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# 4.3E: Ejercicios para la Sección 4.3

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1) En el precálculo, aprendiste una fórmula para la posición del máximo o mínimo de una ecuación cuadrática$$y=ax^2+bx+c$$, que era$$m=−\frac{b}{2a}$$. Demuestra esta fórmula usando cálculo.

2) Si estás encontrando un mínimo absoluto a lo largo de un intervalo ¿$$[a,b],$$por qué necesitas verificar los puntos finales? Dibuja una gráfica que apoye tu hipótesis.

Responder
En un intervalo cerrado, los puntos finales a menudo se encuentran por encima o por debajo de cualquier extremo local (relativo). Las respuestas pueden variar para la gráfica.

3) Si estás examinando una función a lo largo de un intervalo$$(a,b),$$ para$$a$$ y$$b$$ finito, ¿es posible no tener un máximo absoluto o un mínimo absoluto?

4) Cuando estés comprobando puntos críticos para localizar los extremos de una función$$f$$, explica por qué también necesitas determinar puntos donde$$f'(x)$$ está indefinido. Dibuja una gráfica para apoyar tu explicación.

Responder
Los puntos en la gráfica de$$f$$ donde hay una esquina, una cúspide, o una discontinuidad de salto o discontinuidad removible pueden ser fácilmente extremos absolutos (o locales) de la función. Las respuestas pueden variar para la gráfica.

5) ¿Se puede tener un máximo absoluto finito por$$y=ax^2+bx+c$$ más$$(−∞,∞)$$? Explique por qué o por qué no usando argumentos gráficos.

6) ¿Se puede tener un máximo absoluto finito para$$y=ax^3+bx^2+cx+d$$$$(−∞,∞)$$ sobreasumir que$$a$$ es distinto de cero? Explique por qué o por qué no usando argumentos gráficos.

Responder
No; las respuestas variarán

7) Dejar$$m$$ ser el número de mínimos locales y$$M$$ ser el número de máximos locales. ¿Se puede crear una función donde$$M>m+2$$? Dibuja una gráfica para apoyar tu explicación.

8) ¿Es posible tener más de un máximo absoluto? Usa un argumento gráfico para probar tu hipótesis.

Responder
Dado que el máximo absoluto es el valor de la función (salida) en lugar del valor x, la respuesta es no; las respuestas variarán

9) ¿Es posible no tener mínimo o máximo absoluto para una función? Si es así, construya tal función. Si no, explique por qué esto no es posible.

10) [T] Grafica la función ¿$$y=e^{ax}.$$Para qué valores de$$a$$, en cualquier dominio infinito, tendrás un mínimo absoluto y un máximo absoluto?

Responder
Cuando$$a=0$$

En los ejercicios 11 - 14, determinar dónde ocurren los máximos y mínimos locales y absolutos en la gráfica dada. Supongamos que los dominios son intervalos cerrados a menos que se especifique

11)

12)

Responder
Mínimo absoluto a 3; Máximo absoluto en −2.2; mínimos locales en −2, 1; máximos locales en −1, 2

13)

14)

Responder
Mínimos absolutos a −2, 2; máximos absolutos a −2.5, 2.5; mínimo local a 0; máximos locales en −1, 1

Para los ejercicios 15 - 18, dibuje gráficas de$$f(x)$$, que es continuo, a lo largo del intervalo$$[−4,4]$$ con las siguientes propiedades:

15) Máximo absoluto en$$x=2$$ y mínimos absolutos en$$x=±3$$

16) Mínimo absoluto en$$x=1$$ y máximo absoluto en$$x=2$$

Responder
Las respuestas pueden variar.

17) Máximo absoluto al mínimo$$x=4,$$ absoluto en el máximo$$x=−1,$$ local en$$x=−2,$$ y un punto crítico que no es un máximo o mínimo en$$x=2$$

18) Máximo absoluto en$$x=2$$ y$$x=−3$$, mínimo local en$$x=1$$, y mínimo absoluto en$$x=4$$

Responder
Las respuestas pueden variar.

En los ejercicios 19 - 28, encuentra los puntos críticos en los dominios de las funciones dadas.

19)$$y=4x^3−3x$$

20)$$y=4\sqrt{x}−x^2$$

Responder
$$x=1$$

21)$$y=\dfrac{1}{x−1}$$

22)$$y=\ln(x−2)$$

Responder
Ninguno

23)$$y=\tan(x)$$

24)$$y=\sqrt{4−x^2}$$

Responder
$$x=0$$

25)$$y=x^{3/2}−3x^{5/2}$$

26)$$y=\dfrac{x^2−1}{x^2+2x−3}$$

Responder
Ninguno

27)$$y=\sin^2(x)$$

28)$$y=x+\dfrac{1}{x}$$

Responder
$$x=−1$$y$$x = 1$$

En los ejercicios 29 - 39, encuentra los máximos locales y/o absolutos para las funciones sobre el dominio especificado.

