13.2E: Ejercicios para la Sección 13.2

Tomando Derivadas de Funciones Vectoriales

En las preguntas 1 a 10, computar la derivada de cada función valorada por vector.

1)\(\vecs r(t)=t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+3t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{t^3}{6}\,\hat{\mathbf{k}}\)

Contestar

\(\vecs r'(t)= 3t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+6t\,\hat{\mathbf{j}}+\frac{1}{2}t^2\,\hat{\mathbf{k}}\)

2)\(\vecs r(t)=\sin(t) \,\hat{\mathbf{i}}+\cos(t) \,\hat{\mathbf{j}}+e^t \,\hat{\mathbf{k}}\)

3)\(\vecs r(t)=e^{−t} \,\hat{\mathbf{i}}+\sin(3t) \,\hat{\mathbf{j}}+10 \sqrt{t} \,\hat{\mathbf{k}}\). Aquí se muestra un boceto de la gráfica. Observe la naturaleza periódica variable de la gráfica.

Contestar

\(\vecs r'(t) = −e^{−t}\,\hat{\mathbf{i}}+3\cos (3t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{5}{\sqrt{t}}\,\hat{\mathbf{k}}\)

4)\(\vecs r(t)=e^t \,\hat{\mathbf{i}}+2e^t \,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}\)

5)\(\vecs r(t)=\,\hat{\mathbf{i}}+\,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}\)

Contestar

\(\vecs r'(t) = ⟨0,0,0⟩ = \vecs 0\)

6)\(\vecs r(t)=te^t \,\hat{\mathbf{i}}+t \ln(t) \,\hat{\mathbf{j}}+\sin(3t)\,\hat{\mathbf{k}}\)

7)\(\vecs r(t)=\left\langle\dfrac{1}{t+1},\,\arctan(t), \,\ln t^3 \right\rangle\)

Contestar

\(\vecs r'(t) = ⟨\dfrac{−1}{(t+1)^2},\dfrac{1}{1+t^2},\dfrac{3}{t}⟩\)

8)\(\vecs r(t)= \langle\tan 2t, \,\sec 2t, \,\sin ^2 t\rangle\)

9)\(\vecs r(t)=\langle 3,\, 4 \sin (3t),\, t \cos(t)\rangle\)

Contestar

\(\vecs r'(t) = ⟨0,12 \cos(3t), \cos t−t \sin t⟩\)

10)\(\vecs r(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+te^{−2t} \,\hat{\mathbf{j}}−5e^{−4t} \,\hat{\mathbf{k}}\)

11) a. Describir y esbozar la curva representada por la función vectorizada\(\vecs r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩\).

b. Localizar el punto más alto de la curva\(\vecs r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩\) y dar el valor de la función en este punto.

Contestar

b.\(\vecs r(t)=⟨18,9⟩\) en\( t=3\)

12) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva\(\vecs r(t)=⟨t, t^2,t⟩\) en\(t=2\).

13) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva\(\vecs r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩\) en\(t=0\).

Contestar

\(x=1+t,\quad y=1−t,\quad z=0\)

14) Calcular la primera, segunda y tercera derivadas de\(\vecs r(t)=3t \,\hat{\mathbf{i}}+6\ln(t) \,\hat{\mathbf{j}}+5e^{−3t}\,\hat{\mathbf{k}}\).

Describir el movimiento con funciones con valores vectoriales

En las preguntas 15 a 17, encuentre la velocidad y aceleración en los momentos dados, grafique la gráfica de la función de posición y dibuje los vectores de velocidad y aceleración en las ubicaciones correspondientes de la curva.

