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LibreTexts Español

4.5E: Ejercicios para la Sección 4.5

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

1) Sic es un punto crítico def(x), ¿cuándo no hay un máximo o mínimo local enc? Explique.

2) Para la funcióny=x3, ¿esx=0 tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local?

Contestar
No es un máximo/mínimo local porquef no cambia signo

3) Para la funcióny=x3, ¿esx=0 un punto de inflexión?

4) ¿Es posible que un puntoc sea tanto un punto de inflexión como un extremo local de una función dos veces diferenciable?

Contestar
No

5) ¿Por qué necesitas continuidad para la primera prueba derivada? Vamos con un ejemplo.

6) Explicar si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzary=0 por algún valor dex.

Contestar
Falso; por ejemplo,y=x.

7) Explicar si un polinomio de grado2 puede tener un punto de inflexión.

En los ejercicios 8 - 12, analice las gráficas def, luego enumere todos los intervalos dondef está aumentando o disminuyendo.

8)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−2, 0). Luego continúa aumentando un poco antes de disminuir y cruzar el eje x en (−1, 0). Alcanza un mínimo local en (1, −6) antes de aumentar y cruzar el eje x en (2, 0).

Contestar
Incrementando para2<x<1 yx>2;
Disminuyendo parax<2 y1<x<2

9)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−2, 0). Luego continúa aumentando un poco antes de disminuir y tocar el eje x en (−1, 0). Luego aumenta un poco antes de disminuir y cruzar el eje x en el origen. La función luego disminuye a un mínimo local antes de aumentar, cruzar el eje x en (1, 0) y continuar aumentando.

10)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativo y toca el eje x en el origen. Después disminuye un poco antes de aumentar para cruzar el eje x en (1, 0) y continuar aumentando.

Contestar
Disminuyendo parax<1,
Aumentando parax>1

11)

Se grafica la función f' (x). La función comienza positiva y disminuye para tocar el eje x en (−1, 0). Luego aumenta a (0, 4.5) antes de disminuir para tocar el eje x en (1, 0). Entonces la función aumenta.

12)

Se grafica la función f' (x). La función comienza en (−2, 0), disminuye a (−1.5, −1.5), aumenta a (−1, 0) y continúa aumentando antes de disminuir al origen. Entonces el otro lado es simétrico: es decir, la función aumenta y luego disminuye para pasar a través (1, 0). Continúa disminuyendo a (1.5, −1.5), y luego aumenta a (2, 0).

Contestar
Disminuyendo para2<x<1 y1<x<2;
Aumentando para1<x<1 yx<2 yx>2

En los ejercicios 13 - 17, analizar las gráficas def, entonces enumerar todos los intervalos donde

a.f es creciente y decreciente y

b. se localizan los mínimos y máximos.

13)

Se grafica la función f' (x). La función comienza en (−2, 0), disminuye un poco y luego aumenta a (−1, 0), continúa aumentando antes de disminuir al origen, momento en el que aumenta.

14)

Se grafica la función f' (x). La función comienza en (−2, 0), aumenta y luego disminuye a (−1, 0), disminuye y luego aumenta a un punto de inflexión en el origen. Entonces la función aumenta y disminuye para cruzar (1, 0). Continúa disminuyendo y luego aumenta a (2, 0).

Contestar
a. Aumentando sobre2<x<1,0<x<1,x>2, Disminuyendo sobrex<2,1<x<0,1<x<2;
b. Máximo enx=1 yx=1, Mínimos enx=2 yx=0 yx=2

15)

La función f' (x) se grafica de x = −2 a x = 2. Comienza cerca de cero en x = −2, pero luego aumenta rápidamente y permanece positivo para toda la longitud de la gráfica.

16)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en el origen, que es un punto de inflexión. Entonces sigue aumentando.

Contestar
a. Aumentando sobrex>0, disminuyendo sobrex<0;
b. Mínimo enx=0

17)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−1, 0). Después sigue aumentando un poco antes de disminuir y tocar el eje x en el origen. Aumenta nuevamente y luego disminuye a (1, 0). Entonces aumenta.

