4.5E: Ejercicios para la Sección 4.5

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1) Si$c$ es un punto crítico de$f(x)$, ¿cuándo no hay un máximo o mínimo local en$c$? Explique.

2) Para la función$y=x^3$, ¿es$x=0$ tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local?

Contestar: No es un máximo/mínimo local porque$f'$ no cambia signo

3) Para la función$y=x^3$, ¿es$x=0$ un punto de inflexión?

4) ¿Es posible que un punto$c$ sea tanto un punto de inflexión como un extremo local de una función dos veces diferenciable?

Contestar: No

5) ¿Por qué necesitas continuidad para la primera prueba derivada? Vamos con un ejemplo.

6) Explicar si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzar$y=0$ por algún valor de$x$.

Contestar: Falso; por ejemplo,$y=\sqrt{x}$.

7) Explicar si un polinomio de grado$2$ puede tener un punto de inflexión.

En los ejercicios 8 - 12, analice las gráficas de$f'$, luego enumere todos los intervalos donde$f$ está aumentando o disminuyendo.

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−2, 0). Luego continúa aumentando un poco antes de disminuir y cruzar el eje x en (−1, 0). Alcanza un mínimo local en (1, −6) antes de aumentar y cruzar el eje x en (2, 0).$

Contestar: Incrementando para$−2<x<−1$ y$x>2$;
Disminuyendo para$x<−2$ y$−1<x<2$

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−2, 0). Luego continúa aumentando un poco antes de disminuir y tocar el eje x en (−1, 0). Luego aumenta un poco antes de disminuir y cruzar el eje x en el origen. La función luego disminuye a un mínimo local antes de aumentar, cruzar el eje x en (1, 0) y continuar aumentando.$

10)

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativo y toca el eje x en el origen. Después disminuye un poco antes de aumentar para cruzar el eje x en (1, 0) y continuar aumentando.$

Contestar: Disminuyendo para$x<1$,
Aumentando para$x>1$

11)

$Se grafica la función f' (x). La función comienza positiva y disminuye para tocar el eje x en (−1, 0). Luego aumenta a (0, 4.5) antes de disminuir para tocar el eje x en (1, 0). Entonces la función aumenta.$

12)

$Se grafica la función f' (x). La función comienza en (−2, 0), disminuye a (−1.5, −1.5), aumenta a (−1, 0) y continúa aumentando antes de disminuir al origen. Entonces el otro lado es simétrico: es decir, la función aumenta y luego disminuye para pasar a través (1, 0). Continúa disminuyendo a (1.5, −1.5), y luego aumenta a (2, 0).$

Contestar: Disminuyendo para$−2<x<−1$ y$1<x<2$;
Aumentando para$−1<x<1$ y$x<−2$ y$x>2$

En los ejercicios 13 - 17, analizar las gráficas de$f',$ entonces enumerar todos los intervalos donde

a.$f$ es creciente y decreciente y

b. se localizan los mínimos y máximos.

13)

$Se grafica la función f' (x). La función comienza en (−2, 0), disminuye un poco y luego aumenta a (−1, 0), continúa aumentando antes de disminuir al origen, momento en el que aumenta.$

14)

$Se grafica la función f' (x). La función comienza en (−2, 0), aumenta y luego disminuye a (−1, 0), disminuye y luego aumenta a un punto de inflexión en el origen. Entonces la función aumenta y disminuye para cruzar (1, 0). Continúa disminuyendo y luego aumenta a (2, 0).$

Contestar: a. Aumentando sobre$−2<x<−1,\;0<x<1,x>2$, Disminuyendo sobre$x<−2, \;−1<x<0, \;1<x<2;$
b. Máximo en$x=−1$ y$x=1$, Mínimos en$x=−2$ y$x=0$ y$x=2$

15)

$La función f' (x) se grafica de x = −2 a x = 2. Comienza cerca de cero en x = −2, pero luego aumenta rápidamente y permanece positivo para toda la longitud de la gráfica.$

16)

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en el origen, que es un punto de inflexión. Entonces sigue aumentando.$

Contestar: a. Aumentando sobre$x>0$, disminuyendo sobre$x<0;$
b. Mínimo en$x=0$

17)

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−1, 0). Después sigue aumentando un poco antes de disminuir y tocar el eje x en el origen. Aumenta nuevamente y luego disminuye a (1, 0). Entonces aumenta.$

En los ejercicios 18 - 22, analice las gráficas de$f'$, luego enumere todos los puntos e intervalos$f$ de inflexión cóncavos hacia arriba y cóncavos hacia abajo.

