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4.5: Derivadas y la Forma de una Gráfica

Última actualización

30 oct 2022
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- 4.4E: Ejercicios para la Sección 4.4
- 4.5E: Ejercicios para la Sección 4.5

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objetivos de aprendizaje

Explicar cómo el signo de la primera derivada afecta la forma de la gráfica de una función.
Declarar la primera prueba derivada para puntos críticos.
Utilice puntos de concavidad e inflexión para explicar cómo el signo de la segunda derivada afecta la forma de la gráfica de una función.
Explicar la prueba de concavidad para una función en un intervalo abierto.
Explicar la relación entre una función y sus derivadas primera y segunda.
Anotar la segunda prueba derivada para los extremos locales.

Anteriormente en este capítulo afirmamos que si una función $f$ tiene un extremo local en un punto $c$ , entonces $c$ debe ser un punto crítico de $f$ . Sin embargo, no se garantiza que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Por ejemplo, $f(x)=x^3$ tiene un punto crítico en $x=0$ ya que $f'(x)=3x^2$ es cero en $x=0$ , pero $f$ no tiene un extremo local en $x=0$ . Utilizando los resultados de la sección anterior, ahora podemos determinar si un punto crítico de una función corresponde realmente a un valor extremo local. En esta sección, también vemos cómo la segunda derivada proporciona información sobre la forma de una gráfica al describir si la gráfica de una función se curva hacia arriba o se curva hacia abajo.

La Primera Prueba Derivada

El corolario $3$ del Teorema del Valor Medio mostró que si la derivada de una función es positiva en un intervalo $I$ entonces la función está aumentando $I$ . Por otro lado, si la derivada de la función es negativa a lo largo de un intervalo $I$ , entonces la función está disminuyendo $I$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura se divide en cuatro figuras etiquetadas a, b, c y d. La figura a muestra una función que aumenta convexamente de (a, f (a)) a (b, f (b)). En dos puntos se toma la derivada y se observa que en ambos f' — Figura $\PageIndex{1}$ : Ambas funciones van aumentando a lo largo del intervalo $(a,b)$ . En cada punto $x$ , la derivada $f'(x)>0$ . Ambas funciones están disminuyendo a lo largo del intervalo $(a,b)$ . En cada punto $x$ , la derivada $f'(x)<0.$

Una función continua $f$ tiene un máximo local en el punto $c$ si y solo si $f$ cambia de aumentar a disminuir en el punto $c$ . De igual manera, $f$ tiene un mínimo local en $c$ si y solo si $f$ cambia de disminuir a aumentar en $c$ . Si $f$ es una función continua sobre un intervalo $I$ que contiene $c$ y diferenciable sobre $I$ , excepto posiblemente en $c$ , la única manera $f$ puede pasar de aumentar a disminuir (o viceversa) en el punto $c$ es si $f'$ cambia signo como $x$ aumenta a través de $c$ . Si $f$ es diferenciable en $c$ , la única manera que $f'$ puede cambiar de signo a medida que $x$ aumenta a través $c$ es si $f'(c)=0$ . Por lo tanto, para una función $f$ que es continua a lo largo de un intervalo $I$ que contiene $c$ y diferenciable sobre $I$ $c$ , excepto posiblemente en, la única manera $f$ de pasar de aumentar a disminuir (o viceversa) es si $f'(c)=0$ o $f'(c)$ es indefinida. En consecuencia, para ubicar los extremos locales para una función $f$ , buscamos puntos $c$ en el dominio de $f$ tal que $f'(c)=0$ o $f'(c)$ sea indefinido. Recordemos que tales puntos se denominan puntos críticos de $f$ .

Tenga en cuenta que no es $f$ necesario tener un extremo local en un punto crítico. Los puntos críticos son candidatos únicamente a los extremos locales. En la Figura $\PageIndex{2}$ , mostramos que si una función continua $f$ tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico, pero una función puede no tener un extremo local en un punto crítico. Mostramos que si $f$ tiene un extremo local en un punto crítico, entonces el signo de $f'$ cambia como $x$ aumenta a través de ese punto.