15)\(\vecs r(t)= t \,\hat{\mathbf{i}}+t^3\,\hat{\mathbf{j}}\), en\(t = 0\) y en\(t = 1\)

Contestar

\ (\ begin {array} {lll}\, & t = 0: & t = 1:\\
\ vecs r (t) = t\,\ mathbf {\ hat i} + t^3\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs r (0) =\ vecs 0, &\ vecs r (1) =\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}\\
\ vecs v (t) =\ mathbf {\ hat i} + 3t^2\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs v (0) =\ mathbf {\ hat i}, &\ vecs v (1) =\ mathbf {\ hat i} + 3\,\ mathbf {\ hat j}\
\ vecs a (t) = 6t\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs a (0) =\ vecs 0, &\ vecs a (1) = 6\,\ mathbf {\ hat j}\ end {array}\)

16)\(\vecs r(t)= \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin 3t \,\hat{\mathbf{j}}\), en\(t = 0\), en\(t = \frac{\pi}{4}\), y en\(t = \frac{\pi}{2}\)

17)\(\vecs r(t)= \ln t \,\hat{\mathbf{i}}+(t-2)\,\hat{\mathbf{j}}\), en\(t = 1\) y en\(t = 2\)

Contestar

\ (\ begin {array} {lll}\, & t = 1: & t =2:\\
\ vecs r (t) = (\ ln t)\,\ mathbf {\ hat i} + (t - 2)\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs r (1) = -\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs r (2) = (\ ln 2)\,\ mathbf {\ hat i}\\
\ vecs v (t) =\ dfrac {1} {t}\,\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs v (1) =\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs v (2) =\ frac {1} {2}\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}\
\ vecs a (t) = -\ dfrac {1} {t^2}\,\ mathbf {\ hat i},\ mathbf {\ hat i}, &\ vecs a (1) = -\ mathbf {\ hat i}, &\ vecs a (2) = -\ frac {1} {4}\,\ mathbf {\ hat i}\ end {array}\)

En las preguntas 18 a 24, encuentra la velocidad, velocidad y aceleración de una partícula con la función de posición dada. Recuerde que la velocidad es la magnitud de la velocidad representada por\(‖\vecs v(t)‖\) o\(‖\vecs r′(t)‖\).

18)\(\vecs r(t)=e^{2t} \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}\)

19)\(\vecs r(t)=\cos t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t^3 \,\hat{\mathbf{j}}\)

Contestar

\(\vecs v(t)=-3t^2\sin t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+3t^2\cos t^3 \,\hat{\mathbf{j}}, \quad \text{speed}(t)=‖\vecs v(t)‖=3t^2, \quad \vecs a(t) = \left( -6t\sin t^3 - 9t^4\cos t^3 \right) \,\hat{\mathbf{i}}+\left( 6t\cos t^3 - 9t^4\sin t^3 \right) \,\hat{\mathbf{j}}\)

20)\(\vecs r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩\)

21)\(\vecs r(t)=⟨t+ \cos t,t− \sin t⟩\)

Contestar

\(\vecs v(t)=⟨1− \sin t,1−\cos t⟩, \quad \text{speed}(t)=‖\vecs v(t)‖=\sqrt{3−2( \sin t+\cos t)}, \quad \vecs a(t) = ⟨- \cos t, \sin t⟩\)

22)\(\vecs r(t)=\dfrac{2t−1}{2t+1} \,\hat{\mathbf{i}}+\ln(1−4t^2) \,\hat{\mathbf{j}}\)

23)\(\vecs r(t)=\cos 3t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin 3t \,\hat{\mathbf{j}} + 0.5t \,\hat{\mathbf{k}} \)

Contestar

\(\vecs v(t)=-3\sin 3t \,\hat{\mathbf{i}}+3\cos 3t \,\hat{\mathbf{j}} +0.5 \,\mathbf{\hat k}, \quad \text{speed}(t)=‖\vecs v(t)‖=\sqrt{9.25}\text{ units/sec}, \quad \vecs a(t) = -9\cos 3t \,\hat{\mathbf{i}}-9\sin 3t \,\hat{\mathbf{j}}\)

24)\(\vecs r(t)=e^{-t} \,\hat{\mathbf{i}}+(\ln t) \,\hat{\mathbf{j}}+(\sin 7t)\,\hat{\mathbf{k}}\)

25) Considerar el vector de posición para que una partícula sea\(\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}+t^3 \,\hat{\mathbf{k}}\). El gráfico se muestra aquí:

a. Encuentra el vector de velocidad en cualquier momento.

b. encontrar la velocidad de la partícula en el tiempo\(t=2\) sec.

c. Encuentra la aceleración en el tiempo\(t=2\) sec.

