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3.6: La regla de la cadena

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Objetivos de aprendizaje
• Anotar la regla de la cadena para la composición de dos funciones.
• Aplicar la regla de la cadena junto con la regla de poder.
• Aplicar la regla de la cadena y las reglas de producto/cociente correctamente en combinación cuando ambas sean necesarias.
• Reconocer la regla de la cadena para una composición de tres o más funciones.
• Describir la prueba de la regla de la cadena.

Hemos visto las técnicas para diferenciar funciones básicas ($$x^n,\sin x,\cos x,$$etc.) así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no permiten diferenciar composiciones de funciones, tales como$$h(x)=\sin(x^3)$$ o$$k(x)=\sqrt{3x^2+1}$$. En esta sección, estudiamos la regla para encontrar la derivada de la composición de dos o más funciones.

Derivar la regla de la cadena

Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, usar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que somos capaces de diferenciar puede resultar engorroso. En cambio, usamos la regla de cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa evaluada en la función interna multiplicada por la derivada de la función interna.

Para poner esta regla en contexto, echemos un vistazo a un ejemplo:$$h(x)=\sin(x^3)$$. Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a$$x$$ como la tasa de cambio de$$\sin(x^3)$$ relativo al cambio en$$x$$. En consecuencia, queremos saber cómo$$\sin(x^3)$$ cambia a medida que$$x$$ cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: Como$$x$$ cambios,$$x^3$$ cambios, lo que lleva a un cambio en$$\sin(x^3)$$. Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica computar la derivada de$$\sin(x^3)$$. En primer lugar, un cambio en$$x$$ forzar un cambio en$$x^3$$ sugiere que de alguna manera$$x^3$$ está involucrado el derivado de. Además, el cambio en$$x^3$$ forzar un cambio en$$\sin(x^3)$$ sugiere que la derivada de$$\sin(u)$$ con respecto a$$u$$, donde$$u=x^3$$, también forma parte de la derivada final.

Podemos echar una mirada más formal a la derivada de$$h(x)=\sin(x^3)$$ estableciendo el límite que nos daría la derivada a un valor específico$$a$$ en el dominio de$$h(x)=\sin(x^3)$$.

$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x−a}\nonumber$

Esta expresión no parece particularmente útil; sin embargo, podemos modificarla multiplicando y dividiendo por la expresión$$x^3−a^3$$ para obtener

$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3}⋅\dfrac{x^3−a^3}{x−a}.\nonumber$

De la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de$$x^3$$ at Es$$x=a.$$ decir,

$\lim_{x→a}\dfrac{x^3−a^3}{x−a}=\dfrac{d}{dx}(x^3)\Big|_{x=a}=3a^2.\nonumber$

Sin embargo, podría ser un poco más desafiante reconocer que el primer término también es un derivado. Podemos ver esto dejando$$u=x^3$$ y observando eso como$$x→a,u→a^3$$:

\begin{align*} \lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3} &=\lim_{u→a^3}\dfrac{\sin u−\sin(a^3)}{u−a^3} \\[4pt] &=\dfrac{d}{du}(\sin u)\Big|_{u=a^3} \\[4pt] &=\cos(a^3) \end{align*}. \nonumber

Por lo tanto,$$h'(a)=\cos(a^3)⋅3a^2$$.

En otras palabras, si$$h(x)=\sin(x^3)$$, entonces$$h'(x)=\cos(x^3)⋅3x^2$$. Así, si pensamos en$$h(x)=\sin(x^3)$$ como la composición$$(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big)$$ donde$$f(x)= \sin x$$ y$$g(x)=x^3$$, entonces la derivada de$$h(x)=\sin(x^3)$$ es el producto de la derivada de$$g(x)=x^3$$ y la derivada de la función$$f(x)=\sin x$$ evaluada en la función$$g(x)=x^3$$. En este punto, anticipamos que para$$h(x)=\sin\big(g(x)\big)$$, es muy probable que$$h'(x)=\cos\big(g(x)\big)g'(x)$$. Como determinamos anteriormente, este es el caso para$$h(x)=\sin(x^3)$$.

