Saltar al contenido principal

# 4.5E: Ejercicios para la Sección 4.5

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1) Si$$c$$ es un punto crítico de$$f(x)$$, ¿cuándo no hay un máximo o mínimo local en$$c$$? Explique.

2) Para la función$$y=x^3$$, ¿es$$x=0$$ tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local?

Contestar
No es un máximo/mínimo local porque$$f'$$ no cambia signo

3) Para la función$$y=x^3$$, ¿es$$x=0$$ un punto de inflexión?

4) ¿Es posible que un punto$$c$$ sea tanto un punto de inflexión como un extremo local de una función dos veces diferenciable?

Contestar
No

5) ¿Por qué necesitas continuidad para la primera prueba derivada? Vamos con un ejemplo.

6) Explicar si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzar$$y=0$$ por algún valor de$$x$$.

Contestar
Falso; por ejemplo,$$y=\sqrt{x}$$.

7) Explicar si un polinomio de grado$$2$$ puede tener un punto de inflexión.

En los ejercicios 8 - 12, analice las gráficas de$$f'$$, luego enumere todos los intervalos donde$$f$$ está aumentando o disminuyendo.

8)

Contestar
Incrementando para$$−2<x<−1$$ y$$x>2$$;
Disminuyendo para$$x<−2$$ y$$−1<x<2$$

9)

10)

Contestar
Disminuyendo para$$x<1$$,
Aumentando para$$x>1$$

11)

12)

Contestar
Disminuyendo para$$−2<x<−1$$ y$$1<x<2$$;
Aumentando para$$−1<x<1$$ y$$x<−2$$ y$$x>2$$

En los ejercicios 13 - 17, analizar las gráficas de$$f',$$ entonces enumerar todos los intervalos donde

a.$$f$$ es creciente y decreciente y

b. se localizan los mínimos y máximos.

13)

14)

Contestar
a. Aumentando sobre$$−2<x<−1,\;0<x<1,x>2$$, Disminuyendo sobre$$x<−2, \;−1<x<0, \;1<x<2;$$
b. Máximo en$$x=−1$$ y$$x=1$$, Mínimos en$$x=−2$$ y$$x=0$$ y$$x=2$$

15)

16)

Contestar
a. Aumentando sobre$$x>0$$, disminuyendo sobre$$x<0;$$
b. Mínimo en$$x=0$$

17)

En los ejercicios 18 - 22, analice las gráficas de$$f'$$, luego enumere todos los puntos e intervalos$$f$$ de inflexión cóncavos hacia arriba y cóncavos hacia abajo.

18)

Contestar
Cóncavo para todos$$x$$,
sin puntos de inflexión

19)

20)

Contestar
Cóncavo para todos$$x$$,
sin puntos de inflexión

21)

22)

Contestar
Cóncavo hacia arriba para$$x<0$$ y$$x>1$$,
Cóncavo abajo para$$0<x<1$$, Puntos de
$$x=0$$ inflexión$$x=1$$

Para los ejercicios 23 - 27, dibujar una gráfica que satisfaga las especificaciones dadas para el dominio$$x=[−3,3].$$ La función no tiene que ser continua o diferenciable.

23)$$f(x)>0,\;f'(x)>0$$$$x>1,\;−3<x<0,\;f'(x)=0$$ sobre$$0<x<1$$

24)$$f'(x)>0$$ sobre$$x>2,\;−3<x<−1,\;f'(x)<0$$ todo$$−1<x<2,\;f''(x)<0$$ para todos$$x$$

Contestar
Las respuestas variarán

25)$$f''(x)<0$$ sobre el máximo$$−1<x<1,\;f''(x)>0,\;−3<x<−1,\;1<x<3,$$$$x=0,$$ local en mínimos locales en$$x=±2$$

26) Hay un máximo local al mínimo$$x=2,$$ local en$$x=1,$$ y la gráfica no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo.

Contestar
Las respuestas variarán

27) Hay máximos locales en$$x=±1,$$ la función es cóncava para todos$$x$$, y la función sigue siendo positiva para todos$$x.$$

Para los siguientes ejercicios, determine

a. intervalos donde$$f$$ es creciente o decreciente y

b. mínimos locales y máximos de$$f$$.

28)$$f(x)=\sin x+\sin^3x$$ sobre$$−π<x<π$$

Contestar

a. Aumentando por encima de$$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2},$$ la disminución$$x<−\frac{π}{2},\; x>\frac{π}{2}$$

b. Máximo local en$$x=\frac{π}{2}$$; mínimo local en$$x=−\frac{π}{2}$$

29)$$f(x)=x^2+\cos x$$

Para el ejercicio 30, determinar

a. intervalos donde$$f$$ es cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo, y

b. los puntos de inflexión de$$f$$.

30)$$f(x)=x^3−4x^2+x+2$$

Contestar

a. cóncavo hacia arriba para$$x>\frac{4}{3},$$ cóncavo hacia abajo para$$x<\frac{4}{3}$$

b. Punto de inflexión$$x=\frac{4}{3}$$

Para los ejercicios 31 - 37, determinar

a. intervalos donde$$f$$ está aumentando o disminuyendo,

b. mínimos y máximos locales de$$f$$,

c. intervalos donde$$f$$ es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión de$$f.$$

31)$$f(x)=x^2−6x$$

32)$$f(x)=x^3−6x^2$$

Contestar
a. Aumentando$$x<0$$ y$$x>4,$$ disminuyendo sobre$$0<x<4$$
b. Máximo en$$x=0$$, mínimo en$$x=4$$
c. Cóncavo hacia arriba para$$x>2$$, cóncavo hacia abajo para$$x<2$$
d. Punto de inflexión en$$x=2$$