Se grafico una función f (x). Comienza en el segundo cuadrante y aumenta a x = a, que es demasiado agudo y por lo tanto f' (a) no está definido. En esta sección f' — Figura $\PageIndex{2}$ : La función $f$ tiene cuatro puntos críticos: $a,b,c$ , y $d$ . La función $f$ tiene máximos locales en $a$ y $d$ , y un mínimo local en $b$ . La función $f$ no tiene un extremo local en $c$ . El signo de $f'$ cambios en todos los extremos locales.

Utilizando la Figura $\PageIndex{2}$ , se resumen los principales resultados con respecto a los extremos locales.

Si una función continua $f$ tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico $c$ .
La función tiene un extremo local en el punto crítico $c$ si y solo si los $f'$ interruptores derivados firman como $x$ aumenta a través $c$ .
Por lo tanto, para probar si una función tiene un extremo local en un punto crítico $c$ , debemos determinar el signo de $f'(x)$ a la izquierda y derecha de $c$ .

Este resultado se conoce como la primera prueba derivada.

Prueba de Primera Derivada

Supongamos que $f$ es una función continua sobre un intervalo $I$ que contiene un punto crítico $c$ . Si $f$ es diferenciable sobre $I$ , excepto posiblemente en el punto $c$ , entonces $f(c)$ satisface una de las siguientes descripciones:

Si $f'$ cambia signo de positivo cuando $x<c$ a negativo cuando $x>c$ , entonces $f(c)$ es un máximo local de $f$ .
Si $f'$ cambia signo de negativo cuando $x<c$ a positivo cuando $x>c$ , entonces $f(c)$ es un mínimo local de $f$ .
Si $f'$ tiene el mismo signo para $x<c$ y $x>c$ , entonces no $f(c)$ es ni un máximo local ni un mínimo local de $f$

Ahora veamos cómo usar esta estrategia para localizar todos los extremos locales para funciones particulares.

Ejemplo $\PageIndex{1}$ : Using the First Derivative Test to Find Local Extrema

Utilice la primera prueba derivada para encontrar la ubicación de todos los extremos locales para $f(x)=x^3−3x^2−9x−1.$ Use una utilidad gráfica para confirmar sus resultados.

Solución

Paso 1. La derivada es $f'(x)=3x^2−6x−9.$ Para encontrar los puntos críticos, necesitamos encontrar donde $f'(x)=0.$ Factorizar el polinomio, concluimos que los puntos críticos deben satisfacer

$3(x^2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0. \nonumber$

Por lo tanto, los puntos críticos son $x=3,−1.$ Ahora dividir el intervalo $(−∞,∞)$ en los intervalos más pequeños $(−∞,−1),(−1,3)$ y $(3,∞).$

Paso 2. Dado que $f'$ es una función continua, para determinar el signo de $f'(x)$ sobre cada subintervalo, basta con elegir un punto sobre cada uno de los intervalos $(−∞,−1),(−1,3)$ y $(3,∞)$ y determinar el signo de $f'$ en cada uno de estos puntos. Por ejemplo, vamos a elegir $x=−2$ , $x=0$ , y $x=4$ como puntos de prueba.

Tabla $\PageIndex{1}$ : Prueba de Primera Derivada para $f(x)=x^3−3x^2−9x−1.$
Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f'(x)=3(x−3)(x+1)$ en el punto de prueba	Conclusión
$(−∞,−1)$	$x=−2$	\ (f' (x) =3 (x−3) (x+1)\) en el punto de prueba” style="vertical-align:middle; "> (+) (−) (−) =+	$f$ va en aumento.
$(−1,3)$	$x=0$	\ (f' (x) =3 (x−3) (x+1)\) en el punto de prueba” style="vertical-align:middle; "> (+) (−) (+) =-	$f$ es decreciente.
$(3,∞)$	$x=4$	\ (f' (x) =3 (x−3) (x+1)\) en el punto de prueba” style="vertical-align:middle; "> (+) (+) (+) =+	$f$ va en aumento.

Paso 3. Dado que $f'$ cambia signo de positivo a negativo a medida que $x$ aumenta a través de $-1$ , $f$ tiene un máximo local en $x=−1$ . Dado que $f'$ cambia signo de negativo a positivo a medida que $x$ aumenta a través de $3$ , $f$ tiene un mínimo local en $x=3$ . Estos resultados analíticos concuerdan con la siguiente gráfica.