Ahora que hemos derivado un caso especial de la regla de la cadena, declaramos el caso general y luego lo aplicamos de forma general a otras funciones compuestas. Se proporciona una prueba informal al final de la sección.

Regla: La regla de la cadena

Dejar$$f$$ y$$g$$ ser funciones. Para todos$$x$$ en el dominio de$$g$$ para el cual$$g$$ es diferenciable en$$x$$ y$$f$$ es diferenciable en$$g(x)$$, la derivada de la función compuesta

$h(x)=(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big) \nonumber$

$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x). \nonumber$

Alternativamente, si$$y$$ es una función de$$u$$, y$$u$$ es una función de$$x$$, entonces

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber$

Estrategia de resolución de problemas: aplicación de la regla de la cadena
1. Para diferenciar$$h(x)=f\big(g(x)\big)$$, comenzar por identificar$$f(x)$$ y$$g(x)$$.
2. $$f'(x)$$Encuéntralo y evalúalo en$$g(x)$$ para obtener$$f'\big(g(x)\big)$$.
3. Encuentra$$g'(x).$$
4. Escribir$$h'(x)=f'\big(g(x)\big)⋅g'(x).$$

Nota: Al aplicar la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, tenga en cuenta que trabajamos nuestro camino desde la función externa en. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede pensarse como que tiene dos partes; la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes; y así sucesivamente. Además, recuerde que nunca evaluamos un derivado en un derivado.

Ahora podemos aplicar la regla de cadena a funciones compuestas, pero tenga en cuenta que a menudo necesitamos usarla con otras reglas. Por ejemplo, para encontrar derivadas de funciones de la forma$$h(x)=\big(g(x)\big)^n$$, necesitamos usar la regla de cadena combinada con la regla de poder. Para ello, podemos pensar en$$f\big(g(x)\big)$$ dónde$$f(x)=x^n$$.$$h(x)=\big(g(x)\big)^n$$ Entonces$$f'(x)=nx^{n−1}$$. Por lo tanto,$$f'\big(g(x)\big)=n\big(g(x)\big)^{n−1}$$. Esto nos lleva a la derivada de una función de poder usando la regla de la cadena,

$$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$$

Regla: Regla de Poder para la Composición de Funciones (Regla General de Poder)

Para todos los valores$$x$$ para los que se define la derivada, si

$h(x)=\big(g(x)\big)^n, \nonumber$

Entonces

$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x) \label{genpow}.$

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Using the Chain and Power Rules

Encuentra la derivada de$$h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}$$.

Solución

Primero, reescribir$$h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}=(3x^2+1)^{−2}$$.

Aplicando la regla de poder con$$g(x)=3x^2+1$$, tenemos

$$h'(x)=−2(3x^2+1)^{−3}\cdot 6x$$.

Reescribir de nuevo a la forma original nos da

$$h'(x)=\dfrac{−12x}{(3x^2+1)^3}$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentra la derivada de$$h(x)=(2x^3+2x−1)^4$$.

Pista

Utilice la Regla General de Potencia (Ecuación\ ref {genpow}) con$$g(x)=2x^3+2x−1$$.

Contestar

$$h'(x)=4(2x^3+2x−1)^3(6x^2+2)=8(3x^2+1)(2x^3+2x−1)^3$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Using the Chain and Power Rules with a Trigonometric Function

Encuentra la derivada de$$h(x)=\sin^3x$$.

Solución

Primero recordamos eso$$\sin^3x=(\sin x)^3$$, para que podamos reescribir$$h(x)=\sin^3x$$ como$$h(x)=(\sin x)^3$$.

Aplicando la regla de poder con$$g(x)=\sin x$$, obtenemos

$$h'(x)=3(\sin x)^2\cos x=3\sin^2x\cos x$$.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Finding the Equation of a Tangent Line

Encuentra la ecuación de una línea tangente a la gráfica de$$h(x)=\dfrac{1}{(3x−5)^2}$$ at$$x=2$$.

