4.4: El teorema del valor medio
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Objetivos de aprendizaje
- Explicar el significado del teorema de Rolle.
- Describir la significancia del Teorema del Valor Medio.
- Anotar tres consecuencias importantes del Teorema del Valor Medio.
El Teorema del Valor Medio es uno de los teoremas más importantes en el cálculo. Analizamos algunas de sus implicaciones al final de esta sección. Primero, comencemos con un caso especial del Teorema del Valor Medio, llamado teorema de Rolle.
Teorema de Rolle
Informalmente, el teorema de Rolle establece que si las salidas de una función diferenciablef son iguales en los puntos finales de un intervalo, entonces debe haber un punto interiorc dondef′(c)=0. La figura4.4.1 ilustra este teorema.

Teorema de Rolle
Dejarf ser una función continua sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b) tal quef(a)=f(b). Entonces existe al menos unoc∈(a,b) tal quef′(c)=0.
Prueba
Vamosk=f(a)=f(b). Consideramos tres casos:
- f(x)=kpara todosx∈(a,b).
- Existex∈(a,b) tal quef(x)>k.
- Existex∈(a,b) tal quef(x)<k.
Caso 1: Si esf(x)=k para todosx∈(a,b), entoncesf′(x)=0 para todosx∈(a,b).
Caso 2: Dado quef es una función continua sobre el intervalo cerrado, acotado[a,b], por el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. También, ya que hay un puntox∈(a,b) tal quef(x)>k, el máximo absoluto es mayor quek. Por lo tanto, el máximo absoluto no ocurre en ninguno de los dos extremos. En consecuencia, el máximo absoluto debe ocurrir en un punto interiorc∈(a,b). Porquef tiene un máximo en un punto interiorc, yf es diferenciable enc, según el teorema de Fermat,f′(c)=0.
Caso 3: El caso cuando exista un puntox∈(a,b) tal quef(x)<k sea análogo al caso 2, con máximo sustituido por mínimo.
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Un punto importante sobre el teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la funciónf es crítica. Si nof es diferenciable, incluso en un solo punto, es posible que el resultado no se mantenga. Por ejemplo, la funciónf(x)=|x|−1 es continua sobre[−1,1] yf(−1)=0=f(1), perof′(c)≠0 para cualquierac∈(−1,1) como se muestra en la siguiente figura.

Consideremos ahora las funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle y calculemos explícitamente los puntosc dondef′(c)=0.
Ejemplo4.4.1: Using Rolle’s Theorem
Para cada una de las siguientes funciones, verificar que la función cumpla con los criterios establecidos en el teorema de Rolle y encuentre todos los valoresc en el intervalo dado dondef′(c)=0.
- f(x)=x2+2xsobre[−2,0]
- f(x)=x3−4xsobre[−2,2]
Solución
a. ya quef es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes. Además,f(−2)=0=f(0). Por lo tanto,f satisface los criterios del teorema de Rolle. Concluimos que existe al menos un valorc∈(−2,0) tal quef′(c)=0. Ya quef′(x)=2x+2=2(x+1), vemos esof′(c)=2(c+1)=0 implicac=−1 como se muestra en la siguiente gráfica.

b. como en la parte a.f es un polinomio y por lo tanto es continuo y diferenciable en todas partes. También,f(−2)=0=f(2). Dicho esto,f satisface los criterios del teorema de Rolle. Diferenciando, encontramos quef′(x)=3x2−4. Por lo tanto,f′(c)=0 cuandox=±2√3. Ambos puntos están en el intervalo[−2,2], y, por lo tanto, ambos puntos satisfacen la conclusión del teorema de Rolle como se muestra en la siguiente gráfica.

Ejercicio4.4.1
Verificar que la funciónf(x)=2x2−8x+6 definida a lo largo del intervalo[1,3] satisfaga las condiciones del teorema de Rolle. Encuentra todos los puntosc garantizados por el teorema de Rolle.
- Pista
-
Encuentra todos los valoresc, dondef′(c)=0.
- Contestar
-
c=2
El teorema del valor medio y su significado
El teorema de Rolle es un caso especial del Teorema del Valor Medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciablesf que son cero en los puntos finales. El Teorema del Valor Medio generaliza el teorema de Rolle considerando funciones que no son necesariamente cero en los puntos finales. En consecuencia, podemos ver el Teorema del Valor Medio como una versión inclinada del teorema de Rolle (Figura4.4.5). El Teorema del Valor Medio establece que sif es continuo sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b), entonces existe un puntoc∈(a,b) tal que la línea tangente a la gráfica def atc es paralela a la línea secante que conecta (a,f(a))y(b,f(b)).

