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LibreTexts Español

9.2: Serie Infinita

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Explicar el significado de la suma de una serie infinita.
  • Calcular la suma de una serie geométrica.
  • Evaluar una serie telescópica.

Hemos visto que una secuencia es un conjunto ordenado de términos. Si sumas estos términos juntos, obtienes una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series se relacionan con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Presentamos uno de los tipos de series más importantes: la serie geométrica. Utilizaremos series geométricas en el siguiente capítulo para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas mediante el uso de polinomios que son más fáciles de manejar. También discutimos la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no logra converger.

Sumas y series

Una serie infinita es una suma de infinitamente muchos términos y está escrita en la forma

n=1an=a1+a2+a3+.

Pero, ¿qué significa esto? No podemos agregar un número infinito de términos de la misma manera que podemos agregar un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma

kn=1an=a1+a2+a3++ak.

Para ver cómo utilizamos sumas parciales para evaluar series infinitas, considera el siguiente ejemplo. Supongamos que el petróleo se está filtrando en un lago tal que1000 galones ingresan al lago la primera semana. Durante la segunda semana, un500 galón adicional de petróleo ingresa al lago. A la tercera semana,250 más galones ingresan al lago. Supongamos que este patrón continúa de tal manera que cada semana la mitad de petróleo ingresa al lago como lo hizo la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir de la cantidad de petróleo en el lago? ¿La cantidad de petróleo seguirá siendo arbitrariamente grande, o es posible que se acerque a alguna cantidad finita? Para responder a esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después dek semanas. DejandoSk denotar la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) después dek semanas, vemos que

S1=1

S2=1+0.5=1+12

S3=1+0.5+0.25=1+12+14

S4=1+0.5+0.25+0.125=1+12+14+18

S5=1+0.5+0.25+0.125+0.0625=1+12+14+18+116.

Al observar este patrón, vemos que la cantidad de petróleo en el lago (en miles de galones) después dek semanas es

Sk=1+12+14+18+116++12k1=kn=1(12)n1.

Nos interesa lo que sucede comok. Simbólicamente, la cantidad de petróleo en el lago comok lo da la serie infinita

n=1(12)n1=1+12+14+18+116+.

Al mismo tiempo, comok, la cantidad de petróleo en el lago se puede calcular mediante la evaluaciónlimkSk. Por lo tanto, el comportamiento de la serie infinita se puede determinar observando el comportamiento de la secuencia de sumas parcialesSk. Si la secuencia de sumas parcialesSk converge, decimos que la serie infinita converge, y su suma viene dada porlimkSk. Si la secuenciaSk diverge, decimos que la serie infinita diverge. Pasamos ahora nuestra atención a determinar el límite de esta secuenciaSk.

Primero, simplificando algunas de estas sumas parciales, vemos que

S1=1

S2=1+12=32

S3=1+12+14=74

S4=1+12+14+18=158

S5=1+12+14+18+116=3116.

Trazando algunos de estos valores en la Figura, parece que la secuenciaSk podría estar acercándose a 2.

Esta es una gráfica en el cuadrante 1con los ejes x e y etiquetados n y s_n, respectivamente. Del 1 al 5, se trazan los puntos. Aumentan y parecen converger a 2 y n va al infinito.
Figura9.2.1: La gráfica muestra la secuencia de sumas parcialesSk. Parece que la secuencia se acerca al valor2.

Busquemos pruebas más convincentes. En la siguiente tabla, enumeramos los valores deSk para varios valores dek.

k 5 10 15 20
Sk 1.9375 1.998 1.999939 1.999998

Estos datos aportan más evidencia que sugiere que la secuenciaSk converge a2. Posteriormente proporcionaremos un argumento analítico que se puede utilizar para demostrarlolimkSk=2. Por ahora, confiamos en los datos numéricos y gráficos para convencernos de que la secuencia de sumas parciales realmente converge a2. Como esta secuencia de sumas parciales converge a2, decimos que la serie infinita converge2 y escribe

n=1(12)n1=2.

Volviendo a la pregunta sobre el petróleo en el lago, ya que esta serie infinita converge a2, concluimos que la cantidad de petróleo en el lago se acercará arbitrariamente a2000 galones ya que la cantidad de tiempo se vuelve suficientemente grande.

