9.2: Serie Infinita
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Explicar el significado de la suma de una serie infinita.
- Calcular la suma de una serie geométrica.
- Evaluar una serie telescópica.
Hemos visto que una secuencia es un conjunto ordenado de términos. Si sumas estos términos juntos, obtienes una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series se relacionan con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Presentamos uno de los tipos de series más importantes: la serie geométrica. Utilizaremos series geométricas en el siguiente capítulo para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas mediante el uso de polinomios que son más fáciles de manejar. También discutimos la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no logra converger.
Sumas y series
Una serie infinita es una suma de infinitamente muchos términos y está escrita en la forma
\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯.
Pero, ¿qué significa esto? No podemos agregar un número infinito de términos de la misma manera que podemos agregar un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma
\displaystyle \sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k.
Para ver cómo utilizamos sumas parciales para evaluar series infinitas, considera el siguiente ejemplo. Supongamos que el petróleo se está filtrando en un lago tal que 1000 galones ingresan al lago la primera semana. Durante la segunda semana, un 500 galón adicional de petróleo ingresa al lago. A la tercera semana, 250 más galones ingresan al lago. Supongamos que este patrón continúa de tal manera que cada semana la mitad de petróleo ingresa al lago como lo hizo la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir de la cantidad de petróleo en el lago? ¿La cantidad de petróleo seguirá siendo arbitrariamente grande, o es posible que se acerque a alguna cantidad finita? Para responder a esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después de k semanas. Dejando S_k denotar la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) después de k semanas, vemos que
S_1=1
S_2=1+0.5=1+\frac{1}{2}
S_3=1+0.5+0.25=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}
S_4=1+0.5+0.25+0.125=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}
S_5=1+0.5+0.25+0.125+0.0625=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}.
Al observar este patrón, vemos que la cantidad de petróleo en el lago (en miles de galones) después de k semanas es
S_k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+⋯+\frac{1}{2^{k−1}}=\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}. \nonumber
Nos interesa lo que sucede como k→∞. Simbólicamente, la cantidad de petróleo en el lago como k→∞ lo da la serie infinita
\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+⋯. \nonumber
Al mismo tiempo, como k→∞, la cantidad de petróleo en el lago se puede calcular mediante la evaluación\displaystyle \lim_{k→∞}S_k. Por lo tanto, el comportamiento de la serie infinita se puede determinar observando el comportamiento de la secuencia de sumas parciales {S_k}. Si la secuencia de sumas parciales {S_k} converge, decimos que la serie infinita converge, y su suma viene dada por\displaystyle \lim_{k→∞}S_k. Si la secuencia {S_k} diverge, decimos que la serie infinita diverge. Pasamos ahora nuestra atención a determinar el límite de esta secuencia {S_k}.
Primero, simplificando algunas de estas sumas parciales, vemos que
S_1=1
S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}
S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{15}{8}
S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{31}{16}.
Trazando algunos de estos valores en la Figura, parece que la secuencia {S_k} podría estar acercándose a 2.

Busquemos pruebas más convincentes. En la siguiente tabla, enumeramos los valores deS_k para varios valores dek.
k | 5 | 10 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|
S_k | 1.9375 | 1.998 | 1.999939 | 1.999998 |
Estos datos aportan más evidencia que sugiere que la secuencia{S_k} converge a2. Posteriormente proporcionaremos un argumento analítico que se puede utilizar para demostrarlo\displaystyle \lim_{k→∞}S_k=2. Por ahora, confiamos en los datos numéricos y gráficos para convencernos de que la secuencia de sumas parciales realmente converge a2. Como esta secuencia de sumas parciales converge a2, decimos que la serie infinita converge2 y escribe
\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=2.\nonumber
Volviendo a la pregunta sobre el petróleo en el lago, ya que esta serie infinita converge a2, concluimos que la cantidad de petróleo en el lago se acercará arbitrariamente a2000 galones ya que la cantidad de tiempo se vuelve suficientemente grande.
Esta serie es un ejemplo de una serie geométrica. Discutimos las series geométricas con más detalle más adelante en esta sección. En primer lugar, resumimos lo que significa que una serie infinita converja.
