5.2E: Ejercicios para la Sección 5.2

En los ejercicios 1 - 4, expresar los límites como integrales.

1)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(x^∗_i)Δx\) sobre\([1,3]\)

2)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(5(x^∗_i)^2−3(x^∗_i)^3)Δx\) sobre\([0,2]\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^2_0(5x^2−3x^3)\,dx\)

3)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\sin^2(2πx^∗_i)Δx\) sobre\([0,1]\)

4)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\cos^2(2πx^∗_i)Δx\) sobre\([0,1]\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^1_0\cos^2(2πx)\,dx\)

En los ejercicios 5 - 10, dados\(L_n\) o\(R_n\) como se indica, expresan sus límites\(n→∞\) como integrales definidas, identificando los intervalos correctos.

5)\(\displaystyle L_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i−1}{n}\)

6)\(\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^1_0x\,dx\)

7)\(\displaystyle Ln=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n(1+2\frac{i−1}{n})\)

8)\(\displaystyle R_n=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n(3+3\frac{i}{n})\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^6_3x\,dx\)

9)\(\displaystyle L_n=\frac{2π}{n}\sum_{i=1}^n2π\frac{i−1}{n}\cos(2π\frac{i−1}{n})\)

10\(\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1+\frac{i}{n})\log((1+\frac{i}{n})^2)\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^2_1x\log(x^2)\,dx\)

En los ejercicios 11 - 16, evaluar las integrales de las funciones gráficas utilizando las fórmulas para áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas por debajo del\(x\) eje.

11)

12)

Contestar

\( 1+2⋅2+3⋅3=14\)

13)

14)

Contestar

\(1−4+9=6\)

15)

16)

Contestar

\(1−2π+9=10−2π\)

En los ejercicios 17 - 24, evaluar la integral usando fórmulas de área.

17)\(\displaystyle ∫^3_0(3−x)\,dx\)

18)\(\displaystyle ∫^3_2(3−x)\,dx\)

Contestar

La integral es el área del triángulo,\(\frac{1}{2}.\)

19)\(\displaystyle ∫^3_{−3}(3−|x|)\,dx\)

20)\(\displaystyle ∫^6_0(3−|x−3|)\,dx\)

Contestar

La integral es el área del triángulo,\(9.\)

21)\(\displaystyle ∫^2_{−2}\sqrt{4−x^2}\,dx\)

22)\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{4−(x−3)^2}\,dx\)

Contestar

La integral es el área\(\frac{1}{2}πr^2=2π.\)

23)\(\displaystyle ∫^{12}_0\sqrt{36−(x−6)^2}\,dx\)

24)\(\displaystyle ∫^3_{−2}(3−|x|)\,dx\)

Contestar

La integral es el área del triángulo “grande” menos el triángulo “faltante”,\(9−\frac{1}{2}.\)

En los ejercicios 25 - 28, utilice promedios de valores en los extremos izquierdo (L) y derecho (R) para calcular las integrales de las funciones lineales por tramos con gráficas que pasen por la lista de puntos dada a lo largo de los intervalos indicados.

25)\( {(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}\) sobre\( [0,8]\)

26)\({(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}\) sobre\([0,8]\)

Contestar

\( L=2+0+10+5+4=21,\; R=0+10+10+2+0=22,\; \dfrac{L+R}{2}=21.5\)

27)\( {(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}\) sobre\( [−4,4]\)

28)\( {(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}\) sobre\( [−4,4]\)

Contestar

\( L=0+4+0+4+2=10,\;R=4+0+2+4+0=10,\;\dfrac{L+R}{2}=10\)

Supongamos que\(\displaystyle ∫^4_0f(x)\,dx=5\) y\(\displaystyle ∫^2_0f(x)\,dx=−3\), y\(\displaystyle ∫^4_0g(x)\,dx=−1\) y\(\displaystyle ∫^2_0g(x)\,dx=2\). En los ejercicios 29 - 34, computar las integrales.

29)\(\displaystyle ∫^4_0(f(x)+g(x))\,dx\)

30)\(\displaystyle ∫^4_2(f(x)+g(x))\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx+∫^4_2g(x)\,dx=8−3=5\)

31)\(\displaystyle ∫^2_0(f(x)−g(x))\,dx\)

32)\(\displaystyle ∫^4_2(f(x)−g(x))\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx−∫^4_2g(x)\,dx=8+3=11\)

33)\(\displaystyle ∫^2_0(3f(x)−4g(x))\,dx\)

34)\(\displaystyle ∫^4_2(4f(x)−3g(x))\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle 4∫^4_2f(x)\,dx−3∫^4_2g(x)\,dx=32+9=41\)

En los ejercicios 35 - 38, usa la identidad\(\displaystyle ∫^A_{−A}f(x)\,dx=∫^0_{−A}f(x)\,dx+∫^A_0f(x)\,dx\) para computar las integrales.