Se grafica la función f (x) = x3 — 3x2 — 9x — 1. Tiene un máximo en x = −1 y un mínimo en x = 3. La función está aumentando antes de x = −1, disminuyendo hasta x = 3, y luego aumentando después de eso. — Figura $\PageIndex{3}$ : La función $f$ tiene un máximo en $x=−1$ y un mínimo en $x=3$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Utilice la primera prueba derivada para localizar todos los extremos locales para $f(x)=−x^3+\frac{3}{2}x^2+18x.$

Pista: Encuentre todos los puntos críticos $f$ y determine los signos de $f'(x)$ en intervalos particulares determinados por los puntos críticos.

Responder: $f$ tiene un mínimo local en $−2$ y un máximo local en $3$ .

Ejemplo $\PageIndex{2}$ : Using the First Derivative Test

Utilice la primera prueba derivada para encontrar la ubicación de todos los extremos locales para $f(x)=5x^{1/3}−x^{5/3}.$ Use una utilidad gráfica para confirmar sus resultados.

Solución

Paso 1. El derivado es

$f'(x)=\frac{5}{3}x^{−2/3}−\frac{5}{3}x^{2/3}=\frac{5}{3x^{2/3}}−\frac{5x^{2/3}}{3}=\frac{5−5x^{4/3}}{3x^{2/3}}=\frac{5(1−x^{4/3})}{3x^{2/3}}.\nonumber$

El derivado $f'(x)=0$ cuando $1−x^{4/3}=0.$ Por lo tanto, $f'(x)=0$ en $x=±1$ . La derivada $f'(x)$ es indefinida en $x=0.$ Por lo tanto, tenemos tres puntos críticos: $x=0$ , $x=1$ , y $x=−1$ . En consecuencia, dividir el intervalo $(−∞,∞)$ en los intervalos más pequeños $(−∞,−1),\,(−1,0),\,(0,1)$ , y $(1,∞)$ .

Paso 2: Dado que $f'$ es continuo sobre cada subintervalo, basta con elegir un punto de prueba $x$ en cada uno de los intervalos del paso 1 y determinar el signo de $f'$ en cada uno de estos puntos. Los puntos $x=−2,\,x=−\frac{1}{2},\,x=\frac{1}{2}$ , y $x=2$ son puntos de prueba para estos intervalos.

Tabla $\PageIndex{2}$ : Prueba de Primera Derivada para $f(x)=5x^{1/3}−x^{5/3}.$
Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f'(x)=\frac{5(1−x^{4/3})}{3x^{2/3}}$ en el punto de prueba	Conclusión
$(−∞,−1)$	$x=−2$	\ (f' (x) =\ frac {5 (1−x^ {4/3})} {3x^ {2/3}}\) en el Punto de Prueba” style="vertical-align:middle; "> $\frac{(+)(−)}{+}=−$	$f$ es decreciente.
$(−1,0)$	$x=−\frac{1}{2}$	\ (f' (x) =\ frac {5 (1−x^ {4/3})} {3x^ {2/3}}\) en el Punto de Prueba” style="vertical-align:middle; "> $\frac{(+)(+)}{+}=+$	$f$ va en aumento.
$(0,1)$	$x=\frac{1}{2}$	\ (f' (x) =\ frac {5 (1−x^ {4/3})} {3x^ {2/3}}\) en el Punto de Prueba” style="vertical-align:middle; "> $\frac{(+)(+)}{+}=+$	$f$ va en aumento.
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f' (x) =\ frac {5 (1−x^ {4/3})} {3x^ {2/3}}\) en el Punto de Prueba” style="vertical-align:middle; "> $\frac{(+)(−)}{+}=−$	$f$ es decreciente.

Paso 3: Dado que $f$ está disminuyendo a lo largo del intervalo $(−∞,−1)$ y aumentando a lo largo del intervalo $(−1,0)$ , $f$ tiene un mínimo local en $x=−1$ . Dado que $f$ va aumentando a lo largo del intervalo $(−1,0)$ y el intervalo $(0,1)$ , $f$ no tiene un extremo local en $x=0$ . Ya que $f$ está aumentando a lo largo del intervalo $(0,1)$ y disminuyendo a lo largo del intervalo $(1,∞)$ , $f$ tiene un máximo local en $x=1$ . Los resultados analíticos concuerdan con la siguiente gráfica.