Contestar

a.\(\vecs v(t)=\hat{\mathbf{i}}+2t\,\hat{\mathbf{j}}+3t^2 \,\hat{\mathbf{k}}\)
b.\(\sqrt{161}\) unidades/seg
Tenga en cuenta que\(\text{speed}(t) = \|\vecs v(t)\| = \sqrt{1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{1 + 4t^2 + 9t^4}.\)
Por lo tanto,\(\text{speed}(2) = \sqrt{1 + 16 + 9(16)} = \sqrt{161}\) unidades/seg.
c. Desde\(\vecs a(t)=2\,\hat{\mathbf{j}}+6t \,\hat{\mathbf{k}},\)\(\vecs a(2) = 2\,\hat{\mathbf{j}}+12 \,\hat{\mathbf{k}}\)

26) Una partícula viaja a lo largo de la trayectoria de una elipse con la ecuación\(\vecs r(t)=\cos t \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+0 \,\hat{\mathbf{k}}\). Encuentra lo siguiente:

a. Velocidad de la partícula

Contestar

\(\vecs v(t)=⟨−\sin t,2 \cos t,0⟩\)

b. Velocidad de la partícula a\(t=\frac{π}{4}\)

c. Aceleración de la partícula\(t=\frac{π}{4}\)

Contestar

\(\vecs a(t)=⟨−\frac{\sqrt{2}}{2},−\sqrt{2},0⟩\)

27) Mostrar que si la velocidad de una partícula que viaja a lo largo de una curva representada por una función de valor vectorial es constante, entonces la función de velocidad siempre es perpendicular a la función de aceleración.

Contestar

\(\begin{align*} ‖\vecs v(t)‖ \; & = k \\ \vecs v(t)·\vecs v(t) \; & = k^2 \\ \frac{d}{dt}\Big(\vecs v(t)·\vecs v(t)\Big) \; & =\frac{d}{dt}\Big(k^2\Big)=0 \\ \vecs v(t)·\vecs v′(t)+\vecs v′(t)·\vecs v(t) \; & = 0 \\ 2\vecs v(t)·\vecs v′(t) \; & =0 \\ \vecs v(t)·\vecs v′(t) \; & = 0\end{align*}\)

La última afirmación implica que la velocidad y la aceleración son perpendiculares u ortogonales.

28) Dada la función vectorizada\(\vecs r(t)=⟨\tan t,\sec t,0⟩\) (aquí se muestra la gráfica), encuentra lo siguiente:

a. Velocidad

Contestar

\(\vecs v(t)=\langle \sec ^2 t,\,\sec t \tan t\rangle\)

b. velocidad

Contestar

\(‖\vecs v(t)‖=\sqrt{\sec ^4 t+\sec ^2 t \tan ^2 t}=\sqrt{(\sec ^2 t)(\sec ^2 t+\tan ^2 t)}\)

c. Aceleración

Contestar

\(\vecs a(t)=\langle 2\sec ^2 t\tan t,\,\sec t \tan^2 t+\sec^3 t\rangle\)

29) Encontrar la velocidad mínima de una partícula viajando a lo largo de la curva\(\vecs r(t)=⟨t+\cos t,t−\sin t⟩\), donde\(t∈[0,2π)\). Entonces también encuentra su velocidad máxima en este intervalo.

Contestar

La velocidad mínima es\(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\approx 0.41421\) cuando\(t=\tfrac{\pi}{4}\).
Max. la velocidad es\(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\approx 2.41421\) cuando\(t=\tfrac{5\pi}{4}\).

Para las preguntas 30 - 31, considere una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio\(b\) según la función\(\vecs r(t)=b \cos(\omega t) \,\hat{\mathbf{i}}+b\sin(\omega t) \,\hat{\mathbf{j}}\), donde\(\omega\) está la velocidad angular,\(\dfrac{d \theta}{dt}\).

30) Mostrar que la velocidad de la partícula es proporcional a la velocidad angular.

31) Encuentra la función de velocidad y muestra que siempre\(\vecs v(t)\) es ortogonal a\(\vecs r(t)\).

