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# 4.2E: Ejercicios para la Sección 4.2

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1) ¿Cuál es la aproximación lineal para cualquier función lineal genérica$$y=mx+b$$?

2) Determinar las condiciones necesarias para que la función de aproximación lineal sea constante. Usa una gráfica para probar tu resultado.

Responder
$$f'(a) = 0$$

3) Explique por qué la aproximación lineal se vuelve menos precisa a medida que aumenta la distancia entre$$x$$ y$$a$$. Usa una gráfica para probar tu argumento.

4) ¿Cuándo es exacta la aproximación lineal?

Responder
La aproximación lineal exacta cuando$$y=f(x)$$ es lineal o constante.

En los ejercicios 5 - 10, encuentra la aproximación lineal$$L(x)$$ a$$y=f(x)$$ cerca$$x=a$$ para la función.

5) [T]$$f(x)=x+x^4, \quad a=0$$

6) [T]$$f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad a=2$$

Responder
$$L(x)=\frac{1}{2}−\frac{1}{4}(x−2)$$

7) [T]$$f(x)=\tan x, \quad a=\frac{π}{4}$$

8) [T]$$f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}$$

Responder
$$L(x)=1$$

9) [T]$$f(x)=x\sin x,\quad a=2π$$

10) [T]$$f(x)=\sin^2x,\quad a=0$$

Responder
$$L(x)=0$$

En los ejercicios 11 - 16, calcule los valores dados dentro$$0.01$$ decidiendo los apropiados$$f(x)$$ y$$a$$, y evaluando$$L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).$$ Verifique su respuesta usando una calculadora.

11) [T]$$(2.001)^6$$

12) [T]$$\sin(0.02)$$

Responder
$$\sin(0.02)\approx 0.02$$

13) [T]$$\cos(0.03)$$

14) [T]$$(15.99)^{1/4}$$

Responder
$$(15.99)^{1/4}\approx 1.9996875$$

15) [T]$$\dfrac{1}{0.98}$$

16) [T]$$\sin(3.14)$$

Responder
$$\sin(3.14)\approx 0.001593$$

En los ejercicios 17 - 22, determinar el apropiado$$f(x)$$ y$$a$$, y evaluar$$L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).$$ Calcular el error numérico en las aproximaciones lineales que siguen.

17)$$(1.01)^3$$

18)$$\cos(0.01)$$

Responder
$$\cos(0.01) \approx L(0.01) = f(0) + f'(0)(0-0.01) = 1;$$error,$$~0.00005$$

19)$$(\sin(0.01))^2$$

20)$$(1.01)^{−3}$$

Responder
$$(1.01)^{−3}\approx L(1.01) = f(1) + f'(1)(1.01 - 1) = 0.97;$$error,$$~0.0006$$

21)$$\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}$$

22)$$\sqrt{8.99}$$

Responder
$$\sqrt{8.99} \approx L(8.99) = f(9) + f'(9)(8.99 - 9)= 3−\frac{1}{600};$$error,$$~4.632×10^{−7}$$

En los ejercicios 23 - 26, encuentra el diferencial de la función.

23)$$y=3x^4+x^2−2x+1$$

24)$$y=x\cos x$$

Responder
$$dy=(\cos x−x\sin x)\,dx$$

25)$$y=\sqrt{1+x}$$

26)$$y=\dfrac{x^2+2}{x−1}$$

Responder
$$dy=(\dfrac{x^2−2x−2}{(x−1)^2})dx$$

En los ejercicios 27 - 32, encontrar el diferencial y evaluar para lo dado$$x$$ y$$dx$$.

27)$$y=3x^2−x+6, \;x=2, \;dx=0.1$$

28)$$y=\dfrac{1}{x+1}, \;x=1, \;dx=0.25$$

Responder
$$dy=−\dfrac{1}{(x+1)^2}dx, \quad dy =−\frac{1}{16}$$

29)$$y=\tan x, \;x=0, \;dx=\frac{π}{10}$$

30)$$y=\dfrac{3x^2+2}{\sqrt{x+1}}, \;x=0, \;dx=0.1$$

Responder
$$dy=\dfrac{9x^2+12x−2}{2(x+1)^{3/2}}dx,\quad dy = −0.1$$

31)$$y=\dfrac{\sin(2x)}{x}, \;x=π, \;dx=0.25$$

32)$$y=x^3+2x+\dfrac{1}{x}, \;x=1, \;dx=0.05$$

Responder
$$dy=\left(3x^2+2−\dfrac{1}{x^2}\right)dx, \quad dy = 0.2$$

En los ejercicios 33 - 38, encuentra el cambio en el volumen$$dV$$ o en la superficie$$dA.$$

33)$$dV$$ si los lados de un cubo cambian de 10 a 10.1.

34)$$dA$$ si los lados de un cubo cambian de$$x$$ a$$x+dx$$.

Responder
$$dA = 12x\,dx$$

35)$$dA$$ si el radio de una esfera cambia de$$r$$ por$$dr.$$

36)$$dV$$ si el radio de una esfera cambia de$$r$$ por$$dr$$.

Responder
$$dV=4πr^2dr$$

37)$$dV$$ si un cilindro circular con$$r=2$$ cambios de altura de$$3$$ cm a$$3.05cm.$$

38)$$dV$$ si un cilindro circular de altura 3 cambia de$$r=2$$ a$$r=1.9$$ cm.

Responder
$$dV = −1.2π\,\text{cm}^3$$

En los ejercicios 39 - 41, utilizar diferenciales para estimar el error máximo y relativo a la hora de calcular el área de superficie o volumen.

39) Se mide una pelota de golf esférica para tener un radio de$$5$$ mm, con un posible error de medición de$$0.1$$ mm. ¿Cuál es el posible cambio de volumen?

40) Una alberca tiene una base rectangular de 10 pies por 20 pies y una profundidad de 6 pies. ¿Cuál es el cambio de volumen si solo lo llena hasta 5.5 pies?

Responder
$$−100 \,\text{ft}^3$$

41) Un cono de helado tiene una altura de 4 pulg. y un radio de 1 pulg. Si el cono tiene un grosor de 0.1 pulg., ¿cuál es la diferencia entre el volumen del cono, incluyendo la cáscara, y el volumen del helado que puede caber dentro de la cáscara?

En los ejercicios 42 - 44, confirme las aproximaciones utilizando la aproximación lineal en$$x=0.$$

42)$$\sqrt{1−x}≈1−\frac{1}{2}x$$

43)$$\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}≈1$$

44)$$\sqrt{c^2+x^2}≈c$$

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