−x^2+6x+1)^3\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx}=6(2x^3−x^2+6x+1)^2⋅(3x^2−x+3)\)

19)\(y=\dfrac{1}{\sin^2(x)}\)

20)\(y=\big(\tan x+\sin x\big)^{−3}\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx}=−3\big(\tan x+\sin x\big)^{−4}⋅(\sec^2x+\cos x)\)

21)\(y=x^2\cos^4x\)

22)\(y=\sin(\cos 7x)\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx}=−7\cos(\cos 7x)⋅\sin 7x\)

23)\(y=\sqrt{6+\sec πx^2}\)

24)\(y=\cot^3(4x+1)\)

Contestar

\(\dfrac{dy}{dx}=−12\cot^2(4x+1)⋅\csc^2(4x+1)\)

25) Dejemos\(y=\big[f(x)\big]^3\) y supongamos que\(f′(1)=4\) y\(\frac{dy}{dx}=10\) para\(x=1\). Encuentra\(f(1)\).

26) Dejemos\(y=\big(f(x)+5x^2\big)^4\) y supongamos eso\(f(−1)=−4\) y\(\frac{dy}{dx}=3\) cuándo\(x=−1\). Encuentra\(f′(−1)\)

Contestar

\(f′(−1)=10\frac{3}{4}\)

27) Dejar\(y=(f(u)+3x)^2\) y\(u=x^3−2x\). Si\(f(4)=6\) y\(\frac{dy}{dx}=18\) cuando\(x=2\), encuentra\(f′(4)\).

28) [T] Encuentra la ecuación de la línea tangente a\(y=−\sin(\frac{x}{2})\) en el origen. Use una calculadora para graficar la función y la línea tangente juntas.

Contestar

\(y=-\frac{1}{2}x\)

29) [T] Encuentra la ecuación de la línea tangente a\(y=\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2\) en el punto\((1,16)\). Use una calculadora para graficar la función y la línea tangente juntas.

30) Encuentra las\(x\) coordenadas en las que la línea tangente a\(y=\left(x−\frac{6}{x}\right)^8\) es horizontal.

Contestar

\(x=±\sqrt{6}\)

31) [T] Encuentra una ecuación de la línea que sea normal a\(g(θ)=\sin^2(πθ)\) en el punto\(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\). Use una calculadora para graficar la función y la línea normal juntas.

Para los ejercicios 32 - 39, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar\(h′(a)\) en el valor dado para\(a\).

\(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(g(x)\)	\(g'(x)\)
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

32)\(h(x)=f\big(g(x)\big);\quad a=0\)

Contestar

\(h'(0) = 10\)

33)\(h(x)=g\big(f(x)\big);\quad a=0\)

34)\(h(x)=\big(x^4+g(x)\big)^{−2};\quad a=1\)

Contestar

\(h'(1) = −\frac{1}{8}\)

35)\(h(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2;\quad a=3\)

36)\(h(x)=f\big(x+f(x)\big);\quad a=1\)

Contestar

\(h'(1) = −4\)

37)\(h(x)=\big(1+g(x)\big)^3;\quad a=2\)

38)\(h(x)=g\big(2+f(x^2)\big);\quad a=1\)

Contestar

\(h'(1) = −12\)

39)\(h(x)=f\big(g(\sin x)\big);\quad a=0\)

40) [T] La función de posición de un tren de carga viene dada por\(s(t)=100(t+1)^{−2}\), con\(s\) en metros y\(t\) en segundos. A la hora\(t=6\) s, encuentra el tren

a. velocidad y

b. Aceleración.

c. Considerando sus resultados en las partes a. y b., ¿el tren está acelerando o desacelerando?

Contestar

a.\(v(6) = −\frac{200}{343}\) m/s,

b.\(a(6) = \frac{600}{2401}\;\text{m/s}^2,\)

c. El tren se está desacelerando ya que la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos.

41) [T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple como lo da la siguiente función de posición, donde\(t\) se mide en segundos y\(s\) está en pulgadas:

\[s(t)=−3\cos\left(πt+\frac{π}{4}\right).\nonumber \]

a. Determinar la posición del muelle en el\(t=1.5\) s.

b. Encuentra la velocidad del muelle en\(t=1.5\) s.

42) [T] El costo total para producir\(x\) cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de\(C\) dólares, donde\(C=0.0001x^3−0.02x^2+3x+300.\) En\(t\) semanas se estima que la producción es de\(x=1600+100t\) cajas.

a. Encuentra el costo marginal\(C′(x).\)

b. utilizar la notación de Leibniz para la regla de la cadena\(\dfrac{dC}{dt}=\dfrac{dC}{dx}⋅\dfrac{dx}{dt}\),, para encontrar la tasa con respecto al tiempo\(t\) que el costo está cambiando.

c. Utilice su resultado en la parte b. para determinar qué tan rápido están aumentando los costos cuando\(t=2\) semanas. Incluir unidades con la respuesta.

Contestar

a.\(C′(x)=0.0003x^2−0.04x+3\)

b.\(\dfrac{dC}{dt}=100⋅(0.0003x^2−0.04x+3) = 100⋅(0.0003(1600+100t)^2−0.04(1600+100t)+3) = 300t^2 +9200t +70700\)

c. Aproximadamente $90,300 por semana

43) [T] La fórmula para el área de un círculo es\(A=πr^2\), donde\(r\) está el radio del círculo. Supongamos que un círculo se está expandiendo, lo que significa que tanto el área\(A\) como el radio\(r\) (en pulgadas) se están expandiendo.

a. Supongamos\(r=2−\dfrac{100}{(t+7)^2}\) dónde\(t\) está el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena\(\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}\) para encontrar la velocidad a la que se expande el área.

b. utilice su resultado en la parte a. para encontrar la tasa a la que el área se expande en\(t=4\) s.

44) [T] La fórmula para el volumen de una esfera es\(S=\frac{4}{3}πr^3\), donde\(r\) (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se está derritiendo al sol.

a. Supongamos\(r=\dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12}\) dónde\(t\) está el tiempo en minutos. Usa la regla de la cadena\(\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}\) para encontrar la velocidad a la que se derrita la bola de nieve.

b. utilice su resultado en la parte a. para encontrar la velocidad a la que el volumen está cambiando al\(t=1\) min.

Contestar

a.\(\dfrac{dS}{dt}=−\dfrac{8πr^2}{(t+1)^3} = −\dfrac{8π\left( \dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12} \right)^2}{(t+1)^3}\)

b. El volumen disminuye a una velocidad de\(−\frac{π}{36}\; \text{ft}^3\) /min

45) [T] La temperatura diaria en grados Fahrenheit de Phoenix en el verano puede ser modelada por la función\(T(x)=94−10\cos\left[\frac{π}{12}(x−2)\right]\), donde\(x\) es horas después de la medianoche. Encuentra la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p.m.

46) [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y caída de las mareas. La profundidad es modelada por la función\(D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8\), donde\(t\) es el número de horas después de la medianoche. Encuentre la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a.m.

Contestar

\(~2.3\)pies/hr