Una serie infinita es una expresión de la forma
\sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯. \nonumber
Por cada entero positivok, la suma
S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k \nonumber
se llama la sumak^{\text{th}} parcial de la serie infinita. Las sumas parciales forman una secuencia{S_k}. Si la secuencia de sumas parciales converge a un número realS, la serie infinita converge. Si podemos describir la convergencia de una serie aS, llamamos aS la suma de la serie, y escribimos
\sum_{n=1}^∞a_n=S. \nonumber
Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie.
Tenga en cuenta que el índice para una serie no necesita comenzar conn=1, sino que puede comenzar con cualquier valor. Por ejemplo, la serie
\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1} \nonumber
también se puede escribir como
\sum_{n=0}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^n\; \text{or}\; \sum_{n=5}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−5}. \nonumber
Muchas veces es conveniente que el índice comience en1, así que si por alguna razón comienza en un valor diferente, podemos reindexar haciendo un cambio de variables. Por ejemplo, considere la serie
\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2}. \nonumber
Al introducir la variablem=n−1, para quen=m+1, podamos reescribir la serie como
\sum_{m=1}^∞\frac{1}{(m+1)^2}. \nonumber
Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.
- \displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{n+1}
- \displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^n
- \displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}
Solución
a. La secuencia de sumas parciales{S_k} satisface
S_1=\dfrac{1}{2}
S_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}
S_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}
S_4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}.
Observe que cada término agregado es mayor que1/2. Como resultado, vemos que
S_1=\dfrac{1}{2}
S_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\left(\dfrac{1}{2}\right)
S_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=3\left(\dfrac{1}{2}\right)
S_4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=4\left(\dfrac{1}{2}\right).
A partir de este patrón podemos ver esoS_k>k\left(\frac{1}{2}\right) por cada enterok. Por lo tanto,{S_k} es sin límites y en consecuencia, diverge. Por lo tanto, la serie infinita\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n}{n+1} diverge.
b. La secuencia de sumas parciales{S_k} satisface
S_1=−1
S_2=−1+1=0
S_3=−1+1−1=−1
S_4=−1+1−1+1=0.
A partir de este patrón podemos ver que la secuencia de sumas parciales es
{S_k}={−1,0,−1,0,…}. \nonumber
Dado que esta secuencia diverge, la serie infinita\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^n diverge.
c. La secuencia de sumas parciales {S_k} satisface
S_1=\dfrac{1}{1⋅2}=\dfrac{1}{2}
S_2=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}
S_3=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}+\dfrac{1}{3⋅4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{4}
S_4=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}+\dfrac{1}{3⋅4}+\dfrac{1}{4⋅5}=\dfrac{4}{5}
S_5=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}+\dfrac{1}{3⋅4}+\dfrac{1}{4⋅5}+\dfrac{1}{5⋅6}=\dfrac{5}{6}.
A partir de este patrón, podemos ver que la suma k^{\text{th}} parcial viene dada por la fórmula explícita
S_k=\frac{k}{k+1} \nonumber .
Desde que k/(k+1)→1, concluimos que la secuencia de sumas parciales converge, y por lo tanto la serie infinita converge a 1. Tenemos
\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}=1. \nonumber
Determinar si la serie\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n+1}{n} converge o diverge.
- Pista
-
Mira la secuencia de sumas parciales.
- Responder
-
La serie diverge porque la suma k^{\text{th}} parcial S_k>k.
La serie armónica
Una serie útil para conocer es la serie armónica. La serie armónica se define como
\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯. \nonumber
Esta serie es interesante porque diverge, pero diverge muy lentamente. Con esto queremos decir que los términos en la secuencia de sumas parciales se {S_k} acercan al infinito, pero lo hacen muy lentamente. Mostraremos que la serie diverge, pero primero ilustramos el lento crecimiento de los términos en la secuencia {S_k} en la siguiente tabla.
k | 10 | 100 | 1000 | 10,00 | 100,000 | 1,000,000 |
---|---|---|---|---|---|---|
S_k | 2.92897 | 5.18738 | 7.48547 | 9.78761 | 12.09015 | 14.39273 |
Incluso después de 1,000,000 términos, la suma parcial sigue siendo relativamente pequeña. De esta tabla, no está claro que esta serie realmente diverja. Sin embargo, podemos demostrar analíticamente que la secuencia de sumas parciales diverge, y por lo tanto la serie diverge.
Para demostrar que la secuencia de sumas parciales diverge, mostramos que la secuencia de sumas parciales no tiene límites. Comenzamos por escribir las primeras sumas parciales varias:
S_1=1
S_2=1+\dfrac{1}{2}
S_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}
S_4=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}.