En los ejercicios 18 - 22, analice las gráficas def, luego enumere todos los puntos e intervalosf de inflexión cóncavos hacia arriba y cóncavos hacia abajo.

18)

Se grafica la función f' (x). La función es lineal y comienza negativa. Cruza el eje x en el origen.

Contestar
Cóncavo para todosx,
sin puntos de inflexión

19)

Se grafica la función f' (x). Se trata de una parábola orientada hacia arriba con 0 como mínimo local.

20)

Se grafica la función f' (x). La función se asemeja a la gráfica de x3: es decir, inicia negativa y cruza el eje x en el origen. Entonces sigue aumentando.

Contestar
Cóncavo para todosx,
sin puntos de inflexión

21)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−0.5, 0). Luego continúa aumentando a (0, 1.5) antes de disminuir y tocar el eje x en (1, 0). Luego aumenta.

22)

Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−1, 0). Después continúa aumentando a un máximo local en (0, 1), punto en el que disminuye y toca el eje x en (1, 0). Luego aumenta.

Contestar
Cóncavo hacia arriba parax<0 yx>1,
Cóncavo abajo para0<x<1, Puntos de
x=0 inflexiónx=1

Para los ejercicios 23 - 27, dibujar una gráfica que satisfaga las especificaciones dadas para el dominiox=[3,3]. La función no tiene que ser continua o diferenciable.

23)f(x)>0,f(x)>0x>1,3<x<0,f(x)=0 sobre0<x<1

24)f(x)>0 sobrex>2,3<x<1,f(x)<0 todo1<x<2,f para todosx

Contestar
Las respuestas variarán

25)f''(x)<0 sobre el máximo−1<x<1,\;f''(x)>0,\;−3<x<−1,\;1<x<3,x=0, local en mínimos locales enx=±2

26) Hay un máximo local al mínimox=2, local enx=1, y la gráfica no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo.

Contestar
Las respuestas variarán

27) Hay máximos locales enx=±1, la función es cóncava para todosx, y la función sigue siendo positiva para todosx.

Para los siguientes ejercicios, determine

a. intervalos dondef es creciente o decreciente y

b. mínimos locales y máximos def.

28)f(x)=\sin x+\sin^3x sobre−π<x<π

Contestar

a. Aumentando por encima de−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}, la disminuciónx<−\frac{π}{2},\; x>\frac{π}{2}

b. Máximo local enx=\frac{π}{2}; mínimo local enx=−\frac{π}{2}

29)f(x)=x^2+\cos x

Para el ejercicio 30, determinar

a. intervalos dondef es cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo, y

b. los puntos de inflexión def.

30)f(x)=x^3−4x^2+x+2

Contestar

a. cóncavo hacia arriba parax>\frac{4}{3}, cóncavo hacia abajo parax<\frac{4}{3}

b. Punto de inflexiónx=\frac{4}{3}

Para los ejercicios 31 - 37, determinar

a. intervalos dondef está aumentando o disminuyendo,

b. mínimos y máximos locales def,

c. intervalos dondef es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión def.

31)f(x)=x^2−6x

32)f(x)=x^3−6x^2

Contestar
a. Aumentandox<0 yx>4, disminuyendo sobre0<x<4
b. Máximo enx=0, mínimo enx=4
c. Cóncavo hacia arriba parax>2, cóncavo hacia abajo parax<2
d. Punto de inflexión enx=2

33)f(x)=x^4−6x^3

34)f(x)=x^{11}−6x^{10}

Contestar
a. Aumentando sobrex<0 yx>\frac{60}{11}, disminuyendo sobre0<x<\frac{60}{11}
b. Máximo enx=0, mínimo enx=\frac{60}{11}
c. Cóncavo hacia abajo parax<\frac{54}{11}, cóncavo hacia arriba parax>\frac{54}{11}
d. Punto de inflexión enx=\frac{54}{11}

35)f(x)=x+x^2−x^3

36)f(x)=x^2+x+1

Contestar
a. Aumentando sobrex>−\frac{1}{2}, disminuyendo sobrex<−\frac{1}{2}
b. Mínimo ax=−\frac{1}{2}
c. Cóncavo hacia arriba para todosx
d. Sin puntos de inflexión

37)f(x)=x^3+x^4

Para los ejercicios 38 - 47, determine

a. intervalos dondef está aumentando o disminuyendo,

b. mínimos y máximos locales def,

c. intervalos dondef es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión def. Dibuje la curva, luego use una calculadora para comparar su respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta analíticamente, use una calculadora.