Esta serie es un ejemplo de una serie geométrica. Discutimos las series geométricas con más detalle más adelante en esta sección. En primer lugar, resumimos lo que significa que una serie infinita converja.

Definición

Una serie infinita es una expresión de la forma

n=1an=a1+a2+a3+.

Por cada entero positivok, la suma

Sk=kn=1an=a1+a2+a3++ak

se llama la sumakth parcial de la serie infinita. Las sumas parciales forman una secuenciaSk. Si la secuencia de sumas parciales converge a un número realS, la serie infinita converge. Si podemos describir la convergencia de una serie aS, llamamos aS la suma de la serie, y escribimos

n=1an=S.

Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie.

Tenga en cuenta que el índice para una serie no necesita comenzar conn=1, sino que puede comenzar con cualquier valor. Por ejemplo, la serie

n=1(12)n1

también se puede escribir como

n=0(12)norn=5(12)n5.

Muchas veces es conveniente que el índice comience en1, así que si por alguna razón comienza en un valor diferente, podemos reindexar haciendo un cambio de variables. Por ejemplo, considere la serie

n=21n2.

Al introducir la variablem=n1, para quen=m+1, podamos reescribir la serie como

m=11(m+1)2.

Ejemplo9.2.1: Evaluating Limits of Sequences of Partial Sums

Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

  1. n=1nn+1
  2. n=1(1)n
  3. n=11n(n+1)

Solución

a. La secuencia de sumas parcialesSk satisface

S1=12

S2=12+23

S3=12+23+34

S4=12+23+34+45.

Observe que cada término agregado es mayor que1/2. Como resultado, vemos que

S1=12

S2=12+23>12+12=2(12)

S3=12+23+34>12+12+12=3(12)

S4=12+23+34+45>12+12+12+12=4(12).

A partir de este patrón podemos ver esoSk>k(12) por cada enterok. Por lo tanto,Sk es sin límites y en consecuencia, diverge. Por lo tanto, la serie infinitan=1nn+1 diverge.

b. La secuencia de sumas parcialesSk satisface

S1=1

S2=1+1=0

S3=1+11=1

S4=1+11+1=0.

A partir de este patrón podemos ver que la secuencia de sumas parciales es

Sk=1,0,1,0,.

Dado que esta secuencia diverge, la serie infinitan=1(1)n diverge.

c. La secuencia de sumas parcialesSk satisface

S1=112=12

S2=112+123=12+16=23

S3=112+123+134=12+16+112=34

S4=112+123+134+145=45

S5=112+123+134+145+156=56.

A partir de este patrón, podemos ver que la sumakth parcial viene dada por la fórmula explícita

Sk=kk+1.

Desde quek/(k+1)1, concluimos que la secuencia de sumas parciales converge, y por lo tanto la serie infinita converge a1. Tenemos

n=11n(n+1)=1.

Ejercicio9.2.1

Determinar si la serien=1n+1n converge o diverge.

Pista

Mira la secuencia de sumas parciales.

Responder

La serie diverge porque la sumakth parcialSk>k.

La serie armónica

Una serie útil para conocer es la serie armónica. La serie armónica se define como

n=11n=1+12+13+14+.

Esta serie es interesante porque diverge, pero diverge muy lentamente. Con esto queremos decir que los términos en la secuencia de sumas parciales seSk acercan al infinito, pero lo hacen muy lentamente. Mostraremos que la serie diverge, pero primero ilustramos el lento crecimiento de los términos en la secuenciaSk en la siguiente tabla.

k 10 100 1000 10,00 100,000 1,000,000
Sk 2.92897 5.18738 7.48547 9.78761 12.09015 14.39273

Incluso después de1,000,000 términos, la suma parcial sigue siendo relativamente pequeña. De esta tabla, no está claro que esta serie realmente diverja. Sin embargo, podemos demostrar analíticamente que la secuencia de sumas parciales diverge, y por lo tanto la serie diverge.

Para demostrar que la secuencia de sumas parciales diverge, mostramos que la secuencia de sumas parciales no tiene límites. Comenzamos por escribir las primeras sumas parciales varias:

S1=1

S2=1+12

S3=1+12+13

S4=1+12+13+14.

