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# 5.2E: Ejercicios para la Sección 5.2

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En los ejercicios 1 - 4, expresar los límites como integrales.

1)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(x^∗_i)Δx$$ sobre$$[1,3]$$

2)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(5(x^∗_i)^2−3(x^∗_i)^3)Δx$$ sobre$$[0,2]$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^2_0(5x^2−3x^3)\,dx$$

3)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\sin^2(2πx^∗_i)Δx$$ sobre$$[0,1]$$

4)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\cos^2(2πx^∗_i)Δx$$ sobre$$[0,1]$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_0\cos^2(2πx)\,dx$$

En los ejercicios 5 - 10, dados$$L_n$$ o$$R_n$$ como se indica, expresan sus límites$$n→∞$$ como integrales definidas, identificando los intervalos correctos.

5)$$\displaystyle L_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i−1}{n}$$

6)$$\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_0x\,dx$$

7)$$\displaystyle Ln=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n(1+2\frac{i−1}{n})$$

8)$$\displaystyle R_n=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n(3+3\frac{i}{n})$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^6_3x\,dx$$

9)$$\displaystyle L_n=\frac{2π}{n}\sum_{i=1}^n2π\frac{i−1}{n}\cos(2π\frac{i−1}{n})$$

10$$\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1+\frac{i}{n})\log((1+\frac{i}{n})^2)$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^2_1x\log(x^2)\,dx$$

En los ejercicios 11 - 16, evaluar las integrales de las funciones gráficas utilizando las fórmulas para áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas por debajo del$$x$$ eje.

11)

12)

Contestar
$$1+2⋅2+3⋅3=14$$

13)

14)

Contestar
$$1−4+9=6$$

15)

16)

Contestar
$$1−2π+9=10−2π$$

En los ejercicios 17 - 24, evaluar la integral usando fórmulas de área.

17)$$\displaystyle ∫^3_0(3−x)\,dx$$

18)$$\displaystyle ∫^3_2(3−x)\,dx$$

Contestar
La integral es el área del triángulo,$$\frac{1}{2}.$$

19)$$\displaystyle ∫^3_{−3}(3−|x|)\,dx$$

20)$$\displaystyle ∫^6_0(3−|x−3|)\,dx$$

Contestar
La integral es el área del triángulo,$$9.$$

21)$$\displaystyle ∫^2_{−2}\sqrt{4−x^2}\,dx$$

22)$$\displaystyle ∫^5_1\sqrt{4−(x−3)^2}\,dx$$

Contestar
La integral es el área$$\frac{1}{2}πr^2=2π.$$

23)$$\displaystyle ∫^{12}_0\sqrt{36−(x−6)^2}\,dx$$

24)$$\displaystyle ∫^3_{−2}(3−|x|)\,dx$$

Contestar
La integral es el área del triángulo “grande” menos el triángulo “faltante”,$$9−\frac{1}{2}.$$

En los ejercicios 25 - 28, utilice promedios de valores en los extremos izquierdo (L) y derecho (R) para calcular las integrales de las funciones lineales por tramos con gráficas que pasen por la lista de puntos dada a lo largo de los intervalos indicados.

25)$${(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}$$ sobre$$[0,8]$$

26)$${(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}$$ sobre$$[0,8]$$

Contestar
$$L=2+0+10+5+4=21,\; R=0+10+10+2+0=22,\; \dfrac{L+R}{2}=21.5$$

27)$${(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}$$ sobre$$[−4,4]$$

28)$${(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}$$ sobre$$[−4,4]$$

Contestar
$$L=0+4+0+4+2=10,\;R=4+0+2+4+0=10,\;\dfrac{L+R}{2}=10$$

Supongamos que$$\displaystyle ∫^4_0f(x)\,dx=5$$ y$$\displaystyle ∫^2_0f(x)\,dx=−3$$, y$$\displaystyle ∫^4_0g(x)\,dx=−1$$ y$$\displaystyle ∫^2_0g(x)\,dx=2$$. En los ejercicios 29 - 34, computar las integrales.