Se grafica la función f (x) = 5x1/3 — x5/3. Disminuye a su mínimo local en x = −1, aumenta a x = 1, y luego disminuye después de eso. — Figura $\PageIndex{4}$ : La función $f$ tiene un mínimo local en $x=−1$ y un máximo local en $x=1$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Utilice la primera prueba derivada para encontrar todos los extremos locales para $f(x)=\dfrac{3}{x−1}$ .

Pista: El único punto crítico de $f$ es $x=1.$

Responder: $f$ no tiene extrema local porque $f'$ no cambia de señal en $x=1$ .

Concavidad y Puntos de Inflexión

Ahora sabemos determinar dónde está aumentando o disminuyendo una función. Sin embargo, hay otro tema a considerar respecto a la forma de la gráfica de una función. Si la gráfica se curva, ¿se curva hacia arriba o se curva hacia abajo? Esta noción se llama la concavidad de la función.

La figura $\PageIndex{5a}$ muestra una función $f$ con una gráfica que se curva hacia arriba. A $x$ medida que aumenta, la pendiente de la línea tangente aumenta. Así, dado que la derivada aumenta a medida que $x$ aumenta, $f'$ es una función creciente. Decimos que esta función $f$ es cóncava hacia arriba. La figura $\PageIndex{5b}$ muestra una función $f$ que se curva hacia abajo. A $x$ medida que aumenta, la pendiente de la línea tangente disminuye. Dado que la derivada disminuye a medida que $x$ aumenta, $f'$ es una función decreciente. Decimos que esta función $f$ es cóncava hacia abajo.

Definición: prueba de concavidad

Dejar $f$ ser una función que sea diferenciable en un intervalo abierto $I$ . Si $f'$ está aumentando $I$ , decimos que $f$ es cóncavo hacia arriba sobre $I$ . Si $f'$ está disminuyendo por encima $I$ , decimos que $f$ es cóncavo hacia abajo sobre $I$ .

En general, sin tener la gráfica de una función $f$ , ¿cómo podemos determinar su concavidad? Por definición, una función $f$ es cóncava hacia arriba si $f'$ va en aumento. Desde Corolario $3$ , sabemos que si $f'$ es una función diferenciable, entonces $f'$ está aumentando si su derivada $f''(x)>0$ . Por lo tanto, una función $f$ que es dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba cuando $f''(x)>0$ . Del mismo modo, una función $f$ es cóncava hacia abajo si $f'$ es decreciente. Sabemos que una función diferenciable $f'$ es decreciente si su derivada $f''(x)<0$ . Por lo tanto, una función dos veces diferenciable $f$ es cóncava hacia abajo cuando $f''(x)<0$ . La aplicación de esta lógica se conoce como prueba de concavidad.

Prueba de Concavidad

Dejar $f$ ser una función que es dos veces diferenciable a lo largo de un intervalo $I$ .

Si $f''(x)>0$ por todos $x∈I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia arriba $I$
Si $f''(x)<0$ para todos $x∈I,$ entonces $f$ es cóncavo hacia abajo sobre $I$ .

Concluimos que podemos determinar la concavidad de una función $f$ observando la segunda derivada de $f$ . Además, observamos que una función $f$ puede conmutar concavidad (Figura $\PageIndex{6}$ ). Sin embargo, una función continua puede cambiar la concavidad solo en un punto $x$ si $f''(x)=0$ o $f''(x)$ es indefinido. En consecuencia, para determinar los intervalos donde una función $f$ es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, buscamos aquellos valores de $x$ donde $f''(x)=0$ o $f''(x)$ es indefinido. Cuando hemos determinado estos puntos, dividimos el dominio de $f$ en intervalos más pequeños y determinamos el signo de $f''$ sobre cada uno de estos intervalos más pequeños. Si $f''$ los cambios firman a medida que pasamos por un punto $x$ , entonces $f$ cambia la concavidad. Es importante recordar que una función $f$ puede no cambiar la concavidad en un punto $x$ incluso si $f''(x)=0$ o $f''(x)$ es indefinida. Si, sin embargo, $f$ sí cambia la concavidad en un punto $a$ y $f$ es continuo en $a$ , decimos que el punto $(a,f(a))$ es un punto de inflexión de $f$ .

Definición: punto de inflexión

Si $f$ es continuo en $a$ y $f$ cambia la concavidad en $a$ , el punto $(a, \,f(a))$ es un punto de inflexión de $f$ .