Solución

Porque estamos encontrando una ecuación de una línea, necesitamos un punto. La$$x$$ coordenada -del punto es 2. Para encontrar la$$y$$ coordenada -sustituya 2 en$$h(x)$$. Ya que$$h(2)=\dfrac{1}{(3(2)−5)^2}=1$$, el punto es$$(2,1)$$.

Para la pendiente, necesitamos$$h'(2)$$. Para encontrar$$h'(x)$$, primero reescribimos$$h(x)=(3x−5)^{−2}$$ y aplicamos la regla de poder para obtener

$$h'(x)=−2(3x−5)^{−3}(3)=−6(3x−5)^{−3}$$.

Al sustituir, tenemos$$h'(2)=−6(3(2)−5)^{−3}=−6.$$

Por lo tanto, la línea tiene ecuación$$y−1=−6(x−2)$$. Reescribiendo, la ecuación de la línea es$$y=−6x+13$$.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$$f(x)=(x^2−2)^3$$ at$$x=−2$$.

Pista

Utilice el ejemplo anterior como guía.

Contestar

$$y=−48x−88$$

Combinar la regla de la cadena con otras reglas

Ahora que podemos combinar la regla de cadena y la regla de poder, examinamos cómo combinar la regla de cadena con las otras reglas que hemos aprendido. En particular, podemos usarlo con las fórmulas para las derivadas de funciones trigonométricas o con la regla del producto.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Using the Chain Rule on a General Cosine Function

Encuentra la derivada de$$h(x)=\cos\big(g(x)\big).$$

Solución

Piense en$$h(x)=\cos\big(g(x)\big)$$ como$$f\big(g(x)\big)$$ dónde$$f(x)=\cos x$$. Ya que$$f'(x)=−\sin x$$, tenemos$$f'\big(g(x)\big)=−\sin\big(g(x)\big)$$. Después hacemos el siguiente cálculo.

\ [\ begin {align*} h' (x) &=f'\ big (g (x)\ big)\ cdot g' (x) &\ text {Aplica la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=−\ sin\ big (g (x)\ big)\ cdot g' (x) &\ text {Sustituto}\; f'\ big (g (x)\ grande) =−\ sin\ grande (g (x)\ grande). \ end {align*}\ nonumber\]

Así, la derivada de$$h(x)=\cos\big(g(x)\big)$$ viene dada por$$h'(x)=−\sin\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de derivar.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Using the Chain Rule on a Cosine Function

Encuentra la derivada de$$h(x)=\cos(5x^2).$$

Solución

Vamos$$g(x)=5x^2$$. Entonces$$g'(x)=10x$$. Usando el resultado del ejemplo anterior,

$$h'(x)=−\sin(5x^2)⋅10x=−10x\sin(5x^2)$$

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$: Using the Chain Rule on Another Trigonometric Function

Encuentra la derivada de$$h(x)=\text{sec}(4x^5+2x).$$

Solución

Aplicar la regla de la cadena$$h(x)=\text{sec}\big(g(x)\big)$$ para obtener

$$h'(x)=\text{sec}(g(x))\tan\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

En este problema,$$g(x)=4x^5+2x,$$ así tenemos$$g'(x)=20x^4+2.$$ Por lo tanto, obtenemos

$$h'(x)=\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x)(20x^4+2)=(20x^4+2)\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x).$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Encuentra la derivada de$$h(x)=\sin(7x+2).$$

Pista

Aplica la regla de la cadena al$$h(x)=\sin\big(g(x)\big)$$ primero y luego usa$$g(x)=7x+2$$.