18)

$Se grafica la función f' (x). La función es lineal y comienza negativa. Cruza el eje x en el origen.$

Contestar: Cóncavo para todos$x$,
sin puntos de inflexión

19)

$Se grafica la función f' (x). Se trata de una parábola orientada hacia arriba con 0 como mínimo local.$

20)

$Se grafica la función f' (x). La función se asemeja a la gráfica de x3: es decir, inicia negativa y cruza el eje x en el origen. Entonces sigue aumentando.$

Contestar: Cóncavo para todos$x$,
sin puntos de inflexión

21)

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−0.5, 0). Luego continúa aumentando a (0, 1.5) antes de disminuir y tocar el eje x en (1, 0). Luego aumenta.$

22)

$Se grafica la función f' (x). La función inicia negativa y cruza el eje x en (−1, 0). Después continúa aumentando a un máximo local en (0, 1), punto en el que disminuye y toca el eje x en (1, 0). Luego aumenta.$

Contestar: Cóncavo hacia arriba para$x<0$ y$x>1$,
Cóncavo abajo para$0<x<1$, Puntos de
$x=0$ inflexión$x=1$

Para los ejercicios 23 - 27, dibujar una gráfica que satisfaga las especificaciones dadas para el dominio$x=[−3,3].$ La función no tiene que ser continua o diferenciable.

23)$f(x)>0,\;f'(x)>0$$x>1,\;−3<x<0,\;f'(x)=0$ sobre$0<x<1$

24)$f'(x)>0$ sobre$x>2,\;−3<x<−1,\;f'(x)<0$ todo$−1<x<2,\;f''(x)<0$ para todos$x$

Contestar: Las respuestas variarán

25)$f''(x)<0$ sobre el máximo$−1<x<1,\;f''(x)>0,\;−3<x<−1,\;1<x<3,$$x=0,$ local en mínimos locales en$x=±2$

26) Hay un máximo local al mínimo$x=2,$ local en$x=1,$ y la gráfica no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo.

Contestar: Las respuestas variarán

27) Hay máximos locales en$x=±1,$ la función es cóncava para todos$x$, y la función sigue siendo positiva para todos$x.$

Para los siguientes ejercicios, determine

a. intervalos donde$f$ es creciente o decreciente y

b. mínimos locales y máximos de$f$.

28)$f(x)=\sin x+\sin^3x$ sobre$−π<x<π$

Contestar

a. Aumentando por encima de$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2},$ la disminución$x<−\frac{π}{2},\; x>\frac{π}{2}$

b. Máximo local en$x=\frac{π}{2}$; mínimo local en$x=−\frac{π}{2}$

29)$f(x)=x^2+\cos x$

Para el ejercicio 30, determinar

a. intervalos donde$f$ es cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo, y

b. los puntos de inflexión de$f$.

30)$f(x)=x^3−4x^2+x+2$

Contestar

a. cóncavo hacia arriba para$x>\frac{4}{3},$ cóncavo hacia abajo para$x<\frac{4}{3}$

b. Punto de inflexión$x=\frac{4}{3}$

Para los ejercicios 31 - 37, determinar

a. intervalos donde$f$ está aumentando o disminuyendo,

b. mínimos y máximos locales de$f$,

c. intervalos donde$f$ es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión de$f.$

31)$f(x)=x^2−6x$

32)$f(x)=x^3−6x^2$

Contestar: a. Aumentando$x<0$ y$x>4,$ disminuyendo sobre$0<x<4$
b. Máximo en$x=0$, mínimo en$x=4$
c. Cóncavo hacia arriba para$x>2$, cóncavo hacia abajo para$x<2$
d. Punto de inflexión en$x=2$

33)$f(x)=x^4−6x^3$

34)$f(x)=x^{11}−6x^{10}$

Contestar: a. Aumentando sobre$x<0$ y$x>\frac{60}{11}$, disminuyendo sobre$0<x<\frac{60}{11}$
b. Máximo en$x=0$, mínimo en$x=\frac{60}{11}$
c. Cóncavo hacia abajo para$x<\frac{54}{11}$, cóncavo hacia arriba para$x>\frac{54}{11}$
d. Punto de inflexión en$x=\frac{54}{11}$

35)$f(x)=x+x^2−x^3$

36)$f(x)=x^2+x+1$

Contestar: a. Aumentando sobre$x>−\frac{1}{2}$, disminuyendo sobre$x<−\frac{1}{2}$
b. Mínimo a$x=−\frac{1}{2}$
c. Cóncavo hacia arriba para todos$x$
d. Sin puntos de inflexión

37)$f(x)=x^3+x^4$

Para los ejercicios 38 - 47, determine

a. intervalos donde$f$ está aumentando o disminuyendo,

b. mínimos y máximos locales de$f,$

c. intervalos donde$f$ es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión de$f.$ Dibuje la curva, luego use una calculadora para comparar su respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta analíticamente, use una calculadora.

