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4.4: El teorema del valor medio

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

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Objetivos de aprendizaje

  • Explicar el significado del teorema de Rolle.
  • Describir la significancia del Teorema del Valor Medio.
  • Anotar tres consecuencias importantes del Teorema del Valor Medio.

El Teorema del Valor Medio es uno de los teoremas más importantes en el cálculo. Analizamos algunas de sus implicaciones al final de esta sección. Primero, comencemos con un caso especial del Teorema del Valor Medio, llamado teorema de Rolle.

Teorema de Rolle

Informalmente, el teorema de Rolle establece que si las salidas de una función diferenciablef son iguales en los puntos finales de un intervalo, entonces debe haber un punto interiorc dondef(c)=0. La figura4.4.1 ilustra este teorema.

La figura se divide en tres partes etiquetadas a, b y c. La figura a muestra el primer cuadrante con los valores a, c y b marcados en el eje x. Se dibuja una parábola orientada hacia abajo de tal manera que sus valores en a y b son los mismos. El punto c es el máximo global, y se observa que f' (c) = 0. La Figura b muestra el primer cuadrante con los valores a, c y b marcados en el eje x. Se dibuja una parábola orientada hacia arriba de tal manera que sus valores en a y b son los mismos. El punto c es el mínimo global, y se observa que f' (c) = 0. La figura c muestra el primer cuadrante con los puntos a, c1, c2 y b marcados en el eje x. Se dibuja un periodo de una onda sinusoidal de tal manera que sus valores en a y b son iguales. El punto c1 es el máximo global, y se observa que f' (c1) = 0. El punto c2 es el mínimo global, y se observa que f' (c2) = 0.
Figura4.4.1: Si una función diferenciablef satisfacef(a)=f(b), entonces su derivada debe ser cero en algún punto (s) entrea yb.

Teorema de Rolle

Dejarf ser una función continua sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b) tal quef(a)=f(b). Entonces existe al menos unoc(a,b) tal quef(c)=0.

Prueba

Vamosk=f(a)=f(b). Consideramos tres casos:

  1. f(x)=kpara todosx(a,b).
  2. Existex(a,b) tal quef(x)>k.
  3. Existex(a,b) tal quef(x)<k.

Caso 1: Si esf(x)=k para todosx(a,b), entoncesf(x)=0 para todosx(a,b).

Caso 2: Dado quef es una función continua sobre el intervalo cerrado, acotado[a,b], por el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. También, ya que hay un puntox(a,b) tal quef(x)>k, el máximo absoluto es mayor quek. Por lo tanto, el máximo absoluto no ocurre en ninguno de los dos extremos. En consecuencia, el máximo absoluto debe ocurrir en un punto interiorc(a,b). Porquef tiene un máximo en un punto interiorc, yf es diferenciable enc, según el teorema de Fermat,f(c)=0.

Caso 3: El caso cuando exista un puntox(a,b) tal quef(x)<k sea análogo al caso 2, con máximo sustituido por mínimo.

Un punto importante sobre el teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la funciónf es crítica. Si nof es diferenciable, incluso en un solo punto, es posible que el resultado no se mantenga. Por ejemplo, la funciónf(x)=|x|1 es continua sobre[1,1] yf(1)=0=f(1), perof(c)0 para cualquierac(1,1) como se muestra en la siguiente figura.

Se grafica la función f (x) = |x| − 1. Se muestra que f (1) = f (−1), pero se observa que no hay c tal que f' (c) = 0.
Figura4.4.2: Dado que nof(x)=|x|1 es diferenciable enx=0, no se satisfacen las condiciones del teorema de Rolle. De hecho, la conclusión no se sostiene aquí; no hayc(1,1) tal quef(c)=0.

Consideremos ahora las funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle y calculemos explícitamente los puntosc dondef(c)=0.

Ejemplo4.4.1: Using Rolle’s Theorem

Para cada una de las siguientes funciones, verificar que la función cumpla con los criterios establecidos en el teorema de Rolle y encuentre todos los valoresc en el intervalo dado dondef(c)=0.

  1. f(x)=x2+2xsobre[2,0]
  2. f(x)=x34xsobre[2,2]

Solución

a. ya quef es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes. Además,f(2)=0=f(0). Por lo tanto,f satisface los criterios del teorema de Rolle. Concluimos que existe al menos un valorc(2,0) tal quef(c)=0. Ya quef(x)=2x+2=2(x+1), vemos esof(c)=2(c+1)=0 implicac=1 como se muestra en la siguiente gráfica.

Se grafica la función f (x) = x2 +2x. Se muestra que f (0) = f (−2), y una línea horizontal discontinua se dibuja en el mínimo absoluto en (−1, −1).
Figura4.4.3: Esta función es continua y diferenciable sobre [−2,0],f(c)=0 cuandoc=1.

b. como en la parte a.f es un polinomio y por lo tanto es continuo y diferenciable en todas partes. También,f(2)=0=f(2). Dicho esto,f satisface los criterios del teorema de Rolle. Diferenciando, encontramos quef(x)=3x24. Por lo tanto,f(c)=0 cuandox=±23. Ambos puntos están en el intervalo[2,2], y, por lo tanto, ambos puntos satisfacen la conclusión del teorema de Rolle como se muestra en la siguiente gráfica.

Se grafica la función f (x) = x3 — 4x. Es obvio que f (2) = f (−2) = f (0). Las líneas horizontales discontinuas se dibujan a x = ±2/raíz cuadrada de 3, que son el máximo y mínimo locales.
Figura4.4.4: Para este polinomio sobre[2,2],f(c)=0 atx=±2/3.

Ejercicio4.4.1

Verificar que la funciónf(x)=2x28x+6 definida a lo largo del intervalo[1,3] satisfaga las condiciones del teorema de Rolle. Encuentra todos los puntosc garantizados por el teorema de Rolle.

Pista

Encuentra todos los valoresc, dondef(c)=0.

Contestar

c=2

El teorema del valor medio y su significado

El teorema de Rolle es un caso especial del Teorema del Valor Medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciablesf que son cero en los puntos finales. El Teorema del Valor Medio generaliza el teorema de Rolle considerando funciones que no son necesariamente cero en los puntos finales. En consecuencia, podemos ver el Teorema del Valor Medio como una versión inclinada del teorema de Rolle (Figura4.4.5). El Teorema del Valor Medio establece que sif es continuo sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b), entonces existe un puntoc(a,b) tal que la línea tangente a la gráfica def atc es paralela a la línea secante que conecta (a,f(a))y(b,f(b)).

Se dibuja una función vagamente sinusoidal y = f (x). En el eje x, se marcan a, c1, c2 y b. En el eje y se marcan f (a) y f (b). La función f (x) comienza en (a, f (a)), disminuye a c1, aumenta a c2, y luego disminuye a (b, f (b)). Se dibuja una línea secante entre (a, f (a)) y (b, f (b)), y se observa que esta línea tiene pendiente (f (b) — f (a))/(b − a). Se dibujan las líneas tangentes en c1 y c2, y estas líneas son paralelas a la línea secante. Se observa que las pendientes de estas líneas tangentes son f' (c1) y f' (c2), respectivamente.
Figura4.4.5: El Teorema del Valor Medio dice que para una función que cumple con sus condiciones, en algún momento la línea tangente tiene la misma pendiente que la línea secante entre los extremos. Para esta función, hay dos valoresc1 yc2 tales que la línea tangente af atc1 yc2 tiene la misma pendiente que la línea secante.

Teorema del valor medio

Dejarf ser continuo sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b). Entonces, existe al menos un puntoc(a,b) tal que

f(c)=f(b)f(a)ba

Prueba

La prueba se desprende del teorema de Rolle al introducir una función apropiada que satisface los criterios del teorema de Rolle. Considera la línea de conexión(a,f(a)) y(b,f(b)). Dado que la pendiente de esa línea es

f(b)f(a)ba

y la línea pasa por el punto(a,f(a)), la ecuación de esa línea puede escribirse como

y=f(b)f(a)ba(xa)+f(a).