Observe que para los dos últimos términos enS4,

13+14>14+14

Por lo tanto, concluimos que

S4>1+12+(14+14)=1+12+12=1+2(12).

Usando la misma idea paraS8, vemos que

S8=1+12+13+14+15+16+17+18>1+12+(14+14)+(18+18+18+18)=1+12+12+12=1+3(12).

A partir de este patrón, vemos queS1=1,S2=1+1/2,S4>1+2(1/2), yS8>1+3(1/2). De manera más general, se puede demostrar queS2j>1+j(1/2) para todosj>1. Ya que1+j(1/2), concluimos que la secuenciaSk es ilimitada y por lo tanto diverge. En el apartado anterior, afirmamos que las secuencias convergentes están acotadas. En consecuencia, dadoSk que no tiene límites, diverge. Así, la serie armónica diverge.

Propiedades algebraicas de la serie convergente

Dado que la suma de una serie infinita convergente se define como un límite de una secuencia, las propiedades algebraicas para las series enumeradas a continuación siguen directamente de las propiedades algebraicas para las secuencias.

Nota9.2.1: Algebraic Properties of Convergent Series

Dejarn=1an yn=1bn ser series convergentes. Entonces se mantienen las siguientes propiedades algebraicas.

i. La serien=1(an+bn) converge, yn=1(an+bn)=n=1an+n=1bn. (Regla de suma)

ii. La serien=1(anbn) converge, yn=1(anbn)=n=1ann=1bn. (Regla de diferencia)

iii. Para cualquier número realc, la serien=1can converge, yn=1can=cn=1an. (Regla Múltiple Constante)

Ejemplo9.2.2: Using Algebraic Properties of Convergent Series

Evaluarn=1[3n(n+1)+(12)n2].

Solución

Demostramos anteriormente que

n=11n(n+1)=1

y

n=1(12)n1=2.

Dado que ambas series convergen, podemos aplicar las propiedades de Note9.2.1 para evaluar

n=1[3n(n+1)+(12)n2].

Usando la regla de suma, escriba

n=1[3n(n+1)+(12)n2]=n=13n(n+1)+n=1(12)n2.

Entonces, usando la regla múltiple constante y las sumas anteriores, podemos concluir que

n=13n(n+1)+n=1(12)n2=3n=11n(n+1)+(12)1n=1(12)n1=3(1)+(12)1(2)=3+2(2)=7.

Ejercicio9.2.2

Evaluarn=152n1.

Pista

Reescribir comon=15(12)n1.

Responder

10

Serie Geométrica

Una serie geométrica es cualquier serie que podamos escribir en la forma

a+ar+ar2+ar3+=n=1arn1.

Debido a que la relación de cada término en esta serie con respecto al término anterior es r, al número r se le llama la relación. Nos referimos a un como el término inicial porque es el primer término de la serie. Por ejemplo, la serie

n=1(12)n1=1+12+14+18+

es una serie geométrica con término iniciala=1 y relaciónr=1/2.

En general, ¿cuándo converge una serie geométrica? Considere la serie geométrica

n=1arn1

cuandoa>0. Su secuencia de sumas parcialesSk viene dada por

Sk=kn=1arn1=a+ar+ar2++ark1.

Considerar el caso cuandor=1. En ese caso,

Sk=a+a(1)+a(1)2++a(1)k1=ak.

Ya quea>0, conocemosak comok. Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales no tiene límites y, por lo tanto, diverge. En consecuencia, la serie infinita diverge parar=1. Parar1, para encontrar el límite deSk, multiplicar Ecuación por1r. Al hacerlo, vemos que

(1r)Sk=a(1r)(1+r+r2+r3++rk1)=a[(1+r+r2+r3++rk1)(r+r2+r3++rk)]=a(1rk).

Todos los demás términos cancelan.

Por lo tanto,

Sk=a(1rk)1rparar1.

De nuestra discusión en el apartado anterior, sabemos que la secuencia geométricark0 si|r|<1 y querk diverge si|r|>1 or=±1. Por lo tanto, para|r|<1,Ska1r y tenemos

n=1arn1=a1rif|r|<1.

Si|r|1,Sk diverge, y por lo tanto

n=1arn1diverges if|r|1.