29)$$\displaystyle ∫^4_0(f(x)+g(x))\,dx$$

30)$$\displaystyle ∫^4_2(f(x)+g(x))\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx+∫^4_2g(x)\,dx=8−3=5$$

31)$$\displaystyle ∫^2_0(f(x)−g(x))\,dx$$

32)$$\displaystyle ∫^4_2(f(x)−g(x))\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx−∫^4_2g(x)\,dx=8+3=11$$

33)$$\displaystyle ∫^2_0(3f(x)−4g(x))\,dx$$

34)$$\displaystyle ∫^4_2(4f(x)−3g(x))\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle 4∫^4_2f(x)\,dx−3∫^4_2g(x)\,dx=32+9=41$$

En los ejercicios 35 - 38, usa la identidad$$\displaystyle ∫^A_{−A}f(x)\,dx=∫^0_{−A}f(x)\,dx+∫^A_0f(x)\,dx$$ para computar las integrales.

35)$$\displaystyle ∫^π_{−π}\frac{\sin t}{1+t^2}dt$$ (Pista:$$\displaystyle \sin(−t)=−\sin(t))$$

36)$$\displaystyle ∫^{\sqrt{π}}_\sqrt{−π}\frac{t}{1+\cos t}dt$$

Contestar
El integrando es impar; la integral es cero.

37)$$\displaystyle ∫^3_1(2−x)\,dx$$ (Pista: Mira la gráfica de$$f$$.)

38)$$\displaystyle ∫^4_2(x−3)^3\,dx$$ (Pista: Mira la gráfica de$$f$$.)

Contestar
El integrando es antisimétrico con respecto a$$x=3.$$ La integral es cero.

En los ejercicios 39 - 44, dado que$$\displaystyle ∫^1_0x\,dx=\frac{1}{2},\;∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3},$$ y$$\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}$$, computar las integrales.

39)$$\displaystyle ∫^1_0(1+x+x^2+x^3)\,dx$$

40)$$\displaystyle ∫^1_0(1−x+x^2−x^3)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle 1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$$

41)$$\displaystyle ∫^1_0(1−x)^2\,dx$$

42)$$\displaystyle ∫^1_0(1−2x)^3\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^1_0(1−6x+12x^2−8x^3)\,dx=1−6\left( \frac{1}{2} \right)+12\left(\frac{1}{3}\right)−8\left(\frac{1}{4}\right)=1-3+4-2=0$$

43)$$\displaystyle ∫^1_0\left(6x−\tfrac{4}{3}x^2\right)\,dx$$

44)$$\displaystyle ∫^1_0(7−5x^3)\,dx$$

Contestar
$$7−\frac{5}{4}=\frac{23}{4}$$

En los ejercicios 45 - 50, utilice el teorema de comparación.

45) Demostrar que$$\displaystyle ∫^3_0(x^2−6x+9)\,dx≥0.$$

46) Demostrar que$$\displaystyle ∫^3_{−2}(x−3)(x+2)\,dx≤0.$$

Contestar
El integrando es negativo sobre$$[−2,3].$$

47) Demuéstralo$$\displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^3}\,dx≤∫^1_0\sqrt{1+x^2}\,dx$$.

48) Demostrar que$$\displaystyle ∫^2_1\sqrt{1+x}\,dx≤∫^2_1\sqrt{1+x^2}\,dx.$$

Contestar
$$x≤x^2$$sobre$$[1,2]$$, así que$$\sqrt{1+x}≤\sqrt{1+x^2}$$ más$$[1,2].$$

49) Mostrar eso$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin tdt≥\frac{π}{4}$$ (Pista:$$\sin t≥\frac{2t}{π}$$ terminado$$[0,\frac{π}{2}])$$

50) Demuéstralo$$\displaystyle ∫^{π/4}_{−π/4}\cos t\,dt≥π\sqrt{2}/4$$.

Contestar
$$\cos(t)≥\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$. Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad.

