5.3: El teorema fundamental del cálculo

Objetivos de aprendizaje

• Describir el significado del Teorema del Valor Medio para Integrales.
• Indicar el significado del Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1.
• Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1, para evaluar derivados de integrales.
• Indicar el significado del Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2.
• Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2, para evaluar integrales definidas.
• Explicar la relación entre diferenciación e integración.

En las dos secciones anteriores, observamos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora, las únicas herramientas que tenemos disponibles para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas de área geométrica y los límites de las sumas de Riemann, y ambos enfoques son extremadamente engorrosos. En esta sección analizamos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada tanto por Sir Isaac Newton como Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales del siglo XVII y principios del 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su mismo nombre indica cuán central es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Las contribuciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron la forma en que vemos el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, todavía se enseñan como material fundacional en la física hoy en día, y su cálculo ha generado campos enteros de las matemáticas.

Antes de llegar a este teorema crucial, sin embargo, examinemos otro teorema importante, el Teorema del Valor Medio para Integrales, que es necesario para probar el Teorema Fundamental del Cálculo.

El teorema del valor medio para integrales

El Teorema del Valor Medio para Integrales establece que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor promedio en el mismo punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si\(f(x)\) es continuo,\(c\) existe un punto en un intervalo\([a,b]\) tal que el valor de la función at\(c\) es igual al valor promedio de\(f(x)\) over\([a,b]\). Declaramos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula para el valor promedio de una función que presentamos al final de la sección anterior.

Teorema\(\PageIndex{1}\): The Mean Value Theorem for Integrals

Si\(f(x)\) es continuo a lo largo de un intervalo\([a,b]\), entonces hay al menos un punto\(c∈[a,b]\) tal que

\[f(c)=\dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

Esta fórmula también se puede afirmar como

\[∫^b_af(x)\,dx=f(c)(b−a). \label{meanvaluetheorem} \]

Dado que\(f(x)\) es continuo\([a,b]\), por el teorema del valor extremo (ver sección sobre Maxima y Mínima), asume valores mínimos y máximos\(m\) —y\(M\), respectivamente— on\([a,b]\). Entonces, para todos\(x\) en\([a,b]\), tenemos\(m≤f(x)≤M.\) Por lo tanto, por el teorema de comparación (ver Sección sobre La Integral Definida), tenemos

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Prueba

Dado que\(f(x)\) es continuo\([a,b]\), por el teorema del valor extremo (ver sección sobre Maxima y Mínima), asume valores mínimos y máximos\(m\) —y\(M\), respectivamente— on\([a,b]\). Entonces, para todos\(x\) en\([a,b]\), tenemos\(m≤f(x)≤M.\) Por lo tanto, por el teorema de comparación (ver Sección sobre La Integral Definida), tenemos

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Dividir por nos\(b−a\) da

\[ m≤\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx≤M. \nonumber \]

Dado que\(\displaystyle \frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx\) es un número entre\(m\) y\(M\), y dado que\(f(x)\) es continuo y asume los valores\(m\) y\(M\) más\([a,b]\), por el Teorema del Valor Intermedio, hay un número\(c\) sobre\([a,b]\) tal que

\[ f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx, \nonumber \]

y la prueba está completa.

□

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding the Average Value of a Function

Encuentre el valor promedio de la función\(f(x)=8−2x\) sobre el intervalo\([0,4]\) y encuentre\(c\) tal que\(f(c)\) sea igual al valor promedio de la función sobre\([0,4].\)

Solución

La fórmula establece el valor medio de\(f(x)\) is given by

\[\displaystyle \frac{1}{4−0}∫^4_0(8−2x)\,dx. \nonumber \]

Podemos ver en Figura\(\PageIndex{1}\) que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por el\(x\)- and \(y\)-axes. The area of the triangle is \(A=\frac{1}{2}(base)(height).\) We have

\[A=\dfrac{1}{2}(4)(8)=16. \nonumber \]

El valor promedio se encuentra multiplicando el área por\(1/(4−0).\) Thus, the average value of the function is

\[\dfrac{1}{4}(16)=4 \nonumber \]

Establecer el valor promedio igual a\(f(c)\) and solve for \(c\).

\[ \begin{align*} 8−2c =4 \nonumber \\[4pt] c =2 \end{align*}\]