Definiciones: Serie divergente y convergente

Una serie geométrica es una serie de la forma

n=1arn1=a+ar+ar2+ar3+.

Si|r|<1, la serie converge, y

n=1arn1=a1rfor|r|<1.

Si|r|1, la serie diverge.

Las series geométricas a veces aparecen en formas ligeramente diferentes. Por ejemplo, a veces el índice comienza en un valor distinto den=1 o el exponente implica una expresión lineal paran otro quen1. Siempre y cuando podamos reescribir la serie en la forma dada por Ecuación, se trata de una serie geométrica. Por ejemplo, considere la serie

n=0(23)n+2.

Para ver que se trata de una serie geométrica, escribimos los primeros términos:

n=0(23)n+2=(23)2+(23)3+(23)4+=49+49(23)+49(23)2+.

Vemos que el término inicial esa=4/9 y la relación esr=2/3. Por lo tanto, la serie puede escribirse como

n=149(23)n1.

Ya quer=2/3<1, esta serie converge, y su suma viene dada por

n=149(23)n1=4/912/3=43.

Ejemplo9.2.3: Determining Convergence or Divergence of a Geometric Series

Determinar si cada una de las siguientes series geométricas converge o diverge, y si converge, encuentra su suma.

  1. n=1(3)n+14n1
  2. n=1e2n

Solución

a. Escribiendo los primeros términos de la serie, tenemos

n=1(3)n+14n1=(3)240+(3)34+(3)442+=(3)2+(3)2(34)+(3)2(34)2+=9+9(34)+9(34)2+.

El término iniciala=3 y la relaciónr=3/4. Ya que|r|=3/4<1, la serie converge a

91(3/4)=97/4=367.

b. Escribir esta serie como

e2n=1(e2)n1

podemos ver que esta es una serie geométrica donder=e2>1. Por lo tanto, la serie diverge.

Ejercicio9.2.3

Determinar si la serien=1(25)n1 converge o diverge. Si converge, encuentra su suma.

Pista

r=2/5

Responder

5/7

Ahora dirigimos nuestra atención a una agradable aplicación de series geométricas. Mostramos cómo se pueden usar para escribir decimales repetidos como fracciones de enteros.

Ejemplo9.2.4: Writing Repeating Decimals as Fractions of Integers

Usa una serie geométrica para escribir3.¯26 como una fracción de enteros.

Solución

Desde 3.\bar{26}—=3.262626…, el principio escribimos

\begin{align*} 3.262626… &= 3+\frac{26}{100}+\frac{26}{1000}+\frac{26}{100,000}+⋯ \\[4pt] &=3+\frac{26}{10^2}+\frac{26}{10^4}+\frac{26}{10^6}+⋯. \end{align*}

Ignorando el término 3, el resto de esta expresión es una serie geométrica con término inicial a=26/10^2 y relación r=1/10^2. Por lo tanto, la suma de esta serie es

\frac{26/10^2}{1−(1/10^2)}=\frac{26/10^2}{99/10^2}=\frac{26}{99}. \nonumber

Así,

3.262626…=3+\frac{26}{99}=\frac{323}{99}.

Ejercicio\PageIndex{4}

Escribir 5.2\bar{7} como una fracción de enteros.

Pista

Al expresar este número como una serie, encuentra una serie geométrica con término inicial a=7/100 y relación r=1/10.

Responder

475/90

Ejemplo \PageIndex{5}: Finding the Area of the Koch Snowflake

Defina una secuencia de figuras \{F_n\} recursivamente de la siguiente manera (Figura\PageIndex{2}). Dejar F_0 ser un triángulo equilátero con lados de longitud 1. Para n≥1, deja F_n ser la curva creada quitando el tercio medio de cada lado de F_{n−1} y reemplazándolo con un triángulo equilátero apuntando hacia afuera. La figura limitante como n→∞ se conoce como copo de nieve de Koch.