Contestar

\(\vecs r'(t)=−b \omega \sin( \omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+b \omega \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}\). Para mostrar ortogonalidad, tenga en cuenta que\(\vecs r'(t)⋅\vecs r(t)=0\).

Suavidad de las funciones con valores vectoriales

Para las preguntas 32 a 40,

a. Determinar cualquier valor\(t\) en el que no\(\vecs r\) sea suave.

b. Determinar los intervalos abiertos en los que\(\vecs r\) es suave.

c. Grafique la función vectorizada y describa su comportamiento en los puntos donde no sea suave.

32)\(\vecs r(t) = \langle 3t, 5t^2 - 1\rangle\)

33)\(\vecs r(t)= t^3\,\hat{\mathbf{i}}+5t^2 \,\hat{\mathbf{j}}\)

Contestar

a. no\(\vecs r\) es suave en\(t = 0\), ya que\(\vecs r'(0) = \vecs 0\).
b.\(\vecs r\) es suave en los intervalos abiertos\((-\infty, 0)\) y\((0, \infty)\).
c. Hay una cúspide cuando\(t = 0\).

34)\(\vecs r(t)=\langle 5,\, 2 \sin (t),\, \cos(t)\rangle\)

35)\(\vecs r(t) = \langle t^3 - 3t^2, 7\rangle\)

Contestar

a. no\(\vecs r\) es suave en\(t = 0\) y\(t = 2\), desde\(\vecs r'(0) = \vecs 0\) y\(\vecs r'(2) = \vecs 0\).
b.\(\vecs r\) es suave en los intervalos abiertos\((-\infty, 0)\),\((0, 2)\), y\((2, \infty)\).
c. El movimiento en la curva se invierte a lo largo de la misma trayectoria en ambos\(t = 0\) y\(t = 2\).

36)\(\vecs r(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+t^3 \,\hat{\mathbf{j}}−5e^{−4t} \,\hat{\mathbf{k}}\)

37)\(\vecs r(t)=\left\langle \ln(t^2+4t+5), \,\dfrac{t^3}{3} - 4t,\, 5\right\rangle\)

Contestar

a. no\(\vecs r\) es suave en\(t = -2\), ya que\(\vecs r'(-2) = \vecs 0\).
Ya que el dominio de\(\vecs r\) es\((-\infty, \infty)\), esto es todo lo que tenemos que eliminar.
b.\(\vecs r\) es suave en los intervalos abiertos\((-\infty, -2)\) y\((-2, \infty)\).
c. Hay una cúspide cuando\(t = -2\).

38)\(\vecs r(t) = \left( 5\cos t - \cos 5t\right) \,\hat{\mathbf{i}} + \left( 5\sin t - \sin 5t \right) \,\hat{\mathbf{j}}\), para\(0 \le t \le 2\pi\)

39)\(\vecs r(t)=\sqrt{t^3 + 9t^2} \,\hat{\mathbf{i}}+\left(t^2 +12t\right) \,\hat{\mathbf{j}}+7\,\hat{\mathbf{k}}\)

Contestar

a. El dominio de\(\vecs r\) es\([-9, \infty)\).
Y no\(\vecs r\) es suave en\(t = -6\), ya que\(\vecs r'(-6) = \vecs 0\).
El dominio de\(\vecs r'\) es\((-9, \infty)\), ya que\(\vecs r'\) está indefinido en\(t = -9\).
b.\(\vecs r\) es suave en los intervalos abiertos\((-9, -6)\) y\((-6, \infty)\).
c. Hay una cúspide cuando\(t = -6\).

40)\(\vecs r(t)= \cos^3 t\,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}\), para\(0 \le t \le 2\pi\)