En\(c=2,f(2)=4\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Por el Teorema del Valor Medio, la función continua\(f(x)\) toma su valor promedio al\(c\) menos una vez en un intervalo cerrado.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentre el valor promedio de la función\(f(x)=\dfrac{x}{2}\) sobre el intervalo\([0,6]\) y encuentre c tal que\(f(c)\) sea igual al valor promedio de la función sobre\([0,6].\)

Pista

Utilice los procedimientos de Ejemplo\(\PageIndex{1}\) para resolver el problema

Contestar

El valor promedio es\(1.5\) y\(c=3\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Point Where a Function Takes on Its Average Value

Dado\(\displaystyle ∫^3_0x^2\,dx=9\), encontrar\(c\) tal que\(f(c)\) iguale el valor promedio de\(f(x)=x^2\) más\([0,3]\).

Solución

Buscamos el valor de\(c\) tal que

\[f(c)=\frac{1}{3−0}∫^3_0x^2\,\,dx=\frac{1}{3}(9)=3. \nonumber \]

Sustituyendo\(f(c)\) con\(c^2\), tenemos

\[ \begin{align*} c^2 &=3 \\[4pt] c &= ±\sqrt{3}. \end{align*}\]

Ya que\(−\sqrt{3}\) está fuera del intervalo, tomar sólo el valor positivo. Así,\(c=\sqrt{3}\) (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): A lo largo del intervalo\([0,3]\), la función\(f(x)=x^2\) toma su valor promedio en\(c=\sqrt{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dado\(\displaystyle ∫^3_0(2x^2−1)\,dx=15\), encontrar\(c\) tal que\(f(c)\) iguale el valor promedio de\(f(x)=2x^2−1\) más\([0,3]\).

Pista

Utilice los procedimientos de Ejemplo\(\PageIndex{2}\) para resolver el problema.

Contestar

\(c=\sqrt{3}\)

Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1: Integrales y Antiderivados

Como se mencionó anteriormente, el Teorema Fundamental del Cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre diferenciación e integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann ni calcular áreas. El teorema se compone de dos partes, la primera de las cuales, el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1, se expone aquí. La primera parte establece la relación entre diferenciación e integración.

Teorema\(\PageIndex{2}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1

Si\(f(x)\) es continuo a lo largo de un intervalo\([a,b]\), y la función\(F(x)\) está definida por

\[F(x)=∫^x_af(t)\,dt, \nonumber \]

luego\(F′(x)=f(x)\) sobre\([a,b]\).

Antes de ahondar en la prueba, vale la pena mencionar aquí un par de sutilezas. Primero, un comentario sobre la notación. Obsérvese que hemos definido una función\(F(x)\),, como la integral definida de otra función\(f(t)\),, del punto a al punto\(x\). A primera vista, esto es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es notar que para cualquier valor particular de\(x\), la integral definida es un número. Entonces la función\(F(x)\) devuelve un número (el valor de la integral definida) para cada valor de\(x\).

Segundo, vale la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Hay una razón por la que se le llama Teorema Fundamental del Cálculo. No sólo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tenga un antiderivado. Específicamente, garantiza que cualquier función continua tiene un antiderivado.

Prueba: Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1

Aplicando la definición del derivado, tenemos

\[ \begin{align*} F′(x) &=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h} \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h} \left[∫^{x+h}_af(t)dt−∫^x_af(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}\left[∫^{x+h}_af(t)\,dt+∫^a_xf(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_xf(t)\,dt. \end{align*}\]

Mirando cuidadosamente esta última expresión, vemos que\(\displaystyle \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt\) es solo el valor promedio de la función a\(f(x)\) lo largo del intervalo\([x,x+h]\). Por lo tanto, por Ecuación\ ref {meanvaluetheorem}, hay algún número\(c\) en\([x,x+h]\) tal que

\[ \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=f(c). \nonumber \]

Además, ya que\(c\) es entre\(x\) y\(h\), se\(c\) acerca\(x\) como se\(h\) acerca a cero. Además, ya que\(f(x)\) es continuo, tenemos

\[ \lim_{h→0}f(c)=\lim_{c→x}f(c)=f(x) \nonumber \]

Al juntar todas estas piezas, tenemos

\[ F′(x)=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=\lim_{h→0}f(c)=f(x), \nonumber \]

y la prueba está completa.

