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3.6E: Ejercicios para la Sección 3.6

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En los ejercicios 1 - 6, dado$$y=f(u)$$ y$$u=g(x)$$, encontrar$$\dfrac{dy}{dx}$$ usando la notación de Leibniz para la regla de la cadena:$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}.$$

1)$$y=3u−6,\quad u=2x^2$$

2)$$y=6u^3,\quad u=7x−4$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = 18u^2⋅7=18(7x−4)^2⋅7= 126(7x−4)^2$$

3)$$y=\sin u,\quad u=5x−1$$

4)$$y=\cos u,\quad u=-\frac{x}{8}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = −\sin u⋅\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}\sin(-\frac{x}{8})$$

5)$$y=\tan u,\quad u=9x+2$$

6)$$y=\sqrt{4u+3},\quad u=x^2−6x$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{8x−24}{2\sqrt{4u+3}}=\dfrac{4x−12}{\sqrt{4x^2−24x+3}}$$

Para cada uno de los siguientes ejercicios,

a. descomponer cada función en la forma$$y=f(u)$$ y$$u=g(x)$$, y

b. encontrar$$\dfrac{dy}{dx}$$ en función de$$x$$.

7)$$y=(3x−2)^6$$

8)$$y=(3x^2+1)^3$$

Contestar
a.$$f(u)=u^3,\quad u=3x^2+1$$;

b.$$\dfrac{dy}{dx} = 18x(3x^2+1)^2$$

9)$$y=\sin^5(x)$$

10)$$y=\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^7$$

Contestar
a.$$f(u)=u^7,\quad u=\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}$$;

b.$$\dfrac{dy}{dx} = 7\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^6⋅\left(\dfrac{1}{7}−\dfrac{7}{x^2}\right)$$

11)$$y=\tan(\sec x)$$

12)$$y=\csc(πx+1)$$

Contestar
a.$$f(u)=\csc u,\quad u=πx+1$$;

b.$$\dfrac{dy}{dx} = −π\csc(πx+1)⋅\cot(πx+1)$$

13)$$y=\cot^2x$$

14)$$y=−6\sin^{−3}x$$

Contestar
a.$$f(u)=−6u^{−3},\quad u=\sin x$$;

b.$$\dfrac{dy}{dx} = 18\sin^{−4}x⋅\cos x$$

En los ejercicios 15 - 24, encuentra$$\dfrac{dy}{dx}$$ para cada función.

15)$$y=(3x^2+3x−1)^4$$

16)$$y=(5−2x)^{−2}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{(5−2x)^3}$$

17)$$y=\cos^3(πx)$$

18)$$y=(2x^3−x^2+6x+1)^3$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=6(2x^3−x^2+6x+1)^2⋅(3x^2−x+3)$$

19)$$y=\dfrac{1}{\sin^2(x)}$$

20)$$y=\big(\tan x+\sin x\big)^{−3}$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=−3\big(\tan x+\sin x\big)^{−4}⋅(\sec^2x+\cos x)$$

21)$$y=x^2\cos^4x$$

22)$$y=\sin(\cos 7x)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=−7\cos(\cos 7x)⋅\sin 7x$$

23)$$y=\sqrt{6+\sec πx^2}$$

24)$$y=\cot^3(4x+1)$$

Contestar
$$\dfrac{dy}{dx}=−12\cot^2(4x+1)⋅\csc^2(4x+1)$$

25) Dejemos$$y=\big[f(x)\big]^3$$ y supongamos que$$f′(1)=4$$ y$$\frac{dy}{dx}=10$$ para$$x=1$$. Encuentra$$f(1)$$.

26) Dejemos$$y=\big(f(x)+5x^2\big)^4$$ y supongamos eso$$f(−1)=−4$$ y$$\frac{dy}{dx}=3$$ cuándo$$x=−1$$. Encuentra$$f′(−1)$$

Contestar
$$f′(−1)=10\frac{3}{4}$$

27) Dejar$$y=(f(u)+3x)^2$$ y$$u=x^3−2x$$. Si$$f(4)=6$$ y$$\frac{dy}{dx}=18$$ cuando$$x=2$$, encuentra$$f′(4)$$.

28) [T] Encuentra la ecuación de la línea tangente a$$y=−\sin(\frac{x}{2})$$ en el origen. Use una calculadora para graficar la función y la línea tangente juntas.

Contestar
$$y=-\frac{1}{2}x$$

29) [T] Encuentra la ecuación de la línea tangente a$$y=\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2$$ en el punto$$(1,16)$$. Use una calculadora para graficar la función y la línea tangente juntas.

30) Encuentra las$$x$$ coordenadas en las que la línea tangente a$$y=\left(x−\frac{6}{x}\right)^8$$ es horizontal.

Contestar
$$x=±\sqrt{6}$$

31) [T] Encuentra una ecuación de la línea que sea normal a$$g(θ)=\sin^2(πθ)$$ en el punto$$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$$. Use una calculadora para graficar la función y la línea normal juntas.