Contestar

$$h'(x)=7\cos(7x+2)$$

En este punto proporcionamos una lista de fórmulas derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de cadena en conjunto con las fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas. Sus derivaciones son similares a las utilizadas en los ejemplos anteriores. Para mayor comodidad, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que a algunos estudiantes les resulta más fácil recordar. (Discutimos la regla de la cadena usando la notación de Leibniz al final de esta sección.) No es absolutamente necesario memorizarlas como fórmulas separadas ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas previamente aprendidas.

Uso de la regla de cadena con funciones trigonométricas

Para todos los valores$$x$$ para los que se define la derivada,

 $$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin(g(x))\Big)=\cos(g(x))\cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin u\Big)=\cos u\cdot\dfrac{du}{dx}$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos(g(x))\Big)=−\sin(g(x))\cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos u\Big)=−\sin u\cdot\dfrac{du}{dx}$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan(g(x))\Big)=\sec^2(g(x))\cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan u\Big)= \text{sec}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot(g(x))\Big)=−\text{csc}^2(g(x))\cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot u\Big)=−\text{csc}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}(g(x))\Big)=\text{sec}(g(x))\tan(g(x))\cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}\,u\Big)=\text{sec}\,u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}(g(x))\Big)=−\text{csc}(g(x))\cot(g(x))\cdot g'(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}\,u\Big)=−\text{csc}\,u\cot u \cdot\dfrac{du}{dx}.$$
Ejemplo$$\PageIndex{7}$$: Combining the Chain Rule with the Product Rule

Encuentra la derivada de$$h(x)=(2x+1)^5(3x−2)^7$$.

Solución

Primero aplique la regla del producto, luego aplique la regla de la cadena a cada término del producto.

\ (\ begin {align*} h' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ big ((2x+1) ^5\ big) ⋅ (3x−2) ^7+\ dfrac {d} {dx}\ big ((3x−2) ^7\ big) ⋅ (2x+1) ^5 &\ text {Aplica la regla del producto.}\\ [4pt]
=5 (2x+1) ^42⋅ (3x−2) ^7+7 (3x−2) ^63⋅ (2x+1) ^5 & &\ text {Aplica la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=10 (2x+1) ^4 (3x−2) ^7+21 ( 3x−2) ^6 (2x+1) ^5 & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 (10 (3x−2) +21 (2x+1)) &\ text {Factor de salida} (2x+1) ^4 (3x−2) ^6\\ [4pt] & =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6\ [4pt]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2)) ^6 (72x+1) & &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\)

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encuentra la derivada de$$h(x)=\dfrac{x}{(2x+3)^3}$$.

Pista

Comienza aplicando la regla del cociente. Recuerda usar la regla de la cadena para diferenciar el denominador.

Contestar

$$h'(x)=\dfrac{3−4x}{(2x+3)^4}$$

Composites de tres o más funciones

Ahora podemos combinar la regla de cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando estamos diferenciando la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de cadena más de una vez. Si miramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula, pero no necesitamos recordarla, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces.

En términos generales, primero dejamos

$k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber$

Luego, aplicando la regla de la cadena una vez que obtengamos

$k'(x)=\dfrac{d}{dx}\Big(h\big(f\big(g(x)\big)\big)\Big)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)⋅\dfrac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber$

Aplicando de nuevo la regla de la cadena, obtenemos

$k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\nonumber$

Regla: Regla de cadena para una composición de tres funciones

Para todos los valores$$x$$ para los cuales la función es diferenciable, si

$$k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big),$$

entonces

$$k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

Es decir, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces.

Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes. (De igual manera, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, y así sucesivamente.) También, recuerde, siempre podemos trabajar desde afuera adentro, tomando una derivada a la vez.

Ejemplo$$\PageIndex{8}$$: Differentiating a Composite of Three Functions

Encuentra la derivada de$$k(x)=\cos^4(7x^2+1).$$

Solución

Primero, reescribe$$k(x)$$ como

$$k(x)=\big(\cos(7x^2+1)\big)^4$$.

Después aplique la regla de la cadena varias veces.