35)\(\displaystyle ∫^π_{−π}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\) (Pista:\(\displaystyle \sin(−t)=−\sin(t))\)

36)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{π}}_\sqrt{−π}\frac{t}{1+\cos t}dt\)

Contestar

El integrando es impar; la integral es cero.

37)\(\displaystyle ∫^3_1(2−x)\,dx\) (Pista: Mira la gráfica de\(f\).)

38)\(\displaystyle ∫^4_2(x−3)^3\,dx\) (Pista: Mira la gráfica de\(f\).)

Contestar

El integrando es antisimétrico con respecto a\(x=3.\) La integral es cero.

En los ejercicios 39 - 44, dado que\(\displaystyle ∫^1_0x\,dx=\frac{1}{2},\;∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3},\) y\(\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}\), computar las integrales.

39)\(\displaystyle ∫^1_0(1+x+x^2+x^3)\,dx\)

40)\(\displaystyle ∫^1_0(1−x+x^2−x^3)\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle 1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)

41)\(\displaystyle ∫^1_0(1−x)^2\,dx\)

42)\(\displaystyle ∫^1_0(1−2x)^3\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^1_0(1−6x+12x^2−8x^3)\,dx=1−6\left( \frac{1}{2} \right)+12\left(\frac{1}{3}\right)−8\left(\frac{1}{4}\right)=1-3+4-2=0\)

43)\(\displaystyle ∫^1_0\left(6x−\tfrac{4}{3}x^2\right)\,dx\)

44)\(\displaystyle ∫^1_0(7−5x^3)\,dx\)

Contestar

\(7−\frac{5}{4}=\frac{23}{4}\)

En los ejercicios 45 - 50, utilice el teorema de comparación.

45) Demostrar que\(\displaystyle ∫^3_0(x^2−6x+9)\,dx≥0.\)

46) Demostrar que\(\displaystyle ∫^3_{−2}(x−3)(x+2)\,dx≤0.\)

Contestar

El integrando es negativo sobre\([−2,3].\)

47) Demuéstralo\(\displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^3}\,dx≤∫^1_0\sqrt{1+x^2}\,dx\).

48) Demostrar que\(\displaystyle ∫^2_1\sqrt{1+x}\,dx≤∫^2_1\sqrt{1+x^2}\,dx.\)

Contestar

\(x≤x^2\)sobre\([1,2]\), así que\(\sqrt{1+x}≤\sqrt{1+x^2}\) más\([1,2].\)

49) Mostrar eso\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin tdt≥\frac{π}{4}\) (Pista:\(\sin t≥\frac{2t}{π}\) terminado\( [0,\frac{π}{2}])\)

50) Demuéstralo\(\displaystyle ∫^{π/4}_{−π/4}\cos t\,dt≥π\sqrt{2}/4\).

Contestar

\(\cos(t)≥\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad.

En los ejercicios 51 - 56, encuentra el valor promedio\(f_{ave}\) de\(f\) entre\(a\) y\(b\), y encuentra un punto\(c\), donde\(f(c)=f_{ave}\)

51)\( f(x)=x^2,\; a=−1,\; b=1\)

52)\( f(x)=x^5,\; a=−1,\; b=1\)

Contestar

\(f_{ave}=0;\; c=0\)

53)\( f(x)=\sqrt{4−x^2},\; a=0,\; b=2\)

54)\(f(x)=3−|x|,\; a=−3,\; b=3\)

Contestar

\(\frac{3}{2}\)cuando\(c=±\frac{3}{2}\)

55)\(f(x)=\sin x,\; a=0,\; b=2π\)

56)\( f(x)=\cos x,\; a=0,\; b=2π\)

Contestar

\(f_{ave}=0;\; c=\dfrac{π}{2},\; \dfrac{3π}{2}\)

En los ejercicios 57 - 60, aproximar el valor promedio utilizando sumas de Riemann\(L_{100}\) y\(R_{100}\). ¿Cómo se compara tu respuesta con la respuesta exacta dada?

57) [T]\(y=\ln(x)\) en el intervalo\( [1,4]\); la solución exacta es\(\dfrac{\ln(256)}{3}−1.\)

58) [T]\(y=e^{x/2}\) en el intervalo\([0,1]\); la solución exacta es\( 2(\sqrt{e}−1).\)

Contestar

\(L_{100}=1.294,\; R_{100}=1.301;\)el promedio exacto se encuentra entre estos valores.

59) [T]\(y=\tan x\) en el intervalo\([0,\frac{π}{4}]\); la solución exacta es\(\dfrac{2\ln(2)}{π}\).