Se muestra una función sinusoidal que ha sido desplazada al primer cuadrante. La función comienza a disminuir, por lo que f' < 0 and f” — Figura $\PageIndex{6}$ : Dado que $f''(x)>0$ para $x<a$ , la función $f$ es cóncava hacia arriba en el intervalo $(−∞,a)$ . Dado que $f''(x)<0$ para $x>a$ , la función $f$ es cóncava hacia abajo durante el intervalo $(a,∞)$ . El punto $(a,f(a))$ es un punto de inflexión de $f$ .

Ejemplo $\PageIndex{3}$ : Testing for Concavity

Para la función $f(x)=x^3−6x^2+9x+30,$ determinar todos los intervalos donde $f$ es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde $f$ es cóncavo hacia abajo. Enumere todos los puntos de inflexión para $f$ . Utilice una utilidad gráfica para confirmar sus resultados.

Solución

Para determinar la concavidad, necesitamos encontrar la segunda derivada $f''(x).$ La primera derivada es $f'(x)=3x^2−12x+9,$ así que la segunda derivada es $f''(x)=6x−12.$ Si la función cambia la concavidad, ocurre ya sea cuando $f''(x)=0$ o $f''(x)$ es indefinida. Ya que $f''$ se define para todos los números reales $x$ , solo necesitamos encontrar dónde $f''(x)=0$ . Resolviendo la ecuación $6x−12=0$ , vemos que $x=2$ es el único lugar donde $f$ podría cambiar la concavidad. Ahora probamos puntos a lo largo de los intervalos $(−∞,2)$ y $(2,∞)$ para determinar la concavidad de $f$ . Los puntos $x=0$ y $x=3$ son puntos de prueba para estos intervalos.

Tabla: $\PageIndex{3}$ : Prueba de Concavidad para $f(x)=x^3−6x^2+9x+30.$
Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f''(x)=6x−12$ en el punto de prueba	Conclusión
$(−∞,2)$	$x=0$	\ (f "(x) =6x−12\) en el punto de prueba” style="vertical-align:middle; ">−	$f$ es cóncavo hacia abajo
$(2,∞)$	$x=3$	\ (f "(x) =6x−12\) en el punto de prueba” style="vertical-align:middle; ">+	$f$ es cóncavo hacia arriba

Concluimos que $f$ es cóncavo hacia abajo en el intervalo $(−∞,2)$ y cóncavo hacia arriba en el intervalo $(2,∞)$ . Dado que $f$ cambia la concavidad en $x=2$ , el punto $(2,f(2))=(2,32)$ es un punto de inflexión. La figura $\PageIndex{7}$ confirma los resultados analíticos.

Se grafica la función f (x) = x3 — 6x2 + 9x + 30. El punto de inflexión (2, 32) está marcado, y es aproximadamente equidistante de los dos extremos locales. — Figura $\PageIndex{7}$ : La función dada tiene un punto de inflexión en $(2,32)$ donde la gráfica cambia la concavidad.

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Para $f(x)=−x^3+\frac{3}{2}x^2+18x$ , encontrar todos los intervalos donde $f$ es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde $f$ es cóncavo abajo.

Pista: Encuentra dónde $f''(x)=0$

Responder: $f$ es cóncavo hacia arriba en el intervalo $(−∞,\frac{1}{2})$ y cóncavo hacia abajo en el intervalo $(\frac{1}{2},∞)$

Ahora resumimos, en Tabla $\PageIndex{4}$ , la información que la primera y segunda derivadas de una función $f$ proporcionan sobre la gráfica de $f$ , e ilustramos esta información en la Figura $\PageIndex{8}$ .