38) [T]$f(x)=\sin(πx)−\cos(πx)$ sobre$x=[−1,1]$

Contestar: a. Aumenta sobre las$−\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ disminuciones sobre$x>\frac{3}{4}$ y$x<−\frac{1}{4}$
b. Mínimo en$x=−\frac{1}{4}$, máximo en$x=\frac{3}{4}$
c. Cóncavo hacia arriba para$−\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4}$, cóncavo hacia abajo para$x<−\frac{3}{4}$ y$x>\frac{1}{4}$
d. Puntos de inflexión en$x=−\frac{3}{4},\;x=\frac{1}{4}$

39) [T]$f(x)=x+\sin(2x)$ sobre$x=[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$

40) [T]$f(x)=\sin x+\tan x$ sobre$(−\frac{π}{2},\frac{π}{2})$

Contestar: a. Aumentando para todos$x$
b. No hay mínimo o máximo local
c. Cóncavo hacia arriba para$x>0$, cóncavo hacia abajo para$x<0$
d. Punto de inflexión en$x=0$

41) [T]$f(x)=(x−2)^2(x−4)^2$

42) [T]$f(x)=\dfrac{1}{1−x},\quad x≠1$

Contestar: a. Aumentando para todos$x$ donde esté definido
b. No hay mínimos o máximos locales
c. Cóncavo hacia arriba para$x<1$; cóncavo hacia abajo para$x>1$
d. Sin puntos de inflexión en el dominio

43) [T]$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ sobre$x=[-2π,0)∪(0,2π]$

44)$f(x)=\sin(x)e^x$ sobre$x=[−π,π]$

Contestar: a. Aumentando sobre$−\frac{π}{4}<x<\frac{3π}{4}$, disminuyendo sobre$x>\frac{3π}{4},\;x<−\frac{π}{4}$
b. Mínimo en$x=−\frac{π}{4}$, máximo en$x=\frac{3π}{4}$
c. Cóncavo hacia arriba para$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}$, cóncavo hacia abajo para$x<−\frac{π}{2},\;x>\frac{π}{2}$
d. Puntos de inflexión en$x=±\frac{π}{2}$

45)$f(x)=\ln x\sqrt{x},\quad x>0$

46)$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},\quad x>0$

Contestar: a. Aumentando sobre$x>4,$ disminuir sobre$0<x<4$
b. Mínimo a$x=4$
c. Cóncavo hacia arriba para$0<x<8\sqrt[3]{2}$, cóncavo hacia abajo para$x>8\sqrt[3]{2}$
d. Punto de inflexión en$x=8\sqrt[3]{2}$

47)$f(x)=\dfrac{e^x}{x},\quad x≠0$

En los ejercicios 48 - 52, interprete las oraciones en términos de$f,\;f',$ y$f''.$

48) La población crece más lentamente. Aquí$f$ está la población.

Contestar: $f>0,\;f'>0,\;f''<0$

49) Una bicicleta acelera más rápido, pero un auto va más rápido. Aquí la posición de la$f=$ bici menos la posición de Car.

50) El avión aterriza suavemente. Aquí$f$ está la altitud del avión.

Contestar: $f>0,\;f'<0,\;f''>0$

51) Los precios de las acciones están en su punto máximo. Aquí$f$ está el precio de las acciones.

52) La economía está cobrando velocidad. Aquí$f$ hay una medida de la economía, como el PIB.

Contestar: $f>0,\;f'>0,\;f''>0$

Para los ejercicios 53 - 57, considere un polinomio de tercer grado$f(x),$ que tenga las propiedades$f'(1)=0$ y$f'(3)=0$.

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

53)$f(x)=0$ para algunos$1≤x≤3$.

54)$f''(x)=0$ para algunos$1≤x≤3$.

Contestar: Cierto, por el Teorema del Valor Medio

55) No hay un máximo absoluto en$x=3$.

56) Si$f(x)$ tiene tres raíces, entonces tiene punto de$1$ inflexión.

Contestar: Cierto, examinar derivado

57) Si$f(x)$ tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales.