4.2E: Ejercicios para la Sección 4.2

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1) ¿Cuál es la aproximación lineal para cualquier función lineal genérica\(y=mx+b\)?

2) Determinar las condiciones necesarias para que la función de aproximación lineal sea constante. Usa una gráfica para probar tu resultado.

Responder: \(f'(a) = 0\)

3) Explique por qué la aproximación lineal se vuelve menos precisa a medida que aumenta la distancia entre\(x\) y\(a\). Usa una gráfica para probar tu argumento.

4) ¿Cuándo es exacta la aproximación lineal?

Responder: La aproximación lineal exacta cuando\(y=f(x)\) es lineal o constante.

En los ejercicios 5 - 10, encuentra la aproximación lineal\(L(x)\) a\(y=f(x)\) cerca\(x=a\) para la función.

5) [T]\(f(x)=x+x^4, \quad a=0\)

6) [T]\(f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad a=2\)

Responder: \(L(x)=\frac{1}{2}−\frac{1}{4}(x−2)\)

7) [T]\(f(x)=\tan x, \quad a=\frac{π}{4}\)

8) [T]\(f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}\)

Responder: \(L(x)=1\)

9) [T]\(f(x)=x\sin x,\quad a=2π\)

10) [T]\(f(x)=\sin^2x,\quad a=0\)

Responder: \(L(x)=0\)

En los ejercicios 11 - 16, calcule los valores dados dentro\(0.01\) decidiendo los apropiados\(f(x)\) y\(a\), y evaluando\(L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).\) Verifique su respuesta usando una calculadora.

11) [T]\((2.001)^6\)

12) [T]\(\sin(0.02)\)

Responder: \(\sin(0.02)\approx 0.02\)

13) [T]\(\cos(0.03)\)

14) [T]\((15.99)^{1/4}\)

Responder: \((15.99)^{1/4}\approx 1.9996875\)

15) [T]\(\dfrac{1}{0.98}\)

16) [T]\(\sin(3.14)\)

Responder: \(\sin(3.14)\approx 0.001593\)

En los ejercicios 17 - 22, determinar el apropiado\(f(x)\) y\(a\), y evaluar\(L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).\) Calcular el error numérico en las aproximaciones lineales que siguen.

17)\((1.01)^3\)

18)\(\cos(0.01)\)

Responder: \(\cos(0.01) \approx L(0.01) = f(0) + f'(0)(0-0.01) = 1;\)error,\(~0.00005\)

19)\((\sin(0.01))^2\)

20)\((1.01)^{−3}\)

Responder: \((1.01)^{−3}\approx L(1.01) = f(1) + f'(1)(1.01 - 1) = 0.97;\)error,\(~0.0006\)

21)\(\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}\)

22)\(\sqrt{8.99}\)

Responder: \(\sqrt{8.99} \approx L(8.99) = f(9) + f'(9)(8.99 - 9)= 3−\frac{1}{600};\)error,\(~4.632×10^{−7}\)

En los ejercicios 23 - 26, encuentra el diferencial de la función.

23)\(y=3x^4+x^2−2x+1\)

24)\(y=x\cos x\)

Responder: \(dy=(\cos x−x\sin x)\,dx\)

25)\(y=\sqrt{1+x}\)

26)\(y=\dfrac{x^2+2}{x−1}\)

Responder: \(dy=(\dfrac{x^2−2x−2}{(x−1)^2})dx\)

En los ejercicios 27 - 32, encontrar el diferencial y evaluar para lo dado\(x\) y\(dx\).

27)\(y=3x^2−x+6, \;x=2, \;dx=0.1\)

28)\(y=\dfrac{1}{x+1}, \;x=1, \;dx=0.25\)

Responder: \(dy=−\dfrac{1}{(x+1)^2}dx, \quad dy =−\frac{1}{16}\)

29)\(y=\tan x, \;x=0, \;dx=\frac{π}{10}\)

30)\(y=\dfrac{3x^2+2}{\sqrt{x+1}}, \;x=0, \;dx=0.1\)

Responder: \(dy=\dfrac{9x^2+12x−2}{2(x+1)^{3/2}}dx,\quad dy = −0.1\)

31)\(y=\dfrac{\sin(2x)}{x}, \;x=π, \;dx=0.25\)

32)\(y=x^3+2x+\dfrac{1}{x}, \;x=1, \;dx=0.05\)

Responder: \(dy=\left(3x^2+2−\dfrac{1}{x^2}\right)dx, \quad dy = 0.2\)

En los ejercicios 33 - 38, encuentra el cambio en el volumen\(dV\) o en la superficie\(dA.\)

33)\(dV\) si los lados de un cubo cambian de 10 a 10.1.

34)\(dA\) si los lados de un cubo cambian de\(x\) a\(x+dx\).

Responder: \(dA = 12x\,dx\)

35)\(dA\) si el radio de una esfera cambia de\(r\) por\(dr.\)

36)\(dV\) si el radio de una esfera cambia de\(r\) por\(dr\).

Responder: \(dV=4πr^2dr\)

37)\(dV\) si un cilindro circular con\(r=2\) cambios de altura de\(3\) cm a\(3.05cm.\)

38)\(dV\) si un cilindro circular de altura 3 cambia de\(r=2\) a\(r=1.9\) cm.

Responder: \(dV = −1.2π\,\text{cm}^3\)

En los ejercicios 39 - 41, utilizar diferenciales para estimar el error máximo y relativo a la hora de calcular el área de superficie o volumen.

39) Se mide una pelota de golf esférica para tener un radio de\(5\) mm, con un posible error de medición de\(0.1\) mm. ¿Cuál es el posible cambio de volumen?

40) Una alberca tiene una base rectangular de 10 pies por 20 pies y una profundidad de 6 pies. ¿Cuál es el cambio de volumen si solo lo llena hasta 5.5 pies?

Responder: \(−100 \,\text{ft}^3\)

41) Un cono de helado tiene una altura de 4 pulg. y un radio de 1 pulg. Si el cono tiene un grosor de 0.1 pulg., ¿cuál es la diferencia entre el volumen del cono, incluyendo la cáscara, y el volumen del helado que puede caber dentro de la cáscara?

En los ejercicios 42 - 44, confirme las aproximaciones utilizando la aproximación lineal en\(x=0.\)

42)\(\sqrt{1−x}≈1−\frac{1}{2}x\)

43)\(\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}≈1\)

44)\(\sqrt{c^2+x^2}≈c\)