Tabla: $\PageIndex{4}$ : Qué nos dicen los Derivados de las Gráficas
Signo de $f'$	Signo de $f''$	¿Está $f$ aumentando o disminuyendo?	Concavidad
\ (f'\)” style="vertical-align:middle; ">Positivo	\ (f "\)” style="vertical-align:middle; ">Positivo	\ (f\) ¿aumentando o disminuyendo?” style="vertical-align:middle; ">Incrementando	Cóncavo arriba
\ (f'\)” style="vertical-align:middle; ">Positivo	\ (f "\)” style="vertical-align:middle; ">Negativo	\ (f\) ¿aumentando o disminuyendo?” style="vertical-align:middle; ">Incrementando	Abajo cóncavo
\ (f'\)” style="vertical-align:middle; ">Negativo	\ (f "\)” style="vertical-align:middle; ">Positivo	\ (f\) ¿aumentando o disminuyendo?” style="vertical-align:middle; ">Disminución	Cóncavo arriba
\ (f'\)” style="vertical-align:middle; ">Negativo	\ (f "\)” style="vertical-align:middle; ">Negativo	\ (f\) ¿aumentando o disminuyendo?” style="vertical-align:middle; ">Disminución	Abajo cóncavo

Una función se grafica en el primer cuadrante. Se divide en cuatro tramos, con los descansos llegando al mínimo local, punto de inflexión, y máximo local, respectivamente. La primera sección es decreciente y cóncava hacia arriba; aquí, f' < 0 and f” — Figura:Considere $\PageIndex{8}$ una función diferenciable dos veces en $f$ un intervalo abierto. $I$ Si $f'(x)>0$ por todos $x∈I$ , la función está aumentando sobre $I$ . Si $f'(x)<0$ por todos $x∈I$ , la función está disminuyendo sobre $I$ . Si $f''(x)>0$ por todos $x∈I$ , la función es cóncava hacia arriba. Si es $f''(x)<0$ por todos $x∈I$ , la función es cóncava hacia abajo en $I$ .

La Segunda Prueba Derivada

La prueba de la primera derivada proporciona una herramienta analítica para encontrar extremos locales, pero la segunda derivada también se puede utilizar para localizar valores extremos. El uso de la segunda derivada a veces puede ser un método más sencillo que usar la primera derivada.

Sabemos que si una función continua tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico. Sin embargo, una función no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Aquí examinamos cómo se puede utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si una función tiene un extremo local en un punto crítico. Dejar $f$ ser una función dos veces diferenciable tal que $f'(a)=0$ y $f''$ es continua a lo largo de un intervalo abierto $I$ que contiene $a$ . Supongamos $f''(a)<0$ . Ya que $f''$ es continuo $I, f''(x)<0$ para todos $x∈I$ (Figura $\PageIndex{9}$ ). Entonces, por Corolario $3$ , $f'$ es una función decreciente sobre $I$ . Ya que $f'(a)=0$ , concluimos que para todos $x∈I, \,f'(x)>0$ si $x<a$ y $f'(x)<0$ si $x>a$ . Por lo tanto, por la primera prueba derivada, $f$ tiene un máximo local a $x=a$ .

Por otro lado, supongamos que existe un punto $b$ tal que $f'(b)=0$ pero $f''(b)>0$ . Dado que $f''$ es continuo sobre un intervalo abierto $I$ que contiene $b$ , entonces $f''(x)>0$ para todos $x∈I$ (Figura $\PageIndex{9}$ ). Entonces, por Corolario $3$ , $f'$ es una función creciente sobre $I$ . Ya que $f'(b)=0$ , concluimos que para todos $x∈I$ , $f'(x)<0$ si $x<b$ y $f'(x)>0$ si $x>b$ . Por lo tanto, por la primera prueba derivada, $f$ tiene un mínimo local en $x=b.$

Una función f (x) se grafica en el primer cuadrante con a y b marcados en el eje x. La función es vagamente sinusoidal, aumentando primero a x = a, luego disminuyendo a x = b, y aumentando nuevamente. En (a, f (a)), se marca la tangente, y se observa que f' (a) = 0 y f” (a) < 0. En (b, f (b)), se marca la tangente, y se anota f' (b) = 0 y f” (b) — Figura $\PageIndex{9}$ : Considerar una función diferenciable dos veces $f$ tal que $f''$ sea continua. Ya que $f'(a)=0$ y $f''(a)<0$ , hay un intervalo $I$ que contiene $a$ tal que para todos $x$ en $I$ , $f$ va aumentando si $x<a$ y $f$ es decreciente si $x>a$ . Como resultado, $f$ tiene un máximo local en $x=a$ . Ya que $f'(b)=0$ y $f''(b)>0$ , hay un intervalo $I$ que contiene $b$ tal que para todos $x$ en $I$ , $f$ es decreciente si $x<b$ y $f$ va aumentando si $x>b$ . Como resultado, $f$ tiene un mínimo local en $x=b$ .