□

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding a Derivative with the Fundamental Theorem of Calculus

Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1 para encontrar la derivada de

\[g(x)=∫^x_1\frac{1}{t^3+1}\,dt. \nonumber \]

Solución

Según el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada viene dada por

\[g′(x)=\frac{1}{x^3+1}. \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1 para encontrar la derivada de\(\displaystyle g(r)=∫^r_0\sqrt{x^2+4}\,dx\).

Pista

Siga los procedimientos de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) para resolver el problema.

Contestar

\(g′(r)=\sqrt{r^2+4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Using the Fundamental Theorem and the Chain Rule to Calculate Derivatives

Vamos a\(\displaystyle F(x)=∫^{\sqrt{x}}_1 \sin t \,dt.\) encontrar\(F′(x)\).

Solución

Dejando\(u(x)=\sqrt{x}\), tenemos\(\displaystyle F(x)=∫^{u(x)}_1 \sin t \,dt\).

Así, por el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena,

\[ F′(x)=\sin(u(x))\frac{du}{\,dx}=\sin(u(x))⋅\left(\dfrac{1}{2}x^{−1/2}\right)=\dfrac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Vamos\(\displaystyle F(x)=∫^{x^3}_1 \cos t\,dt\). Encuentra\(F′(x)\).

Pista

Usa la regla de la cadena para resolver el problema.

Contestar

\(F′(x)=3x^2\cos x^3\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration

Vamos\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Encuentra\(F′(x)\).

Solución

Nosotros tenemos\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Ambos límites de integración son variables, por lo que necesitamos dividirlo en dos integrales. Obtenemos

\[\begin{align*} F(x) &=∫^{2x}_xt^3\,dt =∫^0_xt^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt \\[4pt] &=−∫^x_0t^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt. \end{align*}\]

Diferenciando el primer término, obtenemos

\[ \frac{d}{\,dx} \left[−∫^x_0t^3\, dt\right]=−x^3 . \nonumber \]

Diferenciando el segundo término, primero dejamos\((x)=2x.\) Luego,

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] &=\frac{d}{dx} \left[∫^{u(x)}_0t^3\,dt \right] \\[4pt] &=(u(x))^3\,du\,\,dx \\[4pt] &=(2x)^3⋅2=16x^3.\end{align*}\]

Así,

\[\begin{align*} F′(x) &=\frac{d}{dx} \left[−∫^x_0t^3\,dt \right]+\frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] \\[4pt] &=−x^3+16x^3=15x^3 \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Vamos a\(\displaystyle F(x)=∫^{x^2}_x \cos t \, dt.\) encontrar\(F′(x)\).

Pista

Utilice los procedimientos de Ejemplo\(\PageIndex{5}\) para resolver el problema

Contestar

\(F′(x)=2x\cos x^2−\cos x\)

Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2: El Teorema de Evaluación

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2, es quizás el teorema más importante en el cálculo. Después de incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Usando cálculo, los astrónomos finalmente pudieron determinar distancias en el espacio y mapear órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos como el cálculo de costos marginales o la predicción del beneficio total ahora podrían manejarse con simplicidad y precisión. Los ingenieros podrían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo.

Después de encontrar áreas aproximadas agregando las áreas de n rectángulos, la aplicación de este teorema es sencilla por comparación. Casi parece demasiado simple que el área de toda una región curva pueda calcularse simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo.

Teorema\(\PageIndex{3}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Si\(f(x)\) es continuo a lo largo del intervalo\([a,b]\) y\(F(x)\) es cualquier antiderivado de\(f(x),\) entonces

\[ ∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a). \label{FTC2} \]

A menudo vemos la notación\(\displaystyle F(x)|^b_a\) para denotar la expresión\(F(b)−F(a)\). Utilizamos esta barra vertical y los límites asociados\(a\) y\(b\) para indicar que debemos evaluar la función\(F(x)\) en el límite superior (en este caso,\(b\)), y restar el valor de la función\(F(x)\) evaluada en el límite inferior (en este caso,\(a\)).

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2 (también conocido como el teorema de evaluación) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos finales del intervalo y restando.