29)$$f(x)=x^2+3$$ sobre$$[−1,4]$$

30)$$y=x^2+\dfrac{2}{x}$$ sobre$$[1,4]$$

Responder
Máximo absoluto:$$x=4, y=\frac{33}{2}$$; mínimo absoluto:$$x=1, y=3$$

31)$$y=(x−x^2)^2$$ sobre$$[−1,1]$$

32)$$y=\dfrac{1}{x−x^2}$$ sobre$$[0,1]$$

Responder
Mínimo absoluto:$$x=\frac{1}{2}, y=4$$

33)$$y=\sqrt{9−x}$$ sobre$$[1,9]$$

34)$$y=x+\sin(x)$$ sobre$$[0,2π]$$

Responder
Máximo absoluto: mínimo$$x=2π, y=2π;$$ absoluto:$$x=0, y=0$$

35)$$y=\dfrac{x}{1+x}$$ sobre$$[0,100]$$

36)$$y=|x+1|+|x−1|$$ sobre$$[−3,2]$$

Responder
Máximo absoluto: mínimo$$x=−3, y = 6;$$ absoluto:$$−1≤x≤1, y=2$$

37)$$y=\sqrt{x}−\sqrt{x^3}$$ sobre$$[0,4]$$

38)$$y=\sin x+\cos x$$ sobre$$[0,2π]$$

Contestar
Máximo absoluto:$$x=\frac{π}{4}, y=\sqrt{2}$$; mínimo absoluto:$$x=\frac{5π}{4}, y=−\sqrt{2}$$

39)$$y=4\sin θ−3\cos θ$$ sobre$$[0,2π]$$

En los ejercicios 40 - 45, encuentra los mínimos y máximos locales y absolutos para las funciones sobre$$(−∞,∞).$$

40)$$y=x^2+4x+5$$

Contestar
Mínimo absoluto:$$x=−2, y=1$$

41)$$y=x^3−12x$$

42)$$y=3x^4+8x^3−18x^2$$

Contestar
Mínimo absoluto: máximo$$x=−3, y=−135;$$ local:$$x=0, y=0$$; mínimo local:$$x=1, y=−7$$

43)$$y=x^3(1−x)^6$$

44)$$y=\dfrac{x^2+x+6}{x−1}$$

Contestar
Máximo local:$$x=1−2\sqrt{2}, y=3−4\sqrt{2}$$; mínimo local:$$x=1+2\sqrt{2}, y=3+4\sqrt{2}$$

45)$$y=\dfrac{x^2−1}{x−1}$$

En los ejercicios 46 - 50, utilice una calculadora para graficar la función y estimar los máximos y mínimos absolutos y locales. Entonces, resolver por ellos de manera explícita.

46) [T]$$y=3x\sqrt{1−x^2}$$

Contestar
Máximo absoluto: mínimo$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=\frac{3}{2};$$ absoluto:$$x=−\frac{\sqrt{2}}{2}, y=−\frac{3}{2}$$

47) [T]$$y=x+\sin(x)$$

48) [T]$$y=12x^5+45x^4+20x^3−90x^2−120x+3$$

Contestar
Máximo local:$$x=−2,y=59$$; mínimo local:$$x=1, y=−130$$

49) [T]$$y=\dfrac{x^3+6x^2−x−30}{x−2}$$

50) [T]$$y=\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{\sqrt{4+x^2}}$$

Contestar
Máximo absoluto: mínimo$$x=0, y=1;$$ absoluto:$$x=−2,2, y=0$$

51) Una empresa que produce teléfonos celulares tiene una función de costo de$$C=x^2−1200x+36,400,$$ donde$$C$$ se cuesta en dólares y$$x$$ es el número de celulares producidos (en miles). ¿Cuántas unidades de celular (en miles) minimiza esta función de costo?

52) Se lanza una pelota al aire y su posición viene dada por$$h(t)=−4.9t^2+60t+5m.$$ Encuentra la altura a la que la pelota deja de ascender. ¿Cuánto tiempo después de que se lanza sucede esto?

Contestar
$$h=\frac{9245}{49}$$m,$$t=\frac{300}{49}$$ s

Para los ejercicios 53-54, considere la producción de oro durante la fiebre del oro de California (1848—1888). La producción de oro puede ser modelada por$$G(t)=\dfrac{(25t)}{(t^2+16)}$$, donde$$t$$ está el número de años desde que comenzó la fiebre$$(0≤t≤40)$$ y$$G$$ es onzas de oro producidas (en millones). En la siguiente figura se muestra un resumen de los datos.

53) Encontrar cuándo ocurrió la producción máxima (local y global) de oro, y la cantidad de oro producida durante ese máximo.

54) Encontrar cuándo ocurrió la producción mínima (local y global) de oro. ¿Cuál fue la cantidad de oro producida durante este mínimo?

Contestar
El mínimo global fue en 1848, cuando no se produjo oro.

En los ejercicios 55 y 56, encuentra los puntos críticos, máximos y mínimos para las funciones por partes dadas.

55)$$y= \begin{cases} x^2−4x, & \text{if }0≤x≤1\\x^2−4, & \text{if }1<x≤2 \end{cases}$$

56)$$y=\begin{cases}x^2+1, & \text{if }x≤1 \\ x^2−4x+5, & \text{if }x>1\end{cases}$$

Contestar
Mínimos absolutos:$$x=0, x=2, y=1$$; máximo local en$$x=1, y=2$$

En los ejercicios 57 - 58, encuentra los puntos críticos de las siguientes funciones genéricas. ¿Son máximos, mínimos o ninguno? Expresar las condiciones necesarias.

57)$$y=ax^2+bx+c,$$ dado que$$a>0$$

58)$$y=(x−1)^a$$, dado que$$a>1$$

Contestar
Sin máximo/mínimos si$$a$$ es impar, mínimo en$$x=1$$ si$$a$$ es par