Segunda Prueba Derivada

Supongamos $f'(c)=0$ y $f''$ es continuo sobre un intervalo que contiene $c$ .

Si $f''(c)>0$ , entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ .
Si $f''(c)<0$ , entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ .
Si $f''(c)=0,$ entonces la prueba no es concluyente.

Tenga en cuenta que para el caso iii. cuando $f''(c)=0$ , entonces $f$ puede tener un máximo local, mínimo local, o ninguno al $c$ . Por ejemplo, las funciones $f(x)=x^3, \; f(x)=x^4,$ y $f(x)=−x^4$ todas tienen puntos críticos en $x=0$ . En cada caso, la segunda derivada es cero at $x=0$ . Sin embargo, la función $f(x)=x^4$ tiene un mínimo local en $x=0$ mientras que la función $f(x)=−x^4$ tiene un máximo local at $x=0$ , y la función $f(x)=x^3$ no tiene un extremo local at $x=0$ .

Veamos ahora cómo usar la segunda prueba derivada para determinar si $f$ tiene un máximo local o un mínimo local en un punto crítico $c$ donde $f'(c)=0.$

Ejemplo $\PageIndex{4}$ : Using the Second Derivative Test

Utilice la segunda derivada para encontrar la ubicación de todos los extremos locales para $f(x)=x^5−5x^3.$

Solución

Para aplicar la segunda prueba derivada, primero necesitamos encontrar puntos críticos $c$ donde $f'(c)=0$ . El derivado es $f'(x)=5x^4−15x^2$ . Por lo tanto, $f'(x)=5x^4−15x^2=5x^2(x^2−3)=0$ cuando $x=0,\,±\sqrt{3}$ .

Para determinar si $f$ tiene un extremo local en alguno de estos puntos, necesitamos evaluar el signo de $f''$ en estos puntos. La segunda derivada es

$f''(x)=20x^3−30x=10x(2x^2−3).$

En la siguiente tabla, evaluamos la segunda derivada en cada uno de los puntos críticos y utilizamos la prueba de la segunda derivada para determinar si $f$ tiene un máximo local o un mínimo local en alguno de estos puntos.

Tabla $\PageIndex{5}$ : Ensayo de la Segunda Derivada para $f(x)=x^5−5x^3.$
$x$	$f''(x)$	Conclusión
\ (x\) "> $−\sqrt{3}$	\ (f "(x)\)" > $−30\sqrt{3}$	Máximo local
\ (x\) "> $0$	\ (f "(x)\)" > $0$	La prueba de la segunda derivada no es concluyente
\ (x\) "> $\sqrt{3}$	\ (f "(x)\)" > $30\sqrt{3}$	Mínimo local

Por la segunda prueba derivada, concluimos que $f$ tiene un máximo local en $x=−\sqrt{3}$ y $f$ tiene un mínimo local en $x=\sqrt{3}$ . La segunda prueba derivada no es concluyente en $x=0$ . Para determinar si $f$ tiene un extremo local en $x=0,$ aplicamos la primera prueba derivada. Evaluar el signo de $f'(x)=5x^2(x^2−3)$ para $x∈(−\sqrt{3},0)$ y $x∈(0,\sqrt{3})$ , dejar $x=−1$ y $x=1$ ser los dos puntos de prueba. Desde $f'(−1)<0$ y $f'(1)<0$ , concluimos que $f$ está disminuyendo en ambos intervalos y, por lo tanto, $f$ no tiene un extremo local en $x=0$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Se grafica la función f (x) = x5 — 5x3. La función aumenta a (raíz cuadrada negativa de 3, 10), luego disminuye a un punto de inflexión en 0, continúa disminuyendo a (raíz cuadrada de 3, −10), y luego aumenta. — Figura:La $\PageIndex{10}$ función tiene $f$ un máximo local en y $x=−\sqrt{3}$ un mínimo local en $x=\sqrt{3}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Considera la función $f(x)=x^3−(\frac{3}{2})x^2−18x$ . Los puntos $c=3,\,−2$ satisfacen $f'(c)=0$ . Utilice la prueba de la segunda derivada para determinar si $f$ tiene un máximo local o un mínimo local en esos puntos.

Pista: $f''(x)=6x−3$

Responder: $f$ tiene un máximo local en $−2$ y un mínimo local en $3$ .