Observe que para los dos últimos términos en S_4,
\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \nonumber
Por lo tanto, concluimos que
S_4>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+2\left(\frac{1}{2}\right). \nonumber
Usando la misma idea para S_8, vemos que
\displaystyle S_8=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+3\left(\frac{1}{2}\right).
A partir de este patrón, vemos que S_1=1, S_2=1+1/2, S_4>1+2(1/2), y S_8>1+3(1/2). De manera más general, se puede demostrar que S_{2^j}>1+j(1/2) para todos j>1. Ya que 1+j(1/2)→∞, concluimos que la secuencia {S_k} es ilimitada y por lo tanto diverge. En el apartado anterior, afirmamos que las secuencias convergentes están acotadas. En consecuencia, dado {S_k} que no tiene límites, diverge. Así, la serie armónica diverge.
Propiedades algebraicas de la serie convergente
Dado que la suma de una serie infinita convergente se define como un límite de una secuencia, las propiedades algebraicas para las series enumeradas a continuación siguen directamente de las propiedades algebraicas para las secuencias.
Dejar\displaystyle \sum_{n=1}^∞ a_n y\displaystyle \sum_{n=1}^∞ b_n ser series convergentes. Entonces se mantienen las siguientes propiedades algebraicas.
i. La serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n) converge, y\displaystyle \sum^∞_{n=1}(a_n+b_n)=\sum^∞_{n=1}a_n+\sum^∞_{n=1}b_n. (Regla de suma)
ii. La serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n−b_n) converge, y\displaystyle \sum^∞_{n=1}(a_n−b_n)=\sum^∞_{n=1}a_n−\sum^∞_{n=1}b_n. (Regla de diferencia)
iii. Para cualquier número real c, la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞ca_n converge, y\displaystyle \sum^∞_{n=1}ca_n=c\sum^∞_{n=1}a_n. (Regla Múltiple Constante)
Evaluar\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{3}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}\right].
Solución
Demostramos anteriormente que
\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)} = 1 \nonumber
y
\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=2. \nonumber
Dado que ambas series convergen, podemos aplicar las propiedades de Note\PageIndex{1} para evaluar
\sum_{n=1}^∞\left[\frac{3}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}\right]. \nonumber
Usando la regla de suma, escriba
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{3}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}\right]=\sum_{n=1}^∞\frac{3}{n(n+1)}+\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}.
Entonces, usando la regla múltiple constante y las sumas anteriores, podemos concluir que
\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3}{n(n+1)}+\sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}=3\sum^∞_{n=1}\frac{1}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{−1}\sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=3(1)+\left(\frac{1}{2}\right)^{−1}(2)=3+2(2)=7.
Evaluar\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{5}{2^{n−1}}.
- Pista
-
Reescribir como\displaystyle \sum^∞_{n=1}5\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}.
- Responder
-
10
Serie Geométrica
Una serie geométrica es cualquier serie que podamos escribir en la forma
a+ar+ar^2+ar^3+⋯=\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}. \nonumber
Debido a que la relación de cada término en esta serie con respecto al término anterior es r, al número r se le llama la relación. Nos referimos a un como el término inicial porque es el primer término de la serie. Por ejemplo, la serie
\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+⋯ \nonumber
es una serie geométrica con término inicial a=1 y relación r=1/2.
En general, ¿cuándo converge una serie geométrica? Considere la serie geométrica
\sum_{n=1}^∞ar^{n−1} \nonumber
cuando a>0. Su secuencia de sumas parciales {S_k} viene dada por
S_k=\sum_{n=1}^kar^{n−1}=a+ar+ar^2+⋯+ar^{k−1}. \nonumber
Considerar el caso cuando r=1. En ese caso,
S_k=a+a(1)+a(1)^2+⋯+a(1)^{k−1}=ak. \nonumber
Ya que a>0, conocemos ak→∞ como k→∞. Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales no tiene límites y, por lo tanto, diverge. En consecuencia, la serie infinita diverge para r=1. Para r≠1, para encontrar el límite de {S_k}, multiplicar Ecuación por 1−r. Al hacerlo, vemos que
(1−r)S_k=a(1−r)(1+r+r^2+r^3+⋯+r^{k−1})=a[(1+r+r^2+r^3+⋯+r^{k−1})−(r+r^2+r^3+⋯+r^k)]=a(1−r^k). \nonumber
Todos los demás términos cancelan.