Este es un diagrama del copo de nieve de Koch, que creó a través de iteraciones. El caso base es un triángulo equilátero. En cada iteración, el tercio medio de cada segmento de línea se reemplaza por otro triángulo equilátero apuntando hacia afuera.
Figura\PageIndex{2}: Las cuatro primeras figuras, F_0,F_1,F_2, y F_3, en la construcción del copo de nieve de Koch.
  1. Encuentra la longitud L_n del perímetro de F_n. \displaystyle \lim_{n→∞}L_nEvaluar para encontrar la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch.
  2. Encuentra el área A_n de figura F_n. \displaystyle \lim_{n→∞}A_nEvaluar para encontrar el área del copo de nieve de Koch.

Solución

a. vamos a N_n denotar el número de lados de la figura F_n. Ya que F_0 es un triángulo, N_0=3. Dejar ln denotar la longitud de cada lado de F_n. Dado que F_0 es un triángulo equilátero con lados de longitud l_0=1, ahora necesitamos determinar N_1 y l_1. Dado que F_1 se crea eliminando el tercio medio de cada lado y reemplazando ese segmento de línea con dos segmentos de línea, para cada lado de F_0, obtenemos cuatro lados adentro F_1. Por lo tanto, el número de lados para F_1 es

N_1=4⋅3.

Dado que la longitud de cada uno de estos nuevos segmentos de línea es 1/3 la longitud de los segmentos de línea en F_0, la longitud de los segmentos de línea F_1 viene dada por

l_1=\frac{1}{3}⋅1=\frac{1}{3}.

Del mismo modo F_2, para, dado que el tercio medio de cada lado de F_1 se elimina y se reemplaza por dos segmentos de línea, el número de lados adentro F_2 viene dado por

N_2=4N_1=4(4⋅3)=4^2⋅3.

Dado que la longitud de cada uno de estos lados es 1/3 la longitud de los lados de F_1, la longitud de cada lado de la figura F_2 viene dada por

l_2=\frac{1}{3}⋅l_1=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3}\right)^2.

De manera más general, ya que F_n se crea eliminando el tercio medio de cada lado de F_{n−1} y reemplazando ese segmento de línea con dos segmentos de línea de longitud \frac{1}{3}l_{n−1} en forma de triángulo equilátero, lo sabemos N_n=4N_{n−1} y l_n=\dfrac{l_{n−1}}{3}. Por lo tanto, el número de lados de la figura F_n es

N_n=4^n⋅3

y la longitud de cada lado es

l_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n. \nonumber

Por lo tanto, para calcular el perímetro de F_n, multiplicamos el número de lados N_n y la longitud de cada lado l_n. Concluimos que el perímetro de F_n está dado por

L_n=N_n⋅l_n=3⋅\left(\frac{4}{3}\right)^n \nonumber

Por lo tanto, la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch es

L=\lim_{n→∞}L_n=∞. \nonumber

b. Dejar T_n denotar el área de cada nuevo triángulo creado al formar F_n. For n=0, T_0 es el área del triángulo equilátero original. Por lo tanto, T_0=A_0=\sqrt{3}/4. Porque n≥1, dado que las longitudes de los lados del nuevo triángulo son 1/3 la longitud de los lados de F_{n−1}, tenemos

T_n=\left(\frac{1}{3}\right)^2⋅T_{n−1}=\frac{1}{9}⋅T_{n−1}. \nonumber

Por lo tanto, T_n=\left(\frac{1}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}. Dado que se forma un nuevo triángulo a cada lado de F_{n−1},

A_n=A_{n−1}+N_{n−1}⋅T_n=A_{n−1}+(3⋅4_{n−1})⋅\left(\frac{1}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=A_{n−1}+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}. \nonumber

Escribiendo los primeros términos A_0,A_1,A_2, vemos que

A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}

A_1=A_0+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)\right]

A_2=A_1+\frac{3}{4}⋅(\frac{4}{9})^2⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)\right]+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^2⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}[1+\frac{3}{4}⋅(\frac{4}{9})+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^2].

De manera más general,

A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}\left(\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)\right].

4/9Factorizando cada término dentro de los paréntesis internos, reescribimos nuestra expresión como

A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}\right)\right].

La expresión 1+\left(\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1} es una suma geométrica. Como se indicó anteriormente, esta suma satisface

1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}=\dfrac{1−(4/9)^n}{1−(4/9)}.