Para los ejercicios 32 - 39, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar$$h′(a)$$ en el valor dado para$$a$$.

 $$x$$ $$f(x)$$ $$f'(x)$$ $$g(x)$$ $$g'(x)$$ 0 2 5 0 2 1 1 −2 3 0 2 4 4 1 −1 3 3 −3 2 3

32)$$h(x)=f\big(g(x)\big);\quad a=0$$

Contestar
$$h'(0) = 10$$

33)$$h(x)=g\big(f(x)\big);\quad a=0$$

34)$$h(x)=\big(x^4+g(x)\big)^{−2};\quad a=1$$

Contestar
$$h'(1) = −\frac{1}{8}$$

35)$$h(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2;\quad a=3$$

36)$$h(x)=f\big(x+f(x)\big);\quad a=1$$

Contestar
$$h'(1) = −4$$

37)$$h(x)=\big(1+g(x)\big)^3;\quad a=2$$

38)$$h(x)=g\big(2+f(x^2)\big);\quad a=1$$

Contestar
$$h'(1) = −12$$

39)$$h(x)=f\big(g(\sin x)\big);\quad a=0$$

40) [T] La función de posición de un tren de carga viene dada por$$s(t)=100(t+1)^{−2}$$, con$$s$$ en metros y$$t$$ en segundos. A la hora$$t=6$$ s, encuentra el tren

b. Aceleración.

c. Considerando sus resultados en las partes a. y b., ¿el tren está acelerando o desacelerando?

Contestar
a.$$v(6) = −\frac{200}{343}$$ m/s,

b.$$a(6) = \frac{600}{2401}\;\text{m/s}^2,$$

c. El tren se está desacelerando ya que la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos.

41) [T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple como lo da la siguiente función de posición, donde$$t$$ se mide en segundos y$$s$$ está en pulgadas:

$s(t)=−3\cos\left(πt+\frac{π}{4}\right).\nonumber$

a. Determinar la posición del muelle en el$$t=1.5$$ s.

b. Encuentra la velocidad del muelle en$$t=1.5$$ s.

42) [T] El costo total para producir$$x$$ cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de$$C$$ dólares, donde$$C=0.0001x^3−0.02x^2+3x+300.$$ En$$t$$ semanas se estima que la producción es de$$x=1600+100t$$ cajas.

a. Encuentra el costo marginal$$C′(x).$$

b. utilizar la notación de Leibniz para la regla de la cadena$$\dfrac{dC}{dt}=\dfrac{dC}{dx}⋅\dfrac{dx}{dt}$$,, para encontrar la tasa con respecto al tiempo$$t$$ que el costo está cambiando.

c. Utilice su resultado en la parte b. para determinar qué tan rápido están aumentando los costos cuando$$t=2$$ semanas. Incluir unidades con la respuesta.

Contestar
a.$$C′(x)=0.0003x^2−0.04x+3$$

b.$$\dfrac{dC}{dt}=100⋅(0.0003x^2−0.04x+3) = 100⋅(0.0003(1600+100t)^2−0.04(1600+100t)+3) = 300t^2 +9200t +70700$$

43) [T] La fórmula para el área de un círculo es$$A=πr^2$$, donde$$r$$ está el radio del círculo. Supongamos que un círculo se está expandiendo, lo que significa que tanto el área$$A$$ como el radio$$r$$ (en pulgadas) se están expandiendo.

a. Supongamos$$r=2−\dfrac{100}{(t+7)^2}$$ dónde$$t$$ está el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena$$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}$$ para encontrar la velocidad a la que se expande el área.

b. utilice su resultado en la parte a. para encontrar la tasa a la que el área se expande en$$t=4$$ s.

44) [T] La fórmula para el volumen de una esfera es$$S=\frac{4}{3}πr^3$$, donde$$r$$ (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se está derritiendo al sol.

a. Supongamos$$r=\dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12}$$ dónde$$t$$ está el tiempo en minutos. Usa la regla de la cadena$$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}$$ para encontrar la velocidad a la que se derrita la bola de nieve.

b. utilice su resultado en la parte a. para encontrar la velocidad a la que el volumen está cambiando al$$t=1$$ min.

Contestar
a.$$\dfrac{dS}{dt}=−\dfrac{8πr^2}{(t+1)^3} = −\dfrac{8π\left( \dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12} \right)^2}{(t+1)^3}$$

b. El volumen disminuye a una velocidad de$$−\frac{π}{36}\; \text{ft}^3$$ /min

45) [T] La temperatura diaria en grados Fahrenheit de Phoenix en el verano puede ser modelada por la función$$T(x)=94−10\cos\left[\frac{π}{12}(x−2)\right]$$, donde$$x$$ es horas después de la medianoche. Encuentra la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p.m.

46) [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y caída de las mareas. La profundidad es modelada por la función$$D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8$$, donde$$t$$ es el número de horas después de la medianoche. Encuentre la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a.m.

Contestar
$$~2.3$$pies/hr

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