Dejarg(x) denotar la diferencia vertical entre el punto(x,f(x)) y el punto(x,y) en esa línea. Por lo tanto,

g(x)=f(x)[f(b)f(a)ba(xa)+f(a)].

Curva ascendente pero oscilante Y es igual a F de X con la línea secante Y es igual a F de B menos F de A en todo B menos A más F de A, la distancia entre la curva oscilante y la línea es G de XFigura4.4.6: El valorg(x) es la diferencia vertical entre el punto(x,f(x)) y el punto(x,y) en la línea secante que conecta(a,f(a)) y(b,f(b)).

Ya que la gráfica def cruza la línea secante cuandox=a yx=b, vemos esog(a)=0=g(b). Dado quef es una función diferenciable sobre(a,b), tambiéng es una función diferenciable sobre(a,b). Además, dado quef es continuo sobre también[a,b],g es continuo sobre[a,b]. Por lo tanto,g satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un puntoc(a,b) tal queg(c)=0. Desde

g(x)=f(x)f(b)f(a)ba,

vemos que

g(c)=f(c)f(b)f(a)ba.

Desde queg(c)=0, concluimos que

f(c)=f(b)f(a)ba.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a la función af(x)=x lo largo del intervalo[0,9]. El método es el mismo para otras funciones, aunque a veces con consecuencias más interesantes.

Ejemplo4.4.2: Verifying that the Mean Value Theorem Applies

Paraf(x)=x sobre el intervalo[0,9], mostrar quef satisface la hipótesis del Teorema del Valor Medio, y por lo tanto existe al menos un valorc(0,9) tal quef(c) es igual a la pendiente de la línea que conecta(0,f(0)) y(9,f(9)). Encuentra estos valoresc garantizados por el Teorema del Valor Medio.

Solución

Sabemos quef(x)=x es continuo sobre[0,9] y diferenciable sobre(0,9). Por lo tanto,f satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio, y debe existir al menos un valorc(0,9) tal quef(c) sea igual a la pendiente de la línea de conexión(0,f(0)) y(9,f(9)) (Figura4.4.7). Para determinar qué valor (s) dec están garantizados, primero calcule la derivada def. El derivadof(x)=1(2x). La pendiente de la línea que conecta(0,f(0)) y(9,f(9)) viene dada por

f(9)f(0)90=9090=39=13.

Queremos encontrarc tal quef(c)=13. Es decir, queremos encontrarc tal que

12c=13.

Resolviendo esta ecuación parac, obtenemosc=94. En este punto, la pendiente de la línea tangente es igual a la pendiente de la línea que une los puntos finales.

La función f (x) = la raíz cuadrada de x se grafica de (0, 0) a (9, 3). Hay una línea secante dibujada de (0, 0) a (9, 3). En el punto (9/4, 3/2), hay una línea tangente que se dibuja, y esta línea es paralela a la línea secante.
Figura4.4.7: La pendiente de la línea tangente enc=9/4 es la misma que la pendiente del segmento de línea que conecta (0,0) y (9,3).

Una aplicación que ayuda a ilustrar el Teorema del Valor Medio involucra la velocidad. Por ejemplo, supongamos que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad promedio de 45 mph. Dejars(t) yv(t) denotar la posición y velocidad del carro, respectivamente, para0t1 h. Suponiendo que la función de posicións(t) es diferenciable, podemos aplicar el Teorema del Valor Medio para concluir que, en algún momentoc(0,1), la velocidad del carro era exactamente

v(c)=s(c)=s(1)s(0)10=45mph.