Contestar

a. El dominio de\(\vecs r\) es\((-\infty, \infty)\).
\(\vecs r'(t) = -3(\cos^2 t)(\sin t)\,\hat{\mathbf{i}}+\cos t \,\hat{\mathbf{j}}\). Su dominio también lo es\((-\infty, \infty)\).
Pero tenga en cuenta que ambos componentes tienen un factor de\(\cos t\), por lo que ambos componentes serán\(0\) cuándo\(\cos t = 0\).
Por lo tanto, no\(\vecs r\) es suave en\(t = \frac{\pi}{2}\) y en\(t = \frac{3\pi}{2}\), desde\(\vecs r'\left( \frac{\pi}{2}\right) = \vecs 0\) y\(\vecs r'\left( \frac{3\pi}{2}\right) = \vecs 0\). Tenga en cuenta entonces que no\(\vecs r\) es suave para ningún múltiplo impar de\(\frac{\pi}{2}\), es decir para\(t = \frac{(2n + 1)\pi}{2}\), para cualquier valor entero\(n\).
b.\(\vecs r\) es suave en los intervalos abiertos\(\left(\dfrac{(2n - 1)\pi}{2}, \dfrac{(2n + 1)\pi}{2}\right)\), para cualquier valor entero\(n\).
c. Hay una cúspide cuando\(t = \dfrac{(2n + 1)\pi}{2}\), para cualquier valor entero\(n\).

Propiedades de la Derivada

Para preguntas, 41 - 43, evaluar cada expresión dado que\(\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2 \,\hat{\mathbf{j}}−t^4 \,\hat{\mathbf{k}} \) y\(\vecs s(t)=\sin(t) \,\hat{\mathbf{i}}+e^t \,\hat{\mathbf{j}}+ \cos(t) \,\hat{\mathbf{k}} \)

41)\(\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t^2)\big]\)

Contestar

\(\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t^2)\big] = ⟨2t,4t^3,−8t^7⟩\)

42)\(\dfrac{d}{dt}\big[t^2⋅\vecs s(t)\big]\)

43)\(\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t)⋅\vecs s(t)\big]\)

Contestar

\(\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t)⋅\vecs s(t)\big]=\sin t+2te^t−4t^3 \cos t+t\cos t+t^2e^t+t^4\sin t\)

44) Encontrar\(\vecs r'(t)⋅\vecs r''(t) \; for \; \vecs r(t)=−3t^5 \,\hat{\mathbf{i}}+5t \,\hat{\mathbf{j}}+2t^2 \,\hat{\mathbf{k}}\).

Contestar

\(\vecs r'(t)⋅\vecs r''(t) = 900t^7+16t\)

45) Dado\(\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+3t \,\hat{\mathbf{j}}+t^2 \,\hat{\mathbf{k}}\) y\(\vecs u(t)=4t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+t^3 \,\hat{\mathbf{k}}\), encontrar\(\frac{d}{dt}(\vecs r(t) \times \vecs u(t))\).

46) Evaluar\(\dfrac{d}{dt}\big[\vecs u(t) \times\vecs u′(t)\big]\) dado\(\vecs u(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}−2t \,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}\).

Contestar

\(\dfrac{d}{dt}\big[\vecs u(t) \times\vecs u′(t)\big] = 0 \,\hat{\mathbf{i}} +2 \,\hat{\mathbf{j}}+4t \,\hat{\mathbf{k}}\)

47) Dado\(\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+2\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+2 \cos t \,\hat{\mathbf{k}}\) y\(\vecs u(t)=\dfrac{1}{t} \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+2 \cos t \,\hat{\mathbf{k}}\), encontrar lo siguiente:

a.\(\vecs r(t) \times \vecs u(t)\)

Contestar

\(\vecs r(t) \times \vecs u(t) = \left\langle 0, \;2(\cos t)\left(\frac{1}{t}-t\right),\; 2 (\sin t)\left(t- \frac{1}{t}\right)\right\rangle\)

b.\(\frac{d}{dt}\big(\vecs r(t) \times \vecs u(t)\big)\)

Contestar

\(\frac{d}{dt}\big(\vecs r(t) \times \vecs u(t)\big) = \left\langle 0, \;2(\sin t)\left(t− \frac{1}{t}\right)−2 (\cos t)\left(1+ \frac{1}{t^2}\right),\;2 \left(\sin t\right)\left(1+ \frac{1}{t^2}\right)+2 \left(\cos t\right)\left(t−\frac{1}{t}\right)\right\rangle\)

c. Ahora, use la regla del producto para la derivada del producto cruzado de dos vectores y muestre que este resultado es el mismo que la respuesta para el problema anterior.