Teorema del valor medio
Dejarf ser continuo sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b). Entonces, existe al menos un puntoc∈(a,b) tal que
f′(c)=f(b)−f(a)b−a
Prueba
La prueba se desprende del teorema de Rolle al introducir una función apropiada que satisface los criterios del teorema de Rolle. Considera la línea de conexión(a,f(a)) y(b,f(b)). Dado que la pendiente de esa línea es
f(b)−f(a)b−a
y la línea pasa por el punto(a,f(a)), la ecuación de esa línea puede escribirse como
y=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a).
Dejarg(x) denotar la diferencia vertical entre el punto(x,f(x)) y el punto(x,y) en esa línea. Por lo tanto,
g(x)=f(x)−[f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)].

Ya que la gráfica def cruza la línea secante cuandox=a yx=b, vemos esog(a)=0=g(b). Dado quef es una función diferenciable sobre(a,b), tambiéng es una función diferenciable sobre(a,b). Además, dado quef es continuo sobre también[a,b],g es continuo sobre[a,b]. Por lo tanto,g satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un puntoc∈(a,b) tal queg′(c)=0. Desde
g′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a,
vemos que
g′(c)=f′(c)−f(b)−f(a)b−a.
Desde queg′(c)=0, concluimos que
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.
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En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a la función af(x)=√x lo largo del intervalo[0,9]. El método es el mismo para otras funciones, aunque a veces con consecuencias más interesantes.
Ejemplo4.4.2: Verifying that the Mean Value Theorem Applies
Paraf(x)=√x sobre el intervalo[0,9], mostrar quef satisface la hipótesis del Teorema del Valor Medio, y por lo tanto existe al menos un valorc∈(0,9) tal quef′(c) es igual a la pendiente de la línea que conecta(0,f(0)) y(9,f(9)). Encuentra estos valoresc garantizados por el Teorema del Valor Medio.
Solución
Sabemos quef(x)=√x es continuo sobre[0,9] y diferenciable sobre(0,9). Por lo tanto,f satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio, y debe existir al menos un valorc∈(0,9) tal quef′(c) sea igual a la pendiente de la línea de conexión(0,f(0)) y(9,f(9)) (Figura4.4.7). Para determinar qué valor (s) dec están garantizados, primero calcule la derivada def. El derivadof′(x)=1(2√x). La pendiente de la línea que conecta(0,f(0)) y(9,f(9)) viene dada por
f(9)−f(0)9−0=√9−√09−0=39=13.
Queremos encontrarc tal quef′(c)=13. Es decir, queremos encontrarc tal que
12√c=13.
Resolviendo esta ecuación parac, obtenemosc=94. En este punto, la pendiente de la línea tangente es igual a la pendiente de la línea que une los puntos finales.

Una aplicación que ayuda a ilustrar el Teorema del Valor Medio involucra la velocidad. Por ejemplo, supongamos que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad promedio de 45 mph. Dejars(t) yv(t) denotar la posición y velocidad del carro, respectivamente, para0≤t≤1 h. Suponiendo que la función de posicións(t) es diferenciable, podemos aplicar el Teorema del Valor Medio para concluir que, en algún momentoc∈(0,1), la velocidad del carro era exactamente
v(c)=s′(c)=s(1)−s(0)1−0=45mph.
Ejemplo4.4.3: Mean Value Theorem and Velocity
Si una roca cae desde una altura de 100 pies, su posiciónt segundos después de que se caiga hasta que golpee el suelo viene dada por la funcións(t)=−16t2+100.
- Determina cuánto tiempo tarda en que la roca golpee el suelo.
- Encuentra la velocidad promediovavg de la roca para cuando la roca se libera y la roca golpea el suelo.
- Encuentra el tiempot garantizado por el Teorema del Valor Medio cuando la velocidad instantánea de la roca esvavg.
Solución
a. Cuando la roca choca contra el suelo, su posición ess(t)=0. Resolviendo la ecuación−16t2+100=0 parat, nos encontramos con esot=±52sec. Ya que solo estamos considerandot≥0, la pelota golpeará el suelo52 seg después de que se le haya caído.
b. La velocidad promedio viene dada por
vavg=s(5/2)−s(0)5/2−0=0−1005/2=−40ft/sec.
c. La velocidad instantánea viene dada por la derivada de la función de posición. Por lo tanto, necesitamos encontrar un tiempot tal quev(t)=s′(t)=vavg=−40 pies/seg. Dado ques(t) es continuo a lo largo del intervalo[0,5/2] y diferenciable en el intervalo(0,5/2), por el Teorema del Valor Medio, se garantiza que haya un puntoc∈(0,5/2) tal que
s′(c)=s(5/2)−s(0)5/2−0=−40.
Tomando la derivada de la función de posicións(t), encontramos ques′(t)=−32t. Por lo tanto, la ecuación se reduce as′(c)=−32c=−40. Resolver esta ecuación parac, tenemosc=54. Por lo tanto,54 segundos después de la caída de la roca, la velocidad instantánea es igual a la velocidad promedio de la roca durante su caída libre:−40 pies/seg.

Ejercicio4.4.2
Supongamos que se cae una pelota desde una altura de 200 pies. Su posición en el momentot ess(t)=−16t2+200. Encontrar elt momento en que la velocidad instantánea de la pelota es igual a su velocidad promedio.
- Pista
-
Primero, determina cuánto tiempo tarda la pelota en golpear el suelo. Después, encuentra la velocidad promedio de la pelota desde el momento en que se deja caer hasta que golpea el suelo.
- Contestar
-
52√2sec
Corolarios del Teorema del Valor Medio
Veamos ahora tres corolarios del Teorema del Valor Medio. Estos resultados tienen consecuencias importantes, que utilizamos en próximas secciones.
En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El Teorema del Valor Medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, sif′(x)=0 para todosx en algún intervaloI, entoncesf(x) es constante sobre ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene implicaciones importantes que no son obvias, y las discutimos en breve.
Corolario 1: Funciones con una Derivada de Cero
Dejarf ser diferenciable a lo largo de un intervaloI. Sif′(x)=0 por todosx∈I, entoncesf(x)= constante para todosx∈I.
Prueba
Ya quef es diferenciable sobreI,f debe ser continuo sobreI. Supongamos que nof(x) es constante para todosx enI. Luego existena,b∈I, dondea≠b yf(a)≠f(b). Escoja la notación para quea<b. Por lo tanto,
f(b)−f(a)b−a≠0.
Dado quef es una función diferenciable, por el Teorema del Valor Medio, existec∈(a,b) tal que
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.
Por lo tanto, existec∈I tal quef′(c)≠0, lo que contradice el supuesto de quef′(x)=0 para todosx∈I.
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De “Corolario 1: Funciones con una Derivada de Cero”, se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren en, como mucho, una constante.
Corolario 2: Teorema de Diferencia Constante
Sif yg son diferenciables a lo largo de un intervaloI yf′(x)=g′(x) para todosx∈I, entoncesf(x)=g(x)+C para alguna constanteC.
Prueba
Dejah(x)=f(x)−g(x). Entonces,h′(x)=f′(x)−g′(x)=0 para todosx∈I. Por Corolario 1, hay una constanteC tal queh(x)=C para todosx∈I. Por lo tanto,f(x)=g(x)+C para todosx∈I.
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El tercer corolario del Teorema del Valor Medio discute cuándo una función está aumentando y cuándo está disminuyendo. Recordemos que una funciónf está aumentando sobreI sif(x1)<f(x2) siemprex1<x2, mientras quef disminuye sobreI sif(x1)>f(x2) siemprex1<x2. Usando el Teorema del Valor Medio, podemos mostrar que si la derivada de una función es positiva, entonces la función está aumentando; si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente (Figura4.4.9). Hacemos uso de este hecho en la siguiente sección, donde mostramos cómo usar la derivada de una función para localizar los valores locales máximos y mínimos de la función, y cómo determinar la forma de la gráfica.
Este hecho es importante porque significa que para una función dadaf, si existe una funciónF tal queF′(x)=f(x); entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual af sonF(x)+C para alguna constanteC. Discutimos este resultado con más detalle más adelante en el capítulo.
Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes
Dejarf ser continuo sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b).
- Sif′(x)>0 para todosx∈(a,b), entoncesf es una función creciente sobre[a,b].
- Sif′(x)<0 para todosx∈(a,b), entoncesf es una función decreciente sobre[a,b].
Prueba
Demostraremos i.; la prueba de ii. es similar. Supongamos que nof es una función creciente enI. Entonces existena yb enI tal quea<b, perof(a)≥f(b). Dado quef es una función diferenciable sobreI, por el Teorema del Valor Medio existec∈(a,b) tal que
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.
Ya quef(a)≥f(b), eso lo sabemosf(b)−f(a)≤0. Además, nosa<b dice queb−a>0. Concluimos que
f′(c)=f(b)−f(a)b−a≤0.
Sin embargo,f′(x)>0 para todosx∈I. Esto es una contradicción, y por lo tantof debe ser una función cada vez mayorI.
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Conceptos clave
- Sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b) yf(a)=f(b), entonces existe un puntoc∈(a,b) tal quef′(c)=0. Este es el teorema de Rolle.
- Sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b), entonces existe un puntoc∈(a,b) tal quef′(c)=f(b)−f(a)b−a. Este es el Teorema del Valor Medio.
- Sif′(x)=0 sobre un intervaloI, entoncesf es constante sobreI.
- Si dos funciones diferenciablesf yg satisfacerf′(x)=g′(x) sobreI, entoncesf(x)=g(x)+C para alguna constanteC.
- Sif′(x)>0 sobre un intervaloI, entoncesf está aumentando sobreI. Sif′(x)<0 ha terminadoI, entoncesf está disminuyendo sobreI.
Glosario
- Teorema del valor medio
-
sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b), entonces existec∈(a,b) tal quef′(c)=f(b)−f(a)b−a
- teorema de rolle
- sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b), y sif(a)=f(b), entonces existec∈(a,b) tal quef′(c)=0