Por lo tanto,
S_k=\dfrac{a(1−r^k)}{1−r}para r≠1.
De nuestra discusión en el apartado anterior, sabemos que la secuencia geométrica r^k→0 si |r|<1 y que r^k diverge si |r|>1 o r=±1. Por lo tanto, para |r|<1, S_k→\dfrac{a}{1−r} y tenemos
\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}\; \text{if}\; |r|<1. \nonumber
Si |r|≥1, S_k diverge, y por lo tanto
\sum_{n=1}^∞ar^{n−1} \; \text{diverges if}\; |r|≥1. \nonumber
Una serie geométrica es una serie de la forma
\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=a+ar+ar^2+ar^3+⋯. \nonumber
Si |r|<1, la serie converge, y
\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}\; \text{for}\; |r|<1. \nonumber
Si |r|≥1, la serie diverge.
Las series geométricas a veces aparecen en formas ligeramente diferentes. Por ejemplo, a veces el índice comienza en un valor distinto de n=1 o el exponente implica una expresión lineal para n otro que n−1. Siempre y cuando podamos reescribir la serie en la forma dada por Ecuación, se trata de una serie geométrica. Por ejemplo, considere la serie
\sum_{n=0}^∞\left(\frac{2}{3}\right)^{n+2}. \nonumber
Para ver que se trata de una serie geométrica, escribimos los primeros términos:
\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(\frac{2}{3}\right)^{n+2}=\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^3+\left(\frac{2}{3}\right)^4+⋯=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)^2+⋯.
Vemos que el término inicial es a=4/9 y la relación es r=2/3. Por lo tanto, la serie puede escribirse como
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)^{n−1}.
Ya que r=2/3<1, esta serie converge, y su suma viene dada por
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)^{n−1}=\frac{4/9}{1−2/3}=\frac{4}{3}.
Determinar si cada una de las siguientes series geométricas converge o diverge, y si converge, encuentra su suma.
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−3)^{n+1}}{4^{n−1}}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}e^{2n}
Solución
a. Escribiendo los primeros términos de la serie, tenemos
\begin{align*} \sum_{n=1}^∞\frac{(−3)^{n+1}}{4^{n−1}} &= \frac{(−3)^2}{4^0}+\frac{(−3)^3}{4}+\frac{(−3)^4}{4^2}+⋯ \\[4pt] &=(−3)^2+(−3)^2⋅\left(\frac{−3}{4}\right)+(−3)^2⋅\left(\frac{−3}{4}\right)^2+⋯ \\[4pt] &=9+9⋅\left(\frac{−3}{4}\right)+9⋅\left(\frac{−3}{4}\right)^2+⋯. \end{align*}
El término inicial a=−3 y la relación r=−3/4. Ya que |r|=3/4<1, la serie converge a
\frac{9}{1−(−3/4)}=\frac{9}{7/4}=\frac{36}{7}. \nonumber
b. Escribir esta serie como
e^2\sum_{n=1}^∞(e^2)^{n−1} \nonumber
podemos ver que esta es una serie geométrica donde r=e^2>1. Por lo tanto, la serie diverge.
Determinar si la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\frac{−2}{5}\right)^{n−1} converge o diverge. Si converge, encuentra su suma.
- Pista
-
r=−2/5
- Responder
-
5/7
Ahora dirigimos nuestra atención a una agradable aplicación de series geométricas. Mostramos cómo se pueden usar para escribir decimales repetidos como fracciones de enteros.
Usa una serie geométrica para escribir 3.\bar{26} como una fracción de enteros.
Solución
Desde 3.\bar{26}—=3.262626…, el principio escribimos
\begin{align*} 3.262626… &= 3+\frac{26}{100}+\frac{26}{1000}+\frac{26}{100,000}+⋯ \\[4pt] &=3+\frac{26}{10^2}+\frac{26}{10^4}+\frac{26}{10^6}+⋯. \end{align*}
Ignorando el término 3, el resto de esta expresión es una serie geométrica con término inicial a=26/10^2 y relación r=1/10^2. Por lo tanto, la suma de esta serie es
\frac{26/10^2}{1−(1/10^2)}=\frac{26/10^2}{99/10^2}=\frac{26}{99}. \nonumber
Así,
3.262626…=3+\frac{26}{99}=\frac{323}{99}.