Sustituyendo esta expresión por la expresión anterior y simplificando, concluimos que

A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{1}{3}(\frac{1−(4/9)^n}{1−(4/9)})\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{8}{5}−\frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right]. \nonumber

Por lo tanto, la zona del copo de nieve de Koch es

\displaystyle A=\lim_{n→∞}A_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}.

Análisis

El copo de nieve de Koch es interesante porque tiene área finita, pero perímetro infinito. Si bien en un principio esto puede parecer imposible, recuerde que ya ha visto ejemplos similares anteriormente en el texto. Por ejemplo, considere la región delimitada por la curva y=1/x^2 y el x eje -en el intervalo [1,∞). Desde la integral impropia

∫^∞_1\frac{1}{x^2}\,dx \nonumber

converge, el área de esta región es finita, a pesar de que el perímetro es infinito.

Serie telescópica

Considera la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}. Discutimos esta serie en Ejemplo, mostrando que la serie converge escribiendo las primeras varias sumas parciales S_1,S_2,…,S_6 y notando que todas son de la forma S_k=\dfrac{k}{k+1}. Aquí utilizamos una técnica diferente para demostrar que esta serie converge. Mediante el uso de fracciones parciales, podemos escribir

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}. \nonumber

Por lo tanto, la serie se puede escribir como

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}\right]=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)+⋯.

Escribiendo los primeros varios términos en la secuencia de sumas parciales {S_k}, vemos que

S_1=1−\frac{1}{2}

S_2=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)=1−\frac{1}{3}

S_3=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)=1−\frac{1}{4}.

En general,

S_k=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)+⋯+\left(\frac{1}{k}−\frac{1}{k+1}\right)=1−\dfrac{1}{k+1}.

Notamos que los términos intermedios se cancelan entre sí, dejando solo el primer y último término. En cierto sentido, la serie colapsa como un spyglass con tubos que desaparecen entre sí para acortar el telescopio. Por esta razón, llamamos a una serie que tiene esta propiedad una serie telescópica. Para esta serie, desde S_k=1−1/(k+1) y 1/(k+1)→0 como k→∞, la secuencia de sumas parciales converge a 1, y por lo tanto la serie converge a 1.

Definición

Una serie telescópica es una serie en la que la mayoría de los términos cancelan en cada una de las sumas parciales, dejando sólo algunos de los primeros términos y algunos de los últimos términos.

Por ejemplo, cualquier serie del formulario

\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)+(b_3−b_4)+⋯

es una serie telescópica. Esto lo podemos ver escribiendo algunas de las sumas parciales. En particular, vemos que

S_1=b_1−b_2

S_2=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)=b_1−b_3

S_3=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)+(b_3−b_4)=b_1−b_4.

En general, la késima suma parcial de esta serie es

S_k=b_1−b_{k+1}.

Dado que la késima suma parcial puede simplificarse a la diferencia de estos dos términos, la secuencia de sumas parciales {S_k} convergerá si y sólo si la secuencia {b_{k+1}} converge. Además, si la secuencia b_{k+1} converge a algún número finito B, entonces la secuencia de sumas parciales converge a b_1−B, y por lo tanto

\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=b_1−B.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar estas ideas para analizar una serie telescópica de esta forma.

Ejemplo \PageIndex{6}: Evaluating a Telescoping Series

Determinar si la serie telescópica

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)−\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]

converge o diverge. Si converge, encuentra su suma.

Solución

Al escribir términos en la secuencia de sumas parciales, podemos ver que

S_1=\cos(1)−\cos(\frac{1}{2})

S_2=(\cos(1)−\cos(\frac{1}{2}))+(\cos(\frac{1}{2})−\cos(\frac{1}{3}))=\cos(1)−\cos(\frac{1}{3})

S_3=(\cos(1)−\cos(\frac{1}{2}))+(\cos(\frac{1}{2})−\cos(\frac{1}{3}))+(\cos(\frac{1}{3})−\cos(\frac{1}{4}))

=\cos(1)−\cos(\frac{1}{4}).

En general,

S_k=\cos(1)−\cos\left(\frac{1}{k+1}\right).

Ya que 1/(k+1)→0 como k→∞ y \cos x es una función continua, \cos(1/(k+1))→\cos(0)=1. Por lo tanto, concluimos que S_k→\cos(1)−1. La serie telescópica converge y la suma viene dada por

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)−\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]=\cos(1)−1.