60) [T]\(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{4−x^2}}\) en el intervalo\([−1,1]\); la solución exacta es\(\dfrac{π}{6}\).

Contestar

\(L_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5178,\; R_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5294\)

En los ejercicios 61 - 64, calcule el valor promedio usando las sumas de Riemann izquierdas\(L_N\) para\(N=1,10,100\). ¿Cómo se compara la precisión con el valor exacto dado?

61) [T]\(y=x^2−4\) en el intervalo\([0,2]\); la solución exacta es\(−\frac{8}{3}\).

62) [T]\(y=xe^{x^2}\) en el intervalo\([0,2]\); la solución exacta es\(\frac{1}{4}(e^4−1).\)

Contestar

\(L_1=0,\; L_{10}×(\frac{1}{2})=8.743493,\; L_{100}×(\frac{1}{2})=12.861728.\)La respuesta exacta\(≈26.799,\) así no\(L_{100}\) es exacta.

63) [T]\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) en el intervalo\([0,4]\); la solución exacta es\(\dfrac{15}{64\ln(2)}\).

64) [T]\( y=x\sin(x^2)\) en el intervalo\( [−π,0]\); la solución exacta es\( \dfrac{\cos(π^2)−1}{2π.}\)

Contestar

\(L_1×(\frac{1}{π})=1.352,L_{10}×(\frac{1}{π})=−0.1837,L_{100}×(1π)=−0.2956.\)La respuesta exacta\(≈−0.303,\) así no\(L_{100}\) es exacta al primer decimal.

65) Supongamos que\(\displaystyle A=∫^{2π}_0\sin^2t\,dt\) y\(\displaystyle B=∫^{2π}_0\cos^2t\,dt.\) Demostrar eso\(A+B=2π\) y\(A=B.\)

66) Supongamos eso\(\displaystyle A=∫^{π/4}_{−π/4}\sec^2 t\,dt=π\) y\(\displaystyle B=∫^{π/4}_{−π/}4\tan^2 t\,dt.\) Demuéstralo\(A−B=\dfrac{π}{2}\).

Contestar

Utilice\(\tan^2 θ+1=\sec^2 θ.\) Entonces,\(\displaystyle B−A=∫^{π/4}_{−π/4}1\,dx=\frac{π}{2}.\)

67) Mostrar que el valor promedio de\(\sin^2 t\) over\([0,2π]\) es igual a\(1/2.\) Sin más cálculos, determinar si el valor promedio de\(\sin^2 t\) over también\([0,π]\) es igual a\(1/2.\)

68) Mostrar que el valor promedio de\(\cos^2 t\) over\([0,2π]\) es igual a\(1/2.\) Sin más cálculos, determinar si el valor promedio de\(\cos^2(t)\) over también\([0,π]\) es igual a\(1/2.\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos^2t\,dt=π,\)así que divida por la longitud\(2π\) del intervalo. \(\cos^2t\)tiene periodo\(π\), entonces sí, es cierto.

69) Explicar por qué las gráficas de una función cuadrática (parábola)\(p(x)\) y una función lineal\(ℓ(x)\) pueden cruzarse en como máximo dos puntos. Supongamos que\(p(a)=ℓ(a)\) y\(p(b)=ℓ(b)\), y eso\(\displaystyle ∫^b_ap(t)\,dt>∫^b_aℓ(t)dt\). Explica por qué\(\displaystyle ∫^d_cp(t)>∫^d_cℓ(t)\,dt\) cada vez\( a≤c<d≤b.\)

70) Supongamos que la parábola\(p(x)=ax^2+bx+c\) se abre hacia abajo\((a<0)\) y tiene un vértice de\(y=\dfrac{−b}{2a}>0\). ¿Para qué intervalo\([A,B]\) es\(\displaystyle ∫^B_A(ax^2+bx+c)\,dx\) lo más grande posible?

Contestar

La integral se maximiza cuando se utiliza el intervalo más grande en el que no\(p\) es negativo. Así,\(A=\frac{−b−\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) y\(B=\frac{−b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}.\)

71) Supongamos que se\([a,b]\) puede subdividir en subintervalos\(a=a_0<a_1<a_2<⋯<a_N=b\) tales que ya sea\(f≥0\) por encima\([a_{i−1},a_i]\) o\(f≤0\) por encima\([a_{i−1},a_i]\). Set\(\displaystyle A_i=∫^{a_i}_{a_{i−1}}f(t)\,dt.\)

a. Explique por qué\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=A_1+A_2+⋯+A_N.\)

b. Entonces, explique por qué\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt≤∫^b_a|f(t)|\,dt.\)

72) Supongamos\(f\) y\(g\) son funciones continuas tales que\(\displaystyle ∫^d_cf(t)\,dt≤∫^d_cg(t)\,dt\) por cada subintervalo\([c,d]\) de\([a,b]\). Explicar por qué\( f(x)≤g(x)\) para todos los valores de\(x.\)

Contestar

Si\(f(t_0)>g(t_0)\) para algunos\(t_0∈[a,b]\), entonces ya que\(f−g\) es continuo, hay un intervalo que contiene\(t_0\) tal que\( f(t)>g(t)\) sobre el intervalo\([c,d]\), y luego\(\displaystyle ∫^d_df(t)\,dt>∫^d_cg(t)\,dt\) sobre este intervalo.