Prueba

Dejar\(P={x_i},i=0,1,…,n\) ser una partición regular de\([a,b].\) Entonces, podemos escribir

\[ \begin{align*} F(b)−F(a) &=F(x_n)−F(x_0) \\[4pt] &=[F(x_n)−F(x_{n−1})]+[F(x_{n−1})−F(x_{n−2})] + … + [F(x_1)−F(x_0)] \\[4pt] &=\sum^n_{i=1}[F(x_i)−F(x_{i−1})]. \end{align*} \nonumber \]

Ahora bien, sabemos que\(F\) es un antiderivado de\(f\) sobre\([a,b],\) así por el Teorema del Valor Medio (ver El Teorema del Valor Medio) pues\(i=0,1,…,n\) podemos encontrar\(c_i\) en\([x_{i−1},x_i]\) tal que

\[F(x_i)−F(x_{i−1})=F′(c_i)(x_i−x_{i−1})=f(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Entonces, sustituyendo a la ecuación anterior, tenemos

\[ F(b)−F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Tomando el límite de ambos lados a medida\(n→∞,\) que obtenemos

\[ F(b)−F(a)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nf(c_i)Δx=∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

□

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Evaluating an Integral with the Fundamental Theorem of Calculus

Utilice la ecuación\ ref {FTC2} para evaluar

\[ ∫^2_{−2}(t^2−4)\,dt. \nonumber \]

Solución

Recordemos la regla de poder para Antiderivados:

Si\(y=x^n\),

\[∫x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \nonumber \]

Usa esta regla para encontrar la antiderivada de la función y luego aplicar el teorema. Tenemos

\[ \begin{align*} ∫^2_{−2}(t^2−4)dt &=\left( \frac{t^3}{3}−4t \right)∣^2_{−2} \\[4pt] &=\left[\frac{(2)^3}{3}−4(2)\right]−\left[\frac{(−2)^3}{3}−4(−2)\right] \\[4pt] &=\left[\frac{8}{3}−8\right] − \left[−\frac{8}{3}+8 \right] \\[4pt] &=\frac{8}{3}−8+\frac{8}{3}−8 \\[4pt] &=\frac{16}{3}−16=−\frac{32}{3}.\end{align*} \nonumber \]

Análisis

Observe que no incluimos el término “\(+ C\)” cuando escribimos el antiderivado. La razón es que, según el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2 (Ecuación\ ref {FTC2}), cualquier antiderivado funciona. Entonces, por conveniencia, elegimos el antiderivado con\(C=0\). Si hubiéramos elegido otro antiderivado, el término constante habría cancelado. Esto siempre sucede a la hora de evaluar una integral definida.

La región del área que acabamos de calcular se representa en la Figura\(\PageIndex{3}\). Tenga en cuenta que la región entre la curva y el\(x\) eje -está por debajo del\(x\) eje. El área siempre es positiva, pero una integral definida aún puede producir un número negativo (un área neta firmada). Por ejemplo, si se tratara de una función de ganancia, un número negativo indica que la compañía está operando con pérdidas durante el intervalo dado.

Figura\(\PageIndex{3}\): La evaluación de una integral definida puede producir un valor negativo, aunque el área siempre es positiva.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Evaluating a Definite Integral Using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Evalúe la siguiente integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2 (Ecuación\ ref {FTC2}):

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{\sqrt{x}}dx. \nonumber \]

Solución

Primero, eliminar el radical reescribiendo la integral usando exponentes racionales. Luego, separe los términos del numerador escribiendo cada uno sobre el denominador:

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{x^{1/2}}\,dx=∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}} \right)\,dx. \nonumber \]

Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar:

\[ ∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}}\right)\,dx=∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx. \nonumber \]

Ahora, integre usando la regla de poder:

\[ \begin{align*} ∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx &= \left(\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right)∣^9_1 \\[4pt] &= \left[\frac{(9)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(9)^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right]− \left[\frac{(1)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(1)^{1/2}}{\frac{1}{2}} \right] \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(27)−2(3)\right]−\left[\frac{2}{3}(1)−2(1)\right] \\[4pt] &=18−6−\frac{2}{3}+2=\frac{40}{3}. \end{align*} \nonumber \]

Ver Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): El área bajo la curva de\(x=1\) a se\(x=9\) puede calcular evaluando una integral definida.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Utilice la nota para evaluar\(\displaystyle ∫^2_1x^{−4}\,dx.\)

Pista

Usa la regla de poder.