\ (\ begin {align*} k' (x) &=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ big (\ cos (7x^2+1)\ big) &\ text {Aplicar la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (−\ sin (7x^2+1))\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ big (7x^2+1\ big) &\ text {Aplica la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (−\ sin (7x^2+1)) (14x) &\ text {Aplica la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=−56x\ sin (7x^2+1)\ cos^3 (7x^2+1) &\ text {Simplificar}\ end {align*}\)

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentra la derivada de$$h(x)=\sin^6(x^3).$$

Pista

Reescribir$$h(x)=\sin^6(x^3)=\big(\sin(x^3)\big)^6$$ y usar Ejemplo$$\PageIndex{8}$$ como guía.

Contestar

$$h'(x)=18x^2\sin^5(x^3)\cos(x^3)$$

Ejemplo$$\PageIndex{9}$$: Using the Chain Rule in a Velocity Problem

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por$$s(t)=\sin(2t)+\cos(3t)$$. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el momento$$t=\dfrac{π}{6}$$?

Solución

Para encontrar$$v(t)$$, la velocidad de la partícula en el momento$$t$$, debemos diferenciar$$s(t)$$. Por lo tanto,

$v(t)=s'(t)=2\cos(2t)−3\sin(3t).\nonumber$

En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. Por el bien de la simplicidad ignoramos ciertas cuestiones: Por ejemplo, suponemos que$$g(x)≠g(a)$$ para$$x≠a$$ en algún intervalo abierto que contenga$$a$$. Comenzamos aplicando la definición límite de la derivada a la función$$h(x)$$ para obtener$$h'(a)$$:

$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{x−a}. \nonumber$

Reescribiendo, obtenemos

$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}. \nonumber$

A pesar de que es claro que

$\lim_{x→a}\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=g'(a), \nonumber$

no es obvio que

$\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}=f'\big(g(a)\big). \nonumber$

Para ver que esto es cierto, primero recordemos que ya que$$g$$ es diferenciable en$$a$$, también$$g$$ es continuo en$$a.$$ Así,

$\lim_{x→a}g(x)=g(a). \nonumber$

A continuación, realizar la sustitución$$y=g(x)$$ y$$b=g(a)$$ y el cambio de uso de variables en el límite para obtener

$\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f \big(g(a) \big)}{g(x)−g(a)}=\lim_{y→b}\dfrac{f(y)−f(b)}{y−b}=f'(b)=f'\big(g(a)\big). \nonumber$

Por último,

$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big )}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a). \nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{10}$$: Using the Chain Rule with Functional Values

Dejar$$h(x)=f\big(g(x)\big).$$ Si$$g(1)=4,g'(1)=3$$, y$$f'(4)=7$$, encontrar$$h'(1).$$

Solución

Use la regla de la cadena, luego sustituya.

\ [\ begin {align*} h' (1) &=f'\ big (g (1)\ big)\ cdot g' (1) &\ text {Aplica la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=f' (4) 3 &\ text {Sustituto}\; g (1) =4\;\ text {y}\; g' (1) =3.\ [4pt]
&=73 & &\ text {Sustituto}\; f' (4) =7.\\ [4pt]
&=21 & &\ text {Simplificar.} \ end {align*}\ nonumber\]

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dado$$h(x)=f(g(x))$$. Si$$g(2)=−3,g'(2)=4,$$ y$$f'(−3)=7$$, encuentra$$h'(2)$$.

Pista

Seguir Ejemplo$$\PageIndex{10}$$.

Contestar

28

La regla de la cadena usando la notación de Leibniz

Al igual que con otras derivadas que hemos visto, podemos expresar la regla de la cadena usando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se usa mucho en aplicaciones de física.