Escribir 5.2\bar{7} como una fracción de enteros.
- Pista
-
Al expresar este número como una serie, encuentra una serie geométrica con término inicial a=7/100 y relación r=1/10.
- Responder
-
475/90
Defina una secuencia de figuras \{F_n\} recursivamente de la siguiente manera (Figura\PageIndex{2}). Dejar F_0 ser un triángulo equilátero con lados de longitud 1. Para n≥1, deja F_n ser la curva creada quitando el tercio medio de cada lado de F_{n−1} y reemplazándolo con un triángulo equilátero apuntando hacia afuera. La figura limitante como n→∞ se conoce como copo de nieve de Koch.

- Encuentra la longitud L_n del perímetro de F_n. \displaystyle \lim_{n→∞}L_nEvaluar para encontrar la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch.
- Encuentra el área A_n de figura F_n. \displaystyle \lim_{n→∞}A_nEvaluar para encontrar el área del copo de nieve de Koch.
Solución
a. vamos a N_n denotar el número de lados de la figura F_n. Ya que F_0 es un triángulo, N_0=3. Dejar ln denotar la longitud de cada lado de F_n. Dado que F_0 es un triángulo equilátero con lados de longitud l_0=1, ahora necesitamos determinar N_1 y l_1. Dado que F_1 se crea eliminando el tercio medio de cada lado y reemplazando ese segmento de línea con dos segmentos de línea, para cada lado de F_0, obtenemos cuatro lados adentro F_1. Por lo tanto, el número de lados para F_1 es
N_1=4⋅3.
Dado que la longitud de cada uno de estos nuevos segmentos de línea es 1/3 la longitud de los segmentos de línea en F_0, la longitud de los segmentos de línea F_1 viene dada por
l_1=\frac{1}{3}⋅1=\frac{1}{3}.
Del mismo modo F_2, para, dado que el tercio medio de cada lado de F_1 se elimina y se reemplaza por dos segmentos de línea, el número de lados adentro F_2 viene dado por
N_2=4N_1=4(4⋅3)=4^2⋅3.
Dado que la longitud de cada uno de estos lados es 1/3 la longitud de los lados de F_1, la longitud de cada lado de la figura F_2 viene dada por
l_2=\frac{1}{3}⋅l_1=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3}\right)^2.
De manera más general, ya que F_n se crea eliminando el tercio medio de cada lado de F_{n−1} y reemplazando ese segmento de línea con dos segmentos de línea de longitud \frac{1}{3}l_{n−1} en forma de triángulo equilátero, lo sabemos N_n=4N_{n−1} y l_n=\dfrac{l_{n−1}}{3}. Por lo tanto, el número de lados de la figura F_n es
N_n=4^n⋅3
y la longitud de cada lado es
l_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n. \nonumber
Por lo tanto, para calcular el perímetro de F_n, multiplicamos el número de lados N_n y la longitud de cada lado l_n. Concluimos que el perímetro de F_n está dado por
L_n=N_n⋅l_n=3⋅\left(\frac{4}{3}\right)^n \nonumber
Por lo tanto, la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch es
L=\lim_{n→∞}L_n=∞. \nonumber
b. Dejar T_n denotar el área de cada nuevo triángulo creado al formar F_n. For n=0, T_0 es el área del triángulo equilátero original. Por lo tanto, T_0=A_0=\sqrt{3}/4. Porque n≥1, dado que las longitudes de los lados del nuevo triángulo son 1/3 la longitud de los lados de F_{n−1}, tenemos
T_n=\left(\frac{1}{3}\right)^2⋅T_{n−1}=\frac{1}{9}⋅T_{n−1}. \nonumber
Por lo tanto, T_n=\left(\frac{1}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}. Dado que se forma un nuevo triángulo a cada lado de F_{n−1},
A_n=A_{n−1}+N_{n−1}⋅T_n=A_{n−1}+(3⋅4_{n−1})⋅\left(\frac{1}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=A_{n−1}+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}. \nonumber
Escribiendo los primeros términos A_0,A_1,A_2, vemos que
A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}
A_1=A_0+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)\right]
A_2=A_1+\frac{3}{4}⋅(\frac{4}{9})^2⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)\right]+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^2⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}[1+\frac{3}{4}⋅(\frac{4}{9})+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^2].
De manera más general,
A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}\left(\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)\right].