En los ejercicios 51 - 56, encuentra el valor promedio$$f_{ave}$$ de$$f$$ entre$$a$$ y$$b$$, y encuentra un punto$$c$$, donde$$f(c)=f_{ave}$$

51)$$f(x)=x^2,\; a=−1,\; b=1$$

52)$$f(x)=x^5,\; a=−1,\; b=1$$

Contestar
$$f_{ave}=0;\; c=0$$

53)$$f(x)=\sqrt{4−x^2},\; a=0,\; b=2$$

54)$$f(x)=3−|x|,\; a=−3,\; b=3$$

Contestar
$$\frac{3}{2}$$cuando$$c=±\frac{3}{2}$$

55)$$f(x)=\sin x,\; a=0,\; b=2π$$

56)$$f(x)=\cos x,\; a=0,\; b=2π$$

Contestar
$$f_{ave}=0;\; c=\dfrac{π}{2},\; \dfrac{3π}{2}$$

En los ejercicios 57 - 60, aproximar el valor promedio utilizando sumas de Riemann$$L_{100}$$ y$$R_{100}$$. ¿Cómo se compara tu respuesta con la respuesta exacta dada?

57) [T]$$y=\ln(x)$$ en el intervalo$$[1,4]$$; la solución exacta es$$\dfrac{\ln(256)}{3}−1.$$

58) [T]$$y=e^{x/2}$$ en el intervalo$$[0,1]$$; la solución exacta es$$2(\sqrt{e}−1).$$

Contestar
$$L_{100}=1.294,\; R_{100}=1.301;$$el promedio exacto se encuentra entre estos valores.

59) [T]$$y=\tan x$$ en el intervalo$$[0,\frac{π}{4}]$$; la solución exacta es$$\dfrac{2\ln(2)}{π}$$.

60) [T]$$y=\dfrac{x+1}{\sqrt{4−x^2}}$$ en el intervalo$$[−1,1]$$; la solución exacta es$$\dfrac{π}{6}$$.

Contestar
$$L_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5178,\; R_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5294$$

En los ejercicios 61 - 64, calcule el valor promedio usando las sumas de Riemann izquierdas$$L_N$$ para$$N=1,10,100$$. ¿Cómo se compara la precisión con el valor exacto dado?

61) [T]$$y=x^2−4$$ en el intervalo$$[0,2]$$; la solución exacta es$$−\frac{8}{3}$$.

62) [T]$$y=xe^{x^2}$$ en el intervalo$$[0,2]$$; la solución exacta es$$\frac{1}{4}(e^4−1).$$

Contestar
$$L_1=0,\; L_{10}×(\frac{1}{2})=8.743493,\; L_{100}×(\frac{1}{2})=12.861728.$$La respuesta exacta$$≈26.799,$$ así no$$L_{100}$$ es exacta.

63) [T]$$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$$ en el intervalo$$[0,4]$$; la solución exacta es$$\dfrac{15}{64\ln(2)}$$.

64) [T]$$y=x\sin(x^2)$$ en el intervalo$$[−π,0]$$; la solución exacta es$$\dfrac{\cos(π^2)−1}{2π.}$$

Contestar
$$L_1×(\frac{1}{π})=1.352,L_{10}×(\frac{1}{π})=−0.1837,L_{100}×(1π)=−0.2956.$$La respuesta exacta$$≈−0.303,$$ así no$$L_{100}$$ es exacta al primer decimal.

65) Supongamos que$$\displaystyle A=∫^{2π}_0\sin^2t\,dt$$ y$$\displaystyle B=∫^{2π}_0\cos^2t\,dt.$$ Demostrar eso$$A+B=2π$$ y$$A=B.$$

66) Supongamos eso$$\displaystyle A=∫^{π/4}_{−π/4}\sec^2 t\,dt=π$$ y$$\displaystyle B=∫^{π/4}_{−π/}4\tan^2 t\,dt.$$ Demuéstralo$$A−B=\dfrac{π}{2}$$.