Para$$h(x)=f(g(x)),$$ dejar$$u=g(x)$$ y$$y=h(x)=f(u).$$ Así,

$h'(x)=\dfrac{dy}{dx}\nonumber$

$f'(g(x))=f'(u)=\dfrac{dy}{du}\nonumber$

y

$g'(x)=\dfrac{du}{dx}.\nonumber$

En consecuencia,

$\dfrac{dy}{dx}=h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}.\nonumber$

Regla: Regla en cadena usando la notación de Leibniz

Si$$y$$ es una función de$$u$$, y$$u$$ es una función de$$x$$, entonces

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{11}$$: Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation I

Encuentra la derivada de$$y=\left(\dfrac{x}{3x+2}\right)^5.$$

Solución

Primero, vamos$$u=\dfrac{x}{3x+2}$$. Por lo tanto,$$y=u^5$$. A continuación, encontrar$$\dfrac{du}{dx}$$ y$$\dfrac{dy}{du}$$. Usando la regla del cociente,

$$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2}{(3x+2)^2}$$

y

$$\dfrac{dy}{du}=5u^4$$.

Por último, lo juntamos todo.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du} ⋅\ dfrac {du} {dx} &\ text {Aplica la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=5u^4⋅\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} &\ text {Sustituto}\;\ frac {dy} {du} =5u^4\;\ texto {y}\;\ frac {du} {dx} =\ frac {2} {(3x+2) ^2}.\\ [4pt]
&=5\ izquierda (\ dfrac {x} {3x+2}\ derecha) ^4⋅\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} &\ text {Sustituto}\; u=\ frac {x} {3x+2}.\\ [4pt]
&=\ dfrac {10x^4} {(3x+2) ^6} &\ text {Simplificar.} \ end {alinear*}\]

Es importante recordar que, al utilizar la forma Leibniz de la regla de la cadena, la respuesta final debe expresarse enteramente en términos de la variable original dada en el problema.

Ejemplo$$\PageIndex{12}$$: Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation II

Encuentra la derivada de$$y=\tan(4x^2−3x+1).$$

Solución

Primero, vamos$$u=4x^2−3x+1.$$ Entonces$$y=\tan u$$. A continuación, encuentra$$\dfrac{du}{dx}$$ y$$\dfrac{dy}{du}$$:

$$\dfrac{du}{dx}=8x−3$$y$$\dfrac{dy}{du}=\text{sec}^2u.$$

Por último, lo juntamos todo.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du} ⋅\ dfrac {du} {dx} &\ text {Aplicar la regla de la cadena.}\\ [4pt]
&=\ text {sec} ^2u⋅ (8x−3) &\ text {Usar}\;\ dfrac {du} {dx} =8x−3\;\ texto {y}\;\ dfrac {dy} {du} =\ texto {seg} ^2u.\\ [4pt]
&=\ texto {seg} ^2 (4x^2−3x+1) ⋅ (8x−3) & & amp;\ text {Sustituto}\; u=4x^2−3x+1. \ end {align*}\ nonumber\]

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Utilice la notación de Leibniz para encontrar la derivada de$$y=\cos(x^3)$$. Asegúrese de que la respuesta final se exprese enteramente en términos de la variable$$x$$.

Pista

Vamos$$u=x^3$$.

Contestar

$$\dfrac{dy}{dx}=−3x^2\sin(x^3).$$

Conceptos clave

• La regla de la cadena nos permite diferenciar composiciones de dos o más funciones. Afirma que para$$h(x)=f\big(g(x)\big),$$

$$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

En la notación de Leibniz esta regla toma la forma

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}$$.

• Podemos usar la regla de la cadena con otras reglas que hemos aprendido, y podemos derivar fórmulas para algunas de ellas.
• La regla de cadena se combina con la regla de poder para formar una nueva regla:

Si$$h(x)=\big(g(x)\big)^n$$, entonces$$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$$.

• Cuando se aplica a la composición de tres funciones, la regla de cadena se puede expresar de la siguiente manera: Si$$h(x)=f\Big(g\big(k(x)\big)\Big),$$ entonces$$h'(x)=f'\Big(g\big(k(x)\big)\Big)\cdot g'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).$$

Ecuaciones Clave

• La regla de la cadena

$$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$$

• La regla de potencia para las funciones

$$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$$