4.4E: Ejercicios para la Sección 4.4

1) ¿Por qué se necesita continuidad para aplicar el Teorema del Valor Medio? Construir un contraejemplo.

2) ¿Por qué se necesita diferenciabilidad para aplicar el Teorema del Valor Medio? Encuentra un contraejemplo.

Contestar

Un ejemplo es\(f(x)=|x|+3,−2≤x≤2\)

3) ¿Cuándo son equivalentes el teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio?

4) Si tienes una función con una discontinuidad, todavía es posible tener\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?\) Dibujar tal ejemplo o probar por qué no.

Contestar

Sí, pero el Teorema del Valor Medio aún no aplica

En los ejercicios 5 - 9, determinar a lo largo de qué intervalos (si los hubiera) aplica el Teorema del Valor Medio. Justifica tu respuesta.

5)\(y=\sin(πx)\)

6)\(y=\dfrac{1}{x^3}\)

Contestar

\((−∞,0),(0,∞)\)

7)\(y=\sqrt{4−x^2}\)

8)\(y=\sqrt{x^2−4}\)

Contestar

\((−∞,−2),(2,∞)\)

9)\(y=\ln(3x−5)\)

En los ejercicios 10 - 13, grafica las funciones en una calculadora y dibuja la línea secante que conecta los puntos finales. Estimar el número de puntos de\(c\) tal manera que\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).\)

10) [T]\(y=3x^3+2x+1\) sobre\([−1,1]\)

Contestar

2 puntos

11) [T]\(y=\tan\left(\frac{π}{4}x\right)\) sobre\(\left[−\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]\)

12) [T]\(y=x^2\cos(πx)\) sobre\([−2,2]\)

Contestar

5 puntos

13) [T]\(y=x^6−\frac{3}{4}x^5−\frac{9}{8}x^4+\frac{15}{16}x^3+\frac{3}{32}x^2+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\) sobre\([−1,1]\)

En los ejercicios 14 - 19, usa el Teorema del Valor Medio y encuentra todos los puntos\(0<c<2\) tal que\(f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)\).

14)\(f(x)=x^3\)

Contestar

\(c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

15)\(f(x)=\sin(πx)\)

16)\(f(x)=\cos(2πx)\)

Contestar

\(c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\)

17)\(f(x)=1+x+x^2\)

18)\(f(x)=(x−1)^{10}\)

Contestar

\(c=1\)

19)\(f(x)=(x−1)^9\)

En los ejercicios 20 - 23, muestran que no hay\(c\) tal que\(f(1)−f(−1)=f′(c)(2)\). Explicar por qué el Teorema del Valor Medio no se aplica en el intervalo\([−1,1].\)

20)\(f(x)=\left|x−\frac{1}{2} \right|\)

Contestar

No diferenciable

21)\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)

22)\(f(x)=\sqrt{|x|}\)

Contestar

No diferenciable

23)\(f(x)=\lfloor x \rfloor\) (Sugerencia: Esto se llama la función floor y se define de manera que\(f(x)\) es el entero más grande menor que o igual a\(x\).)

En los ejercicios 24 - 34, determinar si el Teorema del Valor Medio aplica para las funciones en el intervalo dado\([a,b]\). Justifica tu respuesta.

24)\(y=e^x\) sobre\([0,1]\)

Contestar

Sí

25)\(y=\ln(2x+3)\) sobre\([−\frac{3}{2},0]\)

26)\(f(x)=\tan(2πx)\) sobre\([0,2]\)

Contestar

El Teorema del Valor Medio no se aplica ya que la función es discontinua en\(x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.\)

27)\(y=\sqrt{9−x^2}\) sobre\([−3,3]\)

28)\(y=\dfrac{1}{|x+1|}\) sobre\([0,3]\)

Contestar

Sí

29)\(y=x^3+2x+1\) sobre\([0,6]\)

30)\(y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}\) sobre\([−1,1]\)

Contestar

El Teorema del Valor Medio no se aplica; discontinuo a\(x=0.\)

31)\(y=\dfrac{x}{\sin(πx)+1}\) sobre\([0,1]\)

32)\(y=\ln(x+1)\) sobre\([0,e−1]\)

Contestar

Sí

33)\(y=x\sin(πx)\) sobre\([0,2]\)

34)\(y=5+|x|\) sobre\([−1,1]\)

Contestar

El Teorema del Valor Medio no se aplica; no diferenciable en\(x=0\).

Para los ejercicios 35 - 37, considere las raíces de cada ecuación.

35) Demostrar que la ecuación\(y=x^3+3x^2+16\) tiene exactamente una raíz real. ¿Qué es?

36) Encuentra las condiciones para exactamente una raíz (raíz doble) para la ecuación\(y=x^2+bx+c\)

Contestar

\(b=±2\sqrt{c}\)

37) Encuentra las condiciones\(y=e^x−b\) para tener una raíz. ¿Es posible tener más de una raíz?

En los ejercicios 38 - 42, utilice una calculadora para graficar la función a lo largo del intervalo\([a,b]\) y graficar la línea secante de\(a\) a\(b\). Utilice la calculadora para estimar todos los\(c\) valores garantizados por el Teorema del Valor Medio. Luego, encuentra el valor exacto de\(c\), si es posible, o escribe la ecuación final y usa una calculadora para estimar a cuatro dígitos.

38) [T]\(y=\tan(πx)\) sobre\(\left[−\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]\)

Contestar

\(c \approx ±0.1533\)
\(c=±\frac{1}{π}\cos^{−1}(\frac{\sqrt{π}}{2})\)

39) [T]\(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) sobre\([0,3]\)

40) [T]\(y=|x^2+2x−4|\) sobre\([−4,0]\)

Contestar

El Teorema del Valor Medio no aplica.

41) [T]\(y=x+\dfrac{1}{x}\) sobre\(\left[\frac{1}{2},4\right]\)

42) [T]\(y=\sqrt{x+1}+\dfrac{1}{x^2}\) sobre\([3,8]\)

Contestar

\(\dfrac{1}{2\sqrt{c+1}}−\dfrac{2}{c^3}=\dfrac{521}{2880}\)
\(c \approx 3.133, 5.867\)

43) A las 10:17 horas, se pasa un carro de policía a 55 mph que se detiene en la autopista. Se pasa un segundo auto de policía a 55 mph a las 10:53 a.m., el cual se encuentra a 39 mi del primer auto policial. Si el límite de velocidad es de 60 mph, ¿puede la policía citarlo por exceso de velocidad?

44) Dos autos circulan de un semáforo al siguiente, saliendo al mismo tiempo y llegando a la misma hora. ¿Alguna vez hay un momento en el que van a la misma velocidad? Demostrar o desacreditar.

Contestar

Sí

45) Demostrar eso\(y=\sec^2x\) y\(y=\tan^2x\) tener el mismo derivado. ¿De qué se puede decir\(y=\sec^2x−\tan^2x\)?

46) Demostrar eso\(y=\csc^2x\) y\(y=\cot^2x\) tener la misma derivada. ¿De qué se puede decir\(y=\csc^2x−\cot^2x\)?

Contestar

Es constante.