Contestar

\(\frac{7}{24}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): A Roller-Skating Race

James y Kathy están compitiendo en patines. Corren por una pista larga y recta, y quien haya ido más lejos después de 5 segundos gana un premio. Si James puede patinar a una velocidad de\(f(t)=5+2t\) pies/seg y Kathy puede patinar a una velocidad de\(g(t)=10+\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) pies/seg, ¿quién va a ganar la carrera?

Solución

Necesitamos integrar ambas funciones a lo largo del intervalo\([0,5]\) y ver qué valor es mayor. Para James, queremos calcular

\[ ∫^5_0(5+2t)\,dt. \nonumber \]

Usando la regla de poder, tenemos

\[ \begin {align*} ∫^5_0(5+2t)\,dt &= \left(5t+t^2\right)∣^5_0 \\[4pt] &=(25+25) \\[4pt] &=50. \end{align*}\]

Así, James ha patinado 50 pies después de 5 seg. Volviendo ahora a Kathy, queremos calcular

\[∫^5_010 + \cos \left(\frac{π}{2}t\right)\, dt. \nonumber \]

Sabemos que\(\sin t\) es un antiderivado de\(\cos t\), por lo que es razonable esperar que un antiderivado de\(\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) implique\(\sin\left(\frac{π}{2}t\right)\). No obstante, cuando diferenciamos\(\sin \left(π^2t\right)\), obtenemos\(π^2 \cos\left(π^2t\right)\) como resultado de la regla de la cadena, por lo que tenemos que dar cuenta de este coeficiente adicional cuando nos integramos. Obtenemos

\[ \begin{align*} ∫^5_010+\cos \left(\frac{π}{2}t\right)\,dt &= \left(10t+\frac{2}{π} \sin \left(\frac{π}{2}t\right)\right)∣^5_0 \\[4pt] &=\left(50+\frac{2}{π}\right)−\left(0−\frac{2}{π} \sin 0\right )≈50.6. \end{align*}\]

Kathy ha patinado aproximadamente 50.6 pies después de 5 seg. ¡Kathy gana, pero no por mucho!

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que James y Kathy tienen una revancha, pero esta vez el oficial detiene la contienda después de sólo 3 seg. ¿Esto cambia el resultado?

Pista

Cambiar los límites de integración de los de Ejemplo\(\PageIndex{7}\).

Contestar

Kathy sigue ganando, pero por un margen mucho mayor: James patina 24 pies en 3 segundos, pero Kathy patina 29.3634 pies en 3 seg.

Un paracaidista en caída libre

Julie es una ávida paracaidista con más de 300 saltos en su haber y ha dominado el arte de hacer ajustes en la posición de su cuerpo en el aire para controlar qué tan rápido cae. Si arquea su espalda y apunta su vientre hacia el suelo, alcanza una velocidad terminal de aproximadamente 120 mph (176 pies/seg). Si, en cambio, orienta su cuerpo con la cabeza recta hacia abajo, cae más rápido, alcanzando una velocidad terminal de 150 mph (220 pies/seg).

Figura\(\PageIndex{5}\): Los paracaidistas pueden ajustar la velocidad de su inmersión cambiando la posición de su cuerpo durante la caída libre. (crédito: Jeremy T. Lock)

Dado que Julie se moverá (cayendo) en dirección descendente, asumimos que la dirección descendente es positiva para simplificar nuestros cálculos. Julie ejecuta sus saltos desde una altitud de 12,500 pies. Después de que ella sale de la aeronave, inmediatamente comienza a caer a una velocidad dada por\(v(t)=32t.\)

Ella continúa acelerando de acuerdo con esta función de velocidad hasta que alcanza la velocidad terminal. Después de que alcanza la velocidad terminal, su velocidad permanece constante hasta que tira de su cuerda de desgarro y se ralentiza para aterrizar.

En su primer salto del día, Julie se orienta en la posición más lenta “boca abajo” (la velocidad terminal es de 176 pies/seg). Mediante esta información, responda las siguientes preguntas.