73) Supongamos que el valor promedio de\(f\) over\([a,b]\) es\(1\) y el valor promedio de\(f\) over\([b,c]\) es\(1\) donde\(a<c<b\). Demostrar que el valor promedio de\(f\) over\([a,c]\) es también\(1.\)

74) Supongamos que se\([a,b]\) puede particionar. tomando de\(a=a_0<a_1<⋯<a_N=b\) tal manera que el valor promedio de\(f\) sobre cada subintervalo\([a_{i−1},a_i]=1\) sea igual a 1 para cada uno\( i=1,…,N\). Explique por qué el valor promedio de f over también\( [a,b]\) es igual a\(1.\)

Contestar

La integral de f en un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Por lo tanto,\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}f(t)\,dt+∫^{a_2}_a{1_f}(t)\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}f(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}1\,dt+∫^{a_2}_{a_1}1\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}1\,dt\)
\( =(a_1−a_0)+(a_2−a_1)+⋯+(a_N−a_{N−1})=a_N−a_0=b−a\).
Dividir por\(b−a\) da la identidad deseada.

75) Supongamos que para cada uno de\(i\) tales que\( 1≤i≤N\) uno tiene\(\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i\). Demostrar que\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)}{2}.\)

76) Supongamos que para cada\(i\) tal que\(1≤i≤N\) uno tiene\(\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i^2\). Demostrar eso\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\).

Contestar

\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\sum_{i=1}^N∫^i_{i−1}f(t)\,dt=\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\)

77) [T] Calcular las sumas de Riemann izquierda\(\displaystyle L_{10}\) y derecha\(R_{10}\) y su promedio\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) para\( f(t)=t^2\) más\( [0,1]\). Dado eso\(\displaystyle ∫^1_0t^2\,dt=1/3\), ¿a cuántos decimales es\( \dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) preciso?

78) [T] Calcular las sumas de Riemann izquierda y derecha,\(L_10\) y\(R_{10}\), y su promedio\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) para\( f(t)=(4−t^2)\) más\([1,2]\). Dado eso\(\displaystyle ∫^2_1(4−t^2)\,dt=1.66\), ¿a cuántos decimales es\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) preciso?

Contestar

\( L_{10}=1.815,\;R_{10}=1.515,\;\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665,\)por lo que la estimación es exacta a dos decimales.

79) Si\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+t^4}\,dt=41.7133...,\) lo que es\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+u^4}\,du?\)

80) Estimar\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt\) usando las sumas de punto final izquierda y derecha, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de punto final izquierdo y derecho con el valor real?\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt?\)

Contestar

El promedio es el\(1/2,\) que es igual a la integral en este caso.

81) Estimar\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt\) por comparación con el área de un solo rectángulo con altura igual al valor de\(t\) en el punto medio\(t=\dfrac{1}{2}\). ¿Cómo se compara esta estimación de punto medio con el valor real?\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt?\)

82) De la gráfica que\(\sin(2πx)\) se muestra:

a. Explique por qué\(\displaystyle ∫^1_0\sin(2πt)\,dt=0.\)

b. Explicar por qué, en general,\(\displaystyle ∫^{a+1}_a\sin(2πt)\,dt=0\) para cualquier valor de\(a\).

Contestar

a. La gráfica es antisimétrica con respecto a\(t=\frac{1}{2}\) sobre\([0,1]\), por lo que el valor promedio es cero.
b. para cualquier valor de\(a\), la gráfica entre\([a,a+1]\) es un desplazamiento de la gráfica sobre\([0,1]\), por lo que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambian y el promedio sigue siendo cero.

83) Si f es 1-periódico\((f(t+1)=f(t))\), impar e integrable sobre\([0,1]\), es siempre cierto que\(\displaystyle ∫^1_0f(t)\,dt=0?\)

84) Si f es 1-periódico y\(\displaystyle ∫10f(t)\,dt=A,\) es necesariamente cierto que\(\displaystyle ∫^{1+a}_af(t)\,dt=A\) para todos\(A\)?

Contestar

Sí, la integral en cualquier intervalo de longitud 1 es la misma.