4/9Factorizando cada término dentro de los paréntesis internos, reescribimos nuestra expresión como
A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}\right)\right].
La expresión 1+\left(\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1} es una suma geométrica. Como se indicó anteriormente, esta suma satisface
1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}=\dfrac{1−(4/9)^n}{1−(4/9)}.
Sustituyendo esta expresión por la expresión anterior y simplificando, concluimos que
A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{1}{3}(\frac{1−(4/9)^n}{1−(4/9)})\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{8}{5}−\frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right]. \nonumber
Por lo tanto, la zona del copo de nieve de Koch es
\displaystyle A=\lim_{n→∞}A_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}.
Análisis
El copo de nieve de Koch es interesante porque tiene área finita, pero perímetro infinito. Si bien en un principio esto puede parecer imposible, recuerde que ya ha visto ejemplos similares anteriormente en el texto. Por ejemplo, considere la región delimitada por la curva y=1/x^2 y el x eje -en el intervalo [1,∞). Desde la integral impropia
∫^∞_1\frac{1}{x^2}\,dx \nonumber
converge, el área de esta región es finita, a pesar de que el perímetro es infinito.
Serie telescópica
Considera la serie\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}. Discutimos esta serie en Ejemplo, mostrando que la serie converge escribiendo las primeras varias sumas parciales S_1,S_2,…,S_6 y notando que todas son de la forma S_k=\dfrac{k}{k+1}. Aquí utilizamos una técnica diferente para demostrar que esta serie converge. Mediante el uso de fracciones parciales, podemos escribir
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}. \nonumber
Por lo tanto, la serie se puede escribir como
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}\right]=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)+⋯.
Escribiendo los primeros varios términos en la secuencia de sumas parciales {S_k}, vemos que
S_1=1−\frac{1}{2}
S_2=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)=1−\frac{1}{3}
S_3=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)=1−\frac{1}{4}.
En general,
S_k=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)+⋯+\left(\frac{1}{k}−\frac{1}{k+1}\right)=1−\dfrac{1}{k+1}.
Notamos que los términos intermedios se cancelan entre sí, dejando solo el primer y último término. En cierto sentido, la serie colapsa como un spyglass con tubos que desaparecen entre sí para acortar el telescopio. Por esta razón, llamamos a una serie que tiene esta propiedad una serie telescópica. Para esta serie, desde S_k=1−1/(k+1) y 1/(k+1)→0 como k→∞, la secuencia de sumas parciales converge a 1, y por lo tanto la serie converge a 1.
Una serie telescópica es una serie en la que la mayoría de los términos cancelan en cada una de las sumas parciales, dejando sólo algunos de los primeros términos y algunos de los últimos términos.
Por ejemplo, cualquier serie del formulario
\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)+(b_3−b_4)+⋯
es una serie telescópica. Esto lo podemos ver escribiendo algunas de las sumas parciales. En particular, vemos que
S_1=b_1−b_2
S_2=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)=b_1−b_3
S_3=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)+(b_3−b_4)=b_1−b_4.
En general, la késima suma parcial de esta serie es
S_k=b_1−b_{k+1}.
Dado que la késima suma parcial puede simplificarse a la diferencia de estos dos términos, la secuencia de sumas parciales {S_k} convergerá si y sólo si la secuencia {b_{k+1}} converge. Además, si la secuencia b_{k+1} converge a algún número finito B, entonces la secuencia de sumas parciales converge a b_1−B, y por lo tanto
\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=b_1−B.
En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar estas ideas para analizar una serie telescópica de esta forma.
Determinar si la serie telescópica
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)−\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]
converge o diverge. Si converge, encuentra su suma.
Solución
Al escribir términos en la secuencia de sumas parciales, podemos ver que
S_1=\cos(1)−\cos(\frac{1}{2})
S_2=(\cos(1)−\cos(\frac{1}{2}))+(\cos(\frac{1}{2})−\cos(\frac{1}{3}))=\cos(1)−\cos(\frac{1}{3})
S_3=(\cos(1)−\cos(\frac{1}{2}))+(\cos(\frac{1}{2})−\cos(\frac{1}{3}))+(\cos(\frac{1}{3})−\cos(\frac{1}{4}))
=\cos(1)−\cos(\frac{1}{4}).
En general,
S_k=\cos(1)−\cos\left(\frac{1}{k+1}\right).