Ejercicio\PageIndex{5}

Determinar si\displaystyle \sum^∞_{n=1}[e^{1/n}−e^{1/(n+1)}] converge o diverge. Si converge, encuentra su suma.

Pista

Escribe la secuencia de sumas parciales para ver qué términos cancelan.

Responder

e−1

Constante de Euler

Hemos demostrado que la serie armónica\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n} diverge. Aquí investigamos el comportamiento de las sumas parciales S_k como k→∞. En particular, mostramos que se comportan como la función logaritmo natural al mostrar que existe una constante γ tal que

\displaystyle \sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}−\ln k\right)→γcomo k→∞.

Esta constante γ se conoce como la constante de Euler.

1. Dejar\displaystyle T_k=\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}−\ln k\right). Evaluar T_k para diversos valores de k.

2. Para T_k como se define en la parte 1. mostrar que la secuencia {T_k} converge mediante el uso de los siguientes pasos.

a. Mostrar que la secuencia {T_k} es monótona decreciente. (Pista: Mostrar que \ln(1+1/k>1/(k+1))

b. Demostrar que la secuencia {T_k} está delimitada por debajo de cero. (Pista: Expresar \ln k como una integral definitiva.)

c. Utilizar el Teorema de Convergencia Monótona para concluir que la secuencia {T_k} converge. El límite γ es la constante de Euler.

3. Ahora estime a qué distancia T_k está γ para un entero dado k. Demuéstralo k≥1, 0<T_k−γ≤1/k mediante el uso de los siguientes pasos.

a. Demostrar que \ln(k+1)−\ln k<1/k.

b. Utilice el resultado de la parte a. para mostrar que para cualquier entero k,

T_k−T_{k+1}<\frac{1}{k}−\frac{1}{k+1}. \nonumber

c. Para cualquier número entero k y j tal que j>k, T_k−T_j exprese como suma telescópica escribiendo

T_k−T_j=(T_k−T_{k+1})+(T_{k+1}−T_{k+2})+(T_{k+2}−T_{k+3})+⋯+(T_{j−1}−T_j). \nonumber

Utilice el resultado de la parte b. combinado con esta suma telescópica para concluir que

T_k−T_j<\frac{1}{k}−\frac{1}{j}. \nonumber

a. Aplicar el límite a ambos lados de la desigualdad en la parte c. para concluir que

T_k−γ≤\frac{1}{k}. \nonumber

e. Estimar γ con una precisión dentro de 0.001.


Conceptos clave

  • Dada la serie infinita

\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯

y la secuencia correspondiente de sumas parciales {S_k} donde

\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k,

la serie converge si y sólo si la secuencia {S_k} converge.

  • La serie geométrica\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1} converge si |r|<1 y diverge si |r|≥1. For |r|<1,

\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}.

  • La serie armónica

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯

diverge.

  • Una serie de la forma\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=[b_1−b_2]+[b_2−b_3]+[b_3−b_4]+⋯+[b_n−b_{n+1}]+⋯ es una serie telescópica. La suma k^{\text{th}} parcial de esta serie viene dada por S_k=b_1−b_{k+1}. La serie convergerá si y sólo si\displaystyle \lim_{k→∞} b_{k+1} existe. En ese caso,

\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=b_1−\lim_{k→∞}(b_{k+1}).

Ecuaciones Clave

  • Serie armónica

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯

  • Suma de una serie geométrica

\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}para |r|<1


Glosario

convergencia de una serie
una serie converge si la secuencia de sumas parciales para esa serie converge
divergencia de una serie
una serie diverge si la secuencia de sumas parciales para esa serie diverge
serie geométrica
una serie geométrica es una serie que se puede escribir en la forma

\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=a+ar+ar^2+ar^3+⋯

serie armónica
la serie armónica toma la forma

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯

serie infinita
una serie infinita es una expresión de la forma

\displaystyle a_1+a_2+a_3+⋯=\sum_{n=1}^∞a_n

suma parcial

la suma kth parcial de la serie infinita\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n es la suma finita

\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k

serie telescópica
una serie telescópica es aquella en la que la mayoría de los términos cancelan en cada una de las sumas parciales

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