38) [T]f(x)=\sin(πx)−\cos(πx) sobrex=[−1,1]

Contestar
a. Aumenta sobre las−\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4}, disminuciones sobrex>\frac{3}{4} yx<−\frac{1}{4}
b. Mínimo enx=−\frac{1}{4}, máximo enx=\frac{3}{4}
c. Cóncavo hacia arriba para−\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4}, cóncavo hacia abajo parax<−\frac{3}{4} yx>\frac{1}{4}
d. Puntos de inflexión enx=−\frac{3}{4},\;x=\frac{1}{4}

39) [T]f(x)=x+\sin(2x) sobrex=[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}]

40) [T]f(x)=\sin x+\tan x sobre(−\frac{π}{2},\frac{π}{2})

Contestar
a. Aumentando para todosx
b. No hay mínimo o máximo local
c. Cóncavo hacia arriba parax>0, cóncavo hacia abajo parax<0
d. Punto de inflexión enx=0

41) [T]f(x)=(x−2)^2(x−4)^2

42) [T]f(x)=\dfrac{1}{1−x},\quad x≠1

Contestar
a. Aumentando para todosx donde esté definido
b. No hay mínimos o máximos locales
c. Cóncavo hacia arriba parax<1; cóncavo hacia abajo parax>1
d. Sin puntos de inflexión en el dominio

43) [T]f(x)=\dfrac{\sin x}{x} sobrex=[-2π,0)∪(0,2π]

44)f(x)=\sin(x)e^x sobrex=[−π,π]

Contestar
a. Aumentando sobre−\frac{π}{4}<x<\frac{3π}{4}, disminuyendo sobrex>\frac{3π}{4},\;x<−\frac{π}{4}
b. Mínimo enx=−\frac{π}{4}, máximo enx=\frac{3π}{4}
c. Cóncavo hacia arriba para−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}, cóncavo hacia abajo parax<−\frac{π}{2},\;x>\frac{π}{2}
d. Puntos de inflexión enx=±\frac{π}{2}

45)f(x)=\ln x\sqrt{x},\quad x>0

46)f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},\quad x>0

Contestar
a. Aumentando sobrex>4, disminuir sobre0<x<4
b. Mínimo ax=4
c. Cóncavo hacia arriba para0<x<8\sqrt[3]{2}, cóncavo hacia abajo parax>8\sqrt[3]{2}
d. Punto de inflexión enx=8\sqrt[3]{2}

47)f(x)=\dfrac{e^x}{x},\quad x≠0

En los ejercicios 48 - 52, interprete las oraciones en términos def,\;f', yf''.

48) La población crece más lentamente. Aquíf está la población.

Contestar
f>0,\;f'>0,\;f''<0

49) Una bicicleta acelera más rápido, pero un auto va más rápido. Aquí la posición de laf= bici menos la posición de Car.

50) El avión aterriza suavemente. Aquíf está la altitud del avión.

Contestar
f>0,\;f'<0,\;f''>0

51) Los precios de las acciones están en su punto máximo. Aquíf está el precio de las acciones.

52) La economía está cobrando velocidad. Aquíf hay una medida de la economía, como el PIB.

Contestar
f>0,\;f'>0,\;f''>0

Para los ejercicios 53 - 57, considere un polinomio de tercer gradof(x), que tenga las propiedadesf'(1)=0 yf'(3)=0.

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

53)f(x)=0 para algunos1≤x≤3.

54)f''(x)=0 para algunos1≤x≤3.

Contestar
Cierto, por el Teorema del Valor Medio

55) No hay un máximo absoluto enx=3.

56) Sif(x) tiene tres raíces, entonces tiene punto de1 inflexión.

Contestar
Cierto, examinar derivado

57) Sif(x) tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales.


4.5E: Ejercicios para la Sección 4.5 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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