Ejemplo4.4.3: Mean Value Theorem and Velocity

Si una roca cae desde una altura de 100 pies, su posiciónt segundos después de que se caiga hasta que golpee el suelo viene dada por la funcións(t)=16t2+100.

  1. Determina cuánto tiempo tarda en que la roca golpee el suelo.
  2. Encuentra la velocidad promediovavg de la roca para cuando la roca se libera y la roca golpea el suelo.
  3. Encuentra el tiempot garantizado por el Teorema del Valor Medio cuando la velocidad instantánea de la roca esvavg.

Solución

a. Cuando la roca choca contra el suelo, su posición ess(t)=0. Resolviendo la ecuación16t2+100=0 parat, nos encontramos con esot=±52sec. Ya que solo estamos considerandot0, la pelota golpeará el suelo52 seg después de que se le haya caído.

b. La velocidad promedio viene dada por

vavg=s(5/2)s(0)5/20=01005/2=40ft/sec.

c. La velocidad instantánea viene dada por la derivada de la función de posición. Por lo tanto, necesitamos encontrar un tiempot tal quev(t)=s(t)=vavg=40 pies/seg. Dado ques(t) es continuo a lo largo del intervalo[0,5/2] y diferenciable en el intervalo(0,5/2), por el Teorema del Valor Medio, se garantiza que haya un puntoc(0,5/2) tal que

s(c)=s(5/2)s(0)5/20=40.

Tomando la derivada de la función de posicións(t), encontramos ques(t)=32t. Por lo tanto, la ecuación se reduce as(c)=32c=40. Resolver esta ecuación parac, tenemosc=54. Por lo tanto,54 segundos después de la caída de la roca, la velocidad instantánea es igual a la velocidad promedio de la roca durante su caída libre:40 pies/seg.

La función s (t) = −16t2 + 100 se grafica de (0, 100) a (5/2, 0). Hay una línea secante dibujada de (0, 100) a (5/2, 0). En el punto correspondiente a x = 5/4, hay una línea tangente que se dibuja, y esta línea es paralela a la línea secante.
Figura4.4.8: En el tiempot=5/4 seg, la velocidad de la roca es igual a su velocidad promedio desde el momento en que cae hasta que golpea el suelo.

Ejercicio4.4.2

Supongamos que se cae una pelota desde una altura de 200 pies. Su posición en el momentot ess(t)=16t2+200. Encontrar elt momento en que la velocidad instantánea de la pelota es igual a su velocidad promedio.

Pista

Primero, determina cuánto tiempo tarda la pelota en golpear el suelo. Después, encuentra la velocidad promedio de la pelota desde el momento en que se deja caer hasta que golpea el suelo.

Contestar

522sec

Corolarios del Teorema del Valor Medio

Veamos ahora tres corolarios del Teorema del Valor Medio. Estos resultados tienen consecuencias importantes, que utilizamos en próximas secciones.

En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El Teorema del Valor Medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, sif(x)=0 para todosx en algún intervaloI, entoncesf(x) es constante sobre ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene implicaciones importantes que no son obvias, y las discutimos en breve.

Corolario 1: Funciones con una Derivada de Cero

Dejarf ser diferenciable a lo largo de un intervaloI. Sif(x)=0 por todosxI, entoncesf(x)= constante para todosxI.

Prueba

Ya quef es diferenciable sobreI,f debe ser continuo sobreI. Supongamos que nof(x) es constante para todosx enI. Luego existena,bI, dondeab yf(a)f(b). Escoja la notación para quea<b. Por lo tanto,

f(b)f(a)ba0.

Dado quef es una función diferenciable, por el Teorema del Valor Medio, existec(a,b) tal que

f(c)=f(b)f(a)ba.

Por lo tanto, existecI tal quef(c)0, lo que contradice el supuesto de quef(x)=0 para todosxI.

De “Corolario 1: Funciones con una Derivada de Cero”, se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren en, como mucho, una constante.