Ahora hemos desarrollado las herramientas que necesitamos para determinar dónde está aumentando y disminuyendo una función, además de adquirir una comprensión de la forma básica de la gráfica. En la siguiente sección discutimos lo que sucede con una función como $x→±∞.$ En ese punto, contamos con herramientas suficientes para proporcionar gráficas precisas de una gran variedad de funciones.

Conceptos clave

Si $c$ es un punto crítico de $f$ y $f'(x)>0$ para $x<c$ y $f'(x)<0$ para $x>c$ , entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ .
Si $c$ es un punto crítico de $f$ y $f'(x)<0$ para $x<c$ y $f'(x)>0$ para $x>c,$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ .
Si está $f''(x)>0$ sobre un intervalo $I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia arriba $I$ .
Si está $f''(x)<0$ sobre un intervalo $I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia abajo sobre $I$ .
Si $f'(c)=0$ y $f''(c)>0$ , entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ .
Si $f'(c)=0$ y $f''(c)<0$ , entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ .
Si $f'(c)=0$ y $f''(c)=0$ , luego evaluar $f'(x)$ en un punto de prueba $x$ a la izquierda $c$ y un punto de prueba $x$ a la derecha de $c$ , para determinar si $f$ tiene un extremo local en $c$ .

Glosario

cóncavo hacia abajo: si $f$ es diferenciable a lo largo de un intervalo $I$ y $f'$ está disminuyendo sobre $I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia abajo sobre $I$

cóncavo hacia arriba: si $f$ es diferenciable a lo largo de un intervalo $I$ y $f'$ está aumentando $I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia arriba sobre $I$

concavidad: la curva ascendente o descendente de la gráfica de una función

prueba de concavidad: supongamos que $f$ es dos veces diferenciable en un intervalo $I$ ; si está $f''>0$ terminado $I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia arriba $I$ ; si está $f''<$ terminado $I$ , entonces $f$ es cóncavo hacia abajo sobre $I$

prueba de primera derivada: dejar $f$ ser una función continua sobre un intervalo $I$ que contiene un punto crítico $c$ tal que $f$ es diferenciable $I$ excepto posiblemente en $c$ ; si $f'$ cambia signo de positivo a negativo a medida que $x$ aumenta a través $c$ , entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ ; si $f'$ los cambios firman de negativo a positivo a medida que $x$ aumenta a través $c$ , entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ ; si $f'$ no cambia signo a medida que $x$ aumenta a través $c$ , entonces $f$ no tiene un extremo local en $c$

punto de inflexión: si $f$ es continuo en $c$ y $f$ cambia la concavidad en $c$ , el punto $(c,f(c))$ es un punto de inflexión de $f$

prueba de segunda derivada: suponga $f'(c)=0$ y $f'$ 'es continuo sobre un intervalo que contiene $c$ ; si $f''(c)>0$ , entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ ; si $f''(c)<0$ , entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ ; si $f''(c)=0$ , entonces la prueba no es concluyente

Objetivos de aprendizaje

La Primera Prueba Derivada

Prueba de Primera Derivada

Ejemplo4.5.1\PageIndex{1}: Using the First Derivative Test to Find Local Extrema

Ejercicio4.5.1\PageIndex{1}

Ejemplo4.5.2\PageIndex{2}: Using the First Derivative Test

Ejercicio4.5.2\PageIndex{2}

Concavidad y Puntos de Inflexión

Definición: prueba de concavidad

Prueba de Concavidad

Definición: punto de inflexión

Ejemplo4.5.3\PageIndex{3}: Testing for Concavity

Ejercicio4.5.3\PageIndex{3}

La Segunda Prueba Derivada

Segunda Prueba Derivada

Ejemplo4.5.4\PageIndex{4}: Using the Second Derivative Test

Ejercicio4.5.4\PageIndex{4}

Conceptos clave

Glosario

Support Center

How can we help?

Ejemplo $\PageIndex{1}$ : Using the First Derivative Test to Find Local Extrema

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Ejemplo $\PageIndex{2}$ : Using the First Derivative Test

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Ejemplo $\PageIndex{3}$ : Testing for Concavity

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Ejemplo $\PageIndex{4}$ : Using the Second Derivative Test

Ejercicio $\PageIndex{4}$