Ya que 1/(k+1)→0 como k→∞ y \cos x es una función continua, \cos(1/(k+1))→\cos(0)=1. Por lo tanto, concluimos que S_k→\cos(1)−1. La serie telescópica converge y la suma viene dada por
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)−\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]=\cos(1)−1.
Determinar si\displaystyle \sum^∞_{n=1}[e^{1/n}−e^{1/(n+1)}] converge o diverge. Si converge, encuentra su suma.
- Pista
-
Escribe la secuencia de sumas parciales para ver qué términos cancelan.
- Responder
-
e−1
Hemos demostrado que la serie armónica\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n} diverge. Aquí investigamos el comportamiento de las sumas parciales S_k como k→∞. En particular, mostramos que se comportan como la función logaritmo natural al mostrar que existe una constante γ tal que
\displaystyle \sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}−\ln k\right)→γcomo k→∞.
Esta constante γ se conoce como la constante de Euler.
1. Dejar\displaystyle T_k=\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}−\ln k\right). Evaluar T_k para diversos valores de k.
2. Para T_k como se define en la parte 1. mostrar que la secuencia {T_k} converge mediante el uso de los siguientes pasos.
a. Mostrar que la secuencia {T_k} es monótona decreciente. (Pista: Mostrar que \ln(1+1/k>1/(k+1))
b. Demostrar que la secuencia {T_k} está delimitada por debajo de cero. (Pista: Expresar \ln k como una integral definitiva.)
c. Utilizar el Teorema de Convergencia Monótona para concluir que la secuencia {T_k} converge. El límite γ es la constante de Euler.
3. Ahora estime a qué distancia T_k está γ para un entero dado k. Demuéstralo k≥1, 0<T_k−γ≤1/k mediante el uso de los siguientes pasos.
a. Demostrar que \ln(k+1)−\ln k<1/k.
b. Utilice el resultado de la parte a. para mostrar que para cualquier entero k,
T_k−T_{k+1}<\frac{1}{k}−\frac{1}{k+1}. \nonumber
c. Para cualquier número entero k y j tal que j>k, T_k−T_j exprese como suma telescópica escribiendo
T_k−T_j=(T_k−T_{k+1})+(T_{k+1}−T_{k+2})+(T_{k+2}−T_{k+3})+⋯+(T_{j−1}−T_j). \nonumber
Utilice el resultado de la parte b. combinado con esta suma telescópica para concluir que
T_k−T_j<\frac{1}{k}−\frac{1}{j}. \nonumber
a. Aplicar el límite a ambos lados de la desigualdad en la parte c. para concluir que
T_k−γ≤\frac{1}{k}. \nonumber
e. Estimar γ con una precisión dentro de 0.001.
Conceptos clave
- Dada la serie infinita
\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯
y la secuencia correspondiente de sumas parciales {S_k} donde
\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k,
la serie converge si y sólo si la secuencia {S_k} converge.
- La serie geométrica\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1} converge si |r|<1 y diverge si |r|≥1. For |r|<1,
\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}.
- La serie armónica
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯
diverge.
- Una serie de la forma\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=[b_1−b_2]+[b_2−b_3]+[b_3−b_4]+⋯+[b_n−b_{n+1}]+⋯ es una serie telescópica. La suma k^{\text{th}} parcial de esta serie viene dada por S_k=b_1−b_{k+1}. La serie convergerá si y sólo si\displaystyle \lim_{k→∞} b_{k+1} existe. En ese caso,
\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=b_1−\lim_{k→∞}(b_{k+1}).
Ecuaciones Clave
- Serie armónica
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯
- Suma de una serie geométrica
\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}para |r|<1
Glosario
- convergencia de una serie
- una serie converge si la secuencia de sumas parciales para esa serie converge
- divergencia de una serie
- una serie diverge si la secuencia de sumas parciales para esa serie diverge
- serie geométrica
- una serie geométrica es una serie que se puede escribir en la forma
\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=a+ar+ar^2+ar^3+⋯
- serie armónica
- la serie armónica toma la forma
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯
- serie infinita
- una serie infinita es una expresión de la forma
\displaystyle a_1+a_2+a_3+⋯=\sum_{n=1}^∞a_n
- suma parcial
-
la suma kth parcial de la serie infinita\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n es la suma finita
\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k
- serie telescópica
- una serie telescópica es aquella en la que la mayoría de los términos cancelan en cada una de las sumas parciales