Corolario 2: Teorema de Diferencia Constante

Sif yg son diferenciables a lo largo de un intervaloI yf(x)=g(x) para todosxI, entoncesf(x)=g(x)+C para alguna constanteC.

Prueba

Dejah(x)=f(x)g(x). Entonces,h(x)=f(x)g(x)=0 para todosxI. Por Corolario 1, hay una constanteC tal queh(x)=C para todosxI. Por lo tanto,f(x)=g(x)+C para todosxI.

El tercer corolario del Teorema del Valor Medio discute cuándo una función está aumentando y cuándo está disminuyendo. Recordemos que una funciónf está aumentando sobreI sif(x1)<f(x2) siemprex1<x2, mientras quef disminuye sobreI sif(x1)>f(x2) siemprex1<x2. Usando el Teorema del Valor Medio, podemos mostrar que si la derivada de una función es positiva, entonces la función está aumentando; si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente (Figura4.4.9). Hacemos uso de este hecho en la siguiente sección, donde mostramos cómo usar la derivada de una función para localizar los valores locales máximos y mínimos de la función, y cómo determinar la forma de la gráfica.

Este hecho es importante porque significa que para una función dadaf, si existe una funciónF tal queF(x)=f(x); entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual af sonF(x)+C para alguna constanteC. Discutimos este resultado con más detalle más adelante en el capítulo.

Se grafica una función vagamente sinusoidal f (x). Aumenta de algún lugar del segundo cuadrante a (a, f (a)). En esta sección se señala que f' 0. Después en disminuciones de (a, f (a)) a (b, f (b)). En este apartado se señala que f' < 0. Por último, aumenta a la derecha de (b, f (b)) y se señala en esta sección que f' > 0." style="width: 731px; height: 302px;" width="731px" height="302px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...04_04_008.jpeg">
Figura4.4.9: Si una función tiene una derivada positiva durante algún intervaloI, entonces la función aumenta en ese intervaloI; si la derivada es negativa en algún intervaloI, entonces la función disminuye en ese intervaloI.

Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes

Dejarf ser continuo sobre el intervalo cerrado[a,b] y diferenciable sobre el intervalo abierto(a,b).

  1. Sif(x)>0 para todosx(a,b), entoncesf es una función creciente sobre[a,b].
  2. Sif(x)<0 para todosx(a,b), entoncesf es una función decreciente sobre[a,b].

Prueba

Demostraremos i.; la prueba de ii. es similar. Supongamos que nof es una función creciente enI. Entonces existena yb enI tal quea<b, perof(a)f(b). Dado quef es una función diferenciable sobreI, por el Teorema del Valor Medio existec(a,b) tal que

f(c)=f(b)f(a)ba.

Ya quef(a)f(b), eso lo sabemosf(b)f(a)0. Además, nosa<b dice queba>0. Concluimos que

f(c)=f(b)f(a)ba0.

Sin embargo,f(x)>0 para todosxI. Esto es una contradicción, y por lo tantof debe ser una función cada vez mayorI.

Conceptos clave

  • Sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b) yf(a)=f(b), entonces existe un puntoc(a,b) tal quef(c)=0. Este es el teorema de Rolle.
  • Sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b), entonces existe un puntoc(a,b) tal quef(c)=f(b)f(a)ba. Este es el Teorema del Valor Medio.
  • Sif(x)=0 sobre un intervaloI, entoncesf es constante sobreI.
  • Si dos funciones diferenciablesf yg satisfacerf(x)=g(x) sobreI, entoncesf(x)=g(x)+C para alguna constanteC.
  • Sif(x)>0 sobre un intervaloI, entoncesf está aumentando sobreI. Sif(x)<0 ha terminadoI, entoncesf está disminuyendo sobreI.

Glosario

Teorema del valor medio

sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b), entonces existec(a,b) tal quef(c)=f(b)f(a)ba

teorema de rolle
sif es continuo sobre[a,b] y diferenciable sobre(a,b), y sif(a)=f(b), entonces existec(a,b) tal quef(c)=0

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