Contestar
Utilice$$\tan^2 θ+1=\sec^2 θ.$$ Entonces,$$\displaystyle B−A=∫^{π/4}_{−π/4}1\,dx=\frac{π}{2}.$$

67) Mostrar que el valor promedio de$$\sin^2 t$$ over$$[0,2π]$$ es igual a$$1/2.$$ Sin más cálculos, determinar si el valor promedio de$$\sin^2 t$$ over también$$[0,π]$$ es igual a$$1/2.$$

68) Mostrar que el valor promedio de$$\cos^2 t$$ over$$[0,2π]$$ es igual a$$1/2.$$ Sin más cálculos, determinar si el valor promedio de$$\cos^2(t)$$ over también$$[0,π]$$ es igual a$$1/2.$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{2π}_0\cos^2t\,dt=π,$$así que divida por la longitud$$2π$$ del intervalo. $$\cos^2t$$tiene periodo$$π$$, entonces sí, es cierto.

69) Explicar por qué las gráficas de una función cuadrática (parábola)$$p(x)$$ y una función lineal$$ℓ(x)$$ pueden cruzarse en como máximo dos puntos. Supongamos que$$p(a)=ℓ(a)$$ y$$p(b)=ℓ(b)$$, y eso$$\displaystyle ∫^b_ap(t)\,dt>∫^b_aℓ(t)dt$$. Explica por qué$$\displaystyle ∫^d_cp(t)>∫^d_cℓ(t)\,dt$$ cada vez$$a≤c<d≤b.$$

70) Supongamos que la parábola$$p(x)=ax^2+bx+c$$ se abre hacia abajo$$(a<0)$$ y tiene un vértice de$$y=\dfrac{−b}{2a}>0$$. ¿Para qué intervalo$$[A,B]$$ es$$\displaystyle ∫^B_A(ax^2+bx+c)\,dx$$ lo más grande posible?

Contestar
La integral se maximiza cuando se utiliza el intervalo más grande en el que no$$p$$ es negativo. Así,$$A=\frac{−b−\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$$ y$$B=\frac{−b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}.$$

71) Supongamos que se$$[a,b]$$ puede subdividir en subintervalos$$a=a_0<a_1<a_2<⋯<a_N=b$$ tales que ya sea$$f≥0$$ por encima$$[a_{i−1},a_i]$$ o$$f≤0$$ por encima$$[a_{i−1},a_i]$$. Set$$\displaystyle A_i=∫^{a_i}_{a_{i−1}}f(t)\,dt.$$

a. Explique por qué$$\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=A_1+A_2+⋯+A_N.$$

b. Entonces, explique por qué$$\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt≤∫^b_a|f(t)|\,dt.$$

72) Supongamos$$f$$ y$$g$$ son funciones continuas tales que$$\displaystyle ∫^d_cf(t)\,dt≤∫^d_cg(t)\,dt$$ por cada subintervalo$$[c,d]$$ de$$[a,b]$$. Explicar por qué$$f(x)≤g(x)$$ para todos los valores de$$x.$$

Contestar
Si$$f(t_0)>g(t_0)$$ para algunos$$t_0∈[a,b]$$, entonces ya que$$f−g$$ es continuo, hay un intervalo que contiene$$t_0$$ tal que$$f(t)>g(t)$$ sobre el intervalo$$[c,d]$$, y luego$$\displaystyle ∫^d_df(t)\,dt>∫^d_cg(t)\,dt$$ sobre este intervalo.