33)$$f(x)=x^4−6x^3$$

34)$$f(x)=x^{11}−6x^{10}$$

Contestar
a. Aumentando sobre$$x<0$$ y$$x>\frac{60}{11}$$, disminuyendo sobre$$0<x<\frac{60}{11}$$
b. Máximo en$$x=0$$, mínimo en$$x=\frac{60}{11}$$
c. Cóncavo hacia abajo para$$x<\frac{54}{11}$$, cóncavo hacia arriba para$$x>\frac{54}{11}$$
d. Punto de inflexión en$$x=\frac{54}{11}$$

35)$$f(x)=x+x^2−x^3$$

36)$$f(x)=x^2+x+1$$

Contestar
a. Aumentando sobre$$x>−\frac{1}{2}$$, disminuyendo sobre$$x<−\frac{1}{2}$$
b. Mínimo a$$x=−\frac{1}{2}$$
c. Cóncavo hacia arriba para todos$$x$$
d. Sin puntos de inflexión

37)$$f(x)=x^3+x^4$$

Para los ejercicios 38 - 47, determine

a. intervalos donde$$f$$ está aumentando o disminuyendo,

b. mínimos y máximos locales de$$f,$$

c. intervalos donde$$f$$ es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión de$$f.$$ Dibuje la curva, luego use una calculadora para comparar su respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta analíticamente, use una calculadora.

38) [T]$$f(x)=\sin(πx)−\cos(πx)$$ sobre$$x=[−1,1]$$

Contestar
a. Aumenta sobre las$$−\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$$ disminuciones sobre$$x>\frac{3}{4}$$ y$$x<−\frac{1}{4}$$
b. Mínimo en$$x=−\frac{1}{4}$$, máximo en$$x=\frac{3}{4}$$
c. Cóncavo hacia arriba para$$−\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4}$$, cóncavo hacia abajo para$$x<−\frac{3}{4}$$ y$$x>\frac{1}{4}$$
d. Puntos de inflexión en$$x=−\frac{3}{4},\;x=\frac{1}{4}$$

39) [T]$$f(x)=x+\sin(2x)$$ sobre$$x=[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$$

40) [T]$$f(x)=\sin x+\tan x$$ sobre$$(−\frac{π}{2},\frac{π}{2})$$

Contestar
a. Aumentando para todos$$x$$
b. No hay mínimo o máximo local
c. Cóncavo hacia arriba para$$x>0$$, cóncavo hacia abajo para$$x<0$$
d. Punto de inflexión en$$x=0$$

41) [T]$$f(x)=(x−2)^2(x−4)^2$$

42) [T]$$f(x)=\dfrac{1}{1−x},\quad x≠1$$

Contestar
a. Aumentando para todos$$x$$ donde esté definido
b. No hay mínimos o máximos locales
c. Cóncavo hacia arriba para$$x<1$$; cóncavo hacia abajo para$$x>1$$
d. Sin puntos de inflexión en el dominio

43) [T]$$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$$ sobre$$x=[-2π,0)∪(0,2π]$$

44)$$f(x)=\sin(x)e^x$$ sobre$$x=[−π,π]$$

Contestar
a. Aumentando sobre$$−\frac{π}{4}<x<\frac{3π}{4}$$, disminuyendo sobre$$x>\frac{3π}{4},\;x<−\frac{π}{4}$$
b. Mínimo en$$x=−\frac{π}{4}$$, máximo en$$x=\frac{3π}{4}$$
c. Cóncavo hacia arriba para$$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}$$, cóncavo hacia abajo para$$x<−\frac{π}{2},\;x>\frac{π}{2}$$
d. Puntos de inflexión en$$x=±\frac{π}{2}$$

45)$$f(x)=\ln x\sqrt{x},\quad x>0$$

46)$$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},\quad x>0$$

Contestar
a. Aumentando sobre$$x>4,$$ disminuir sobre$$0<x<4$$
b. Mínimo a$$x=4$$
c. Cóncavo hacia arriba para$$0<x<8\sqrt[3]{2}$$, cóncavo hacia abajo para$$x>8\sqrt[3]{2}$$
d. Punto de inflexión en$$x=8\sqrt[3]{2}$$

47)$$f(x)=\dfrac{e^x}{x},\quad x≠0$$

En los ejercicios 48 - 52, interprete las oraciones en términos de$$f,\;f',$$ y$$f''.$$

48) La población crece más lentamente. Aquí$$f$$ está la población.

Contestar
$$f>0,\;f'>0,\;f''<0$$

49) Una bicicleta acelera más rápido, pero un auto va más rápido. Aquí la posición de la$$f=$$ bici menos la posición de Car.

50) El avión aterriza suavemente. Aquí$$f$$ está la altitud del avión.

Contestar
$$f>0,\;f'<0,\;f''>0$$

51) Los precios de las acciones están en su punto máximo. Aquí$$f$$ está el precio de las acciones.

52) La economía está cobrando velocidad. Aquí$$f$$ hay una medida de la economía, como el PIB.

Contestar
$$f>0,\;f'>0,\;f''>0$$

Para los ejercicios 53 - 57, considere un polinomio de tercer grado$$f(x),$$ que tenga las propiedades$$f'(1)=0$$ y$$f'(3)=0$$.

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

53)$$f(x)=0$$ para algunos$$1≤x≤3$$.

54)$$f''(x)=0$$ para algunos$$1≤x≤3$$.

Contestar
Cierto, por el Teorema del Valor Medio

55) No hay un máximo absoluto en$$x=3$$.

56) Si$$f(x)$$ tiene tres raíces, entonces tiene punto de$$1$$ inflexión.

Contestar
57) Si$$f(x)$$ tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales.