5: Integración
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- Determinar la distancia desde la velocidad es solo una de las muchas aplicaciones de integración. De hecho, las integrales se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones mecánicas y físicas. En este capítulo, primero introducimos la teoría detrás de la integración y utilizamos integrales para calcular áreas. A partir de ahí, desarrollamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona diferenciación e integración. Luego estudiamos algunas técnicas básicas de integración y examinamos brevemente algunas aplicaciones.
- 5.1: Aproximación de áreas
- En esta sección, desarrollamos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f (x), y el eje x en un intervalo cerrado [a, b]. Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva usando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Mediante el uso de rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva.
- 5.2: La Integral Definitiva
- Si f (x) es una función definida en un intervalo [a, b], la integral definida de f de a a b viene dada por\[∫^b_af(x)dx=\lim_{n→∞} \sum_{i=1}^nf(x^∗_i)Δx,\] siempre que exista el límite. Si existe este límite, se dice que la función f (x) es integrable en [a, b], o es una función integrable. Los números a y b se denominan los límites de integración; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. La función f (x) es el integrando, y x es la variable de integración.
- 5.3: El teorema fundamental del cálculo
- El Teorema Fundamental del Cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar sumas de Riemann. El inconveniente de este método, sin embargo, es que debemos poder encontrar un antiderivado, y esto no siempre es fácil.
- 5.4: Las fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
- El teorema del cambio neto establece que cuando una cantidad cambia, el valor final es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio. El cambio neto puede ser un número positivo, un número negativo o cero. El área bajo una función par sobre un intervalo simétrico se puede calcular duplicando el área sobre el eje x positivo. Para una función impar, la integral sobre un intervalo simétrico es igual a cero, porque la mitad del área es negativa.
- 5.5: Sustitución
- En esta sección examinamos una técnica, llamada integración por sustitución, para ayudarnos a encontrar antiderivados. Específicamente, este método nos ayuda a encontrar antiderivados cuando el integrando es el resultado de una derivada de regla de cadena.
- 5.6: Integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas
- Las funciones exponenciales y logarítmicas surgen en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente aquellas que involucran crecimiento y decadencia. La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que involucran funciones exponenciales o logaritmos.
- 5.7: Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas
- Recordemos que las funciones trigonométricas no son uno a uno a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con inversos de funciones trigonométricas, siempre hay que tener cuidado para tener en cuenta estas restricciones. También en Derivados, desarrollamos fórmulas para derivados de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas desarrolladas allí dan lugar directamente a fórmulas de integración que involucran funciones trigonométricas inversas.