1. ¿Cuánto tiempo después de que salga del avión llega Julie a la velocidad terminal?
2. Con base en tu respuesta a la pregunta 1, configura una expresión que involucre una o más integrales que represente la distancia que cae Julie después de 30 seg.
3. Si Julie tira de su cuerda de desgarro a una altitud de 3000 pies, ¿cuánto tiempo pasa en una caída libre?
4. Julie tira de su cordón a 3000 pies. Se necesitan 5 segundos para que su paracaídas se abra por completo y que disminuya la velocidad, tiempo durante el cual cae otros 400 pies. Después de que su dosel esté completamente abierto, su velocidad se reduce a 16 pies/seg. Encuentra el tiempo total que Julie pasa en el aire, desde el momento en que deja el avión hasta el momento en que sus pies tocan el suelo. En el segundo salto del día de Julie, decide que quiere caer un poco más rápido y se orienta en la posición de “cabeza abajo”. Su velocidad terminal en esta posición es de 220 pies/seg. Responde estas preguntas en base a esta velocidad:
5. ¿Cuánto tiempo tarda Julie en alcanzar la velocidad terminal en este caso?
6. Antes de tirar de su cordón de desgarro, Julie reorienta su cuerpo en la posición “vientre abajo” para que no se mueva tan rápido cuando se abre su paracaídas. Si inicia esta maniobra a una altitud de 4000 pies, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre antes de comenzar la reorientación?

Algunos saltadores llevan “trajes de alas” (Figura\(\PageIndex{6}\)). Estos trajes tienen paneles de tela entre los brazos y las piernas y permiten al usuario deslizarse en una caída libre, al igual que una ardilla voladora. (De hecho, a los trajes a veces se les llama “trajes de ardilla voladora”). Al usar estos trajes, la velocidad terminal se puede reducir a aproximadamente 30 mph (44 pies/seg), lo que permite a los usuarios un tiempo mucho más largo en el aire. Los volantes de traje de ala siguen usando paracaídas para aterrizar; aunque las velocidades verticales están dentro del margen de seguridad, las velocidades horizontales pueden superar las 70 mph, demasiado rápidas para aterrizar de manera segura.

Figura\(\PageIndex{6}\): Los paneles de tela en los brazos y piernas de un traje de ala trabajan para reducir la velocidad vertical de la caída de un paracaidista. (crédito: Richard Schneider)

Responde la siguiente pregunta basada en la velocidad en un traje de ala.

7. Si Julie se pone un traje de ala antes de su tercer salto del día, y tira de su cuerda de desgarro a una altitud de 3000 pies, ¿cuánto tiempo puede pasar deslizándose en el aire?

Conceptos clave

• El Teorema del Valor Medio para Integrales establece que para una función continua en un intervalo cerrado, hay un valor c tal que\(f(c)\) es igual al valor promedio de la función.
• El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1 muestra la relación entre la derivada y la integral.
• El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2 es una fórmula para evaluar una integral definida en términos de una antiderivada de su integrando. El área total bajo una curva se puede encontrar usando esta fórmula.

Ecuaciones Clave

• Teorema del Valor Medio para Integrales

Si\(f(x)\) es continuo a lo largo de un intervalo\([a,b]\), entonces hay al menos un punto\(c∈[a,b]\) tal que\[f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx.\nonumber \]

• Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1

Si\(f(x)\) es continuo a lo largo de un intervalo\([a,b]\), y la función\(F(x)\) está definida por\[ F(x)=∫^x_af(t)\,dt,\nonumber \]

entonces\[F′(x)=f(x).\nonumber \]

• Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2

Si\(f\) es continuo a lo largo del intervalo\([a,b]\) y\(F(x)\) es cualquier antiderivado de\(f(x)\), entonces\[∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a).\nonumber \]

Glosario

teorema fundamental del cálculo

el teorema, central para todo el desarrollo del cálculo, que establece la relación entre diferenciación e integración

teorema fundamental del cálculo, parte 1

usa una integral definida para definir una antiderivada de una función

teorema fundamental del cálculo, parte 2

(también, teorema de evaluación) podemos evaluar una integral definida evaluando la antiderivada del integrando en los puntos finales del intervalo y restando

Teorema del valor medio para integrales

garantiza que\(c\) existe un punto tal que\(f(c)\) sea igual al valor promedio de la función