73) Supongamos que el valor promedio de$$f$$ over$$[a,b]$$ es$$1$$ y el valor promedio de$$f$$ over$$[b,c]$$ es$$1$$ donde$$a<c<b$$. Demostrar que el valor promedio de$$f$$ over$$[a,c]$$ es también$$1.$$

74) Supongamos que se$$[a,b]$$ puede particionar. tomando de$$a=a_0<a_1<⋯<a_N=b$$ tal manera que el valor promedio de$$f$$ sobre cada subintervalo$$[a_{i−1},a_i]=1$$ sea igual a 1 para cada uno$$i=1,…,N$$. Explique por qué el valor promedio de f over también$$[a,b]$$ es igual a$$1.$$

Contestar
La integral de f en un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Por lo tanto,$$\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}f(t)\,dt+∫^{a_2}_a{1_f}(t)\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}f(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}1\,dt+∫^{a_2}_{a_1}1\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}1\,dt$$
$$=(a_1−a_0)+(a_2−a_1)+⋯+(a_N−a_{N−1})=a_N−a_0=b−a$$.
Dividir por$$b−a$$ da la identidad deseada.

75) Supongamos que para cada uno de$$i$$ tales que$$1≤i≤N$$ uno tiene$$\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i$$. Demostrar que$$\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)}{2}.$$

76) Supongamos que para cada$$i$$ tal que$$1≤i≤N$$ uno tiene$$\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i^2$$. Demostrar eso$$\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$$.

Contestar
$$\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\sum_{i=1}^N∫^i_{i−1}f(t)\,dt=\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$$

77) [T] Calcular las sumas de Riemann izquierda$$\displaystyle L_{10}$$ y derecha$$R_{10}$$ y su promedio$$\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}$$ para$$f(t)=t^2$$ más$$[0,1]$$. Dado eso$$\displaystyle ∫^1_0t^2\,dt=1/3$$, ¿a cuántos decimales es$$\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}$$ preciso?

78) [T] Calcular las sumas de Riemann izquierda y derecha,$$L_10$$ y$$R_{10}$$, y su promedio$$\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}$$ para$$f(t)=(4−t^2)$$ más$$[1,2]$$. Dado eso$$\displaystyle ∫^2_1(4−t^2)\,dt=1.66$$, ¿a cuántos decimales es$$\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}$$ preciso?

Contestar
$$L_{10}=1.815,\;R_{10}=1.515,\;\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665,$$por lo que la estimación es exacta a dos decimales.

79) Si$$\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+t^4}\,dt=41.7133...,$$ lo que es$$\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+u^4}\,du?$$

80) Estimar$$\displaystyle ∫^1_0t\,dt$$ usando las sumas de punto final izquierda y derecha, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de punto final izquierdo y derecho con el valor real?$$\displaystyle ∫^1_0t\,dt?$$

Contestar
El promedio es el$$1/2,$$ que es igual a la integral en este caso.

81) Estimar$$\displaystyle ∫^1_0t\,dt$$ por comparación con el área de un solo rectángulo con altura igual al valor de$$t$$ en el punto medio$$t=\dfrac{1}{2}$$. ¿Cómo se compara esta estimación de punto medio con el valor real?$$\displaystyle ∫^1_0t\,dt?$$

82) De la gráfica que$$\sin(2πx)$$ se muestra:

a. Explique por qué$$\displaystyle ∫^1_0\sin(2πt)\,dt=0.$$

b. Explicar por qué, en general,$$\displaystyle ∫^{a+1}_a\sin(2πt)\,dt=0$$ para cualquier valor de$$a$$.

Contestar

a. La gráfica es antisimétrica con respecto a$$t=\frac{1}{2}$$ sobre$$[0,1]$$, por lo que el valor promedio es cero.
b. para cualquier valor de$$a$$, la gráfica entre$$[a,a+1]$$ es un desplazamiento de la gráfica sobre$$[0,1]$$, por lo que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambian y el promedio sigue siendo cero.

83) Si f es 1-periódico$$(f(t+1)=f(t))$$, impar e integrable sobre$$[0,1]$$, es siempre cierto que$$\displaystyle ∫^1_0f(t)\,dt=0?$$

84) Si f es 1-periódico y$$\displaystyle ∫10f(t)\,dt=A,$$ es necesariamente cierto que$$\displaystyle ∫^{1+a}_af(t)\,dt=A$$ para todos$$A$$?

Contestar
Sí, la integral en cualquier intervalo de longitud 1 es la misma.

5.2E: Ejercicios para la Sección 5.2 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.