Vectores de tangentes unitarios

Para las preguntas 48 - 51, encuentre un vector tangente unitario en el valor indicado de\(t\).

48)\(\vecs r(t)=3t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+2t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{t} \,\hat{\mathbf{k}}; \quad t=1\)

49)\(\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin(2t) \,\hat{\mathbf{j}}+\cos(3t) \,\hat{\mathbf{k}}; \quad t=\frac{π}{3}\)

Contestar

\(\vecs r'\left(\frac{π}{3}\right) = \langle 1, \,-1,0\rangle\)es un vector tangente, por lo que un vector tangente unitario sería:
\(\frac{1}{\sqrt{2}}⟨1,−1,0⟩ \quad = \quad \langle \frac{\sqrt{2}}{2}, \,-\frac{\sqrt{2}}{2},\, 0\rangle\)

50)\(\vecs r(t)=\cos(2t) \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t^2 \,\hat{\mathbf{k}};\quad t=\frac{π}{2}\)

51)\(\vecs r(t)=3e^t \,\hat{\mathbf{i}}+2e^{−3t} \,\hat{\mathbf{j}}+4e^{2t} \,\hat{\mathbf{k}}; \quad t= \ln(2)\)

Contestar

\(\vecs r'(\ln(2))= ⟨6,−\frac{3}{4},32⟩\)es un vector tangente, por lo que un vector tangente unitario sería:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1060.5625}}\left\langle 6,−\frac{3}{4},32\right\rangle \quad = \quad \left\langle \dfrac{24\sqrt{16969}}{16969}, -\dfrac{12\sqrt{16969}}{67876}, \frac{128\sqrt{16969}}{16969}\right\rangle\)

Para las preguntas 52 - 58, encuentre el vector tangente unitario\(\vecs T(t)\) para las siguientes curvas parametrizadas.

52)\(\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+3t \,\hat{\mathbf{j}}+t^2 \,\hat{\mathbf{k}}\)

53)\(\vecs r(t)=6 \,\hat{\mathbf{i}}+\cos(3t) \,\hat{\mathbf{j}}+3\sin(4t) \,\hat{\mathbf{k}}, \quad 0≤t<2π\)

Contestar

\(\vecs T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{9\sin ^2 (3t)+144\cos ^2 (4t)}}⟨0,−3\sin(3t),12\cos(4t)⟩\)

54)\(\vecs r(t)=⟨t \cos t,t \sin t⟩\)

55)\(\vecs r(t)=⟨t+1,2t+1,2t+2⟩\)

Contestar

\(\vecs T(t)=\frac{1}{3} ⟨1,2,2⟩\)

56)\(\vecs r(t)=\cos t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+\sin t \,\hat{\mathbf{k}}, \quad 0≤t<2π\). Aquí se presentan dos vistas de esta curva:

57)\(\vecs r(t)=\left\langle t,\dfrac{1}{t}\right\rangle\). El gráfico se muestra aquí:

Contestar

\(\vecs T(t)=\left\langle\dfrac{t^2}{\sqrt{t^4+1}},\frac{-1}{\sqrt{t^4+1}}\right\rangle\)

58)\(\vecs r(t)=3 \cos(4t) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(4t) \,\hat{\mathbf{j}}+5t\,\hat{\mathbf{k}},\quad 1 \le t \le 2\)

Contestar

\(\vecs T(t)=−\frac{12}{13} \sin(4t) \,\hat{\mathbf{i}}+ \frac{12}{13}\cos (4t) \,\hat{\mathbf{j}}+\frac{5}{13} \,\hat{\mathbf{k}}\)

59) Una partícula viaja a lo largo de la trayectoria de una hélice con la ecuación\(\vecs r(t)= \cos(t) \,\hat{\mathbf{i}}+\sin(t) \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}\). Vea la gráfica que se presenta aquí:

Encuentra lo siguiente:

a. Velocidad de la partícula en cualquier momento

Contestar

\(\vecs v(t)=⟨−\sin t,\cos t,1⟩\)

b. velocidad de la partícula en cualquier momento

c. Aceleración de la partícula en cualquier momento

Contestar

\(\vecs a(t)=−\cos t \,\hat{\mathbf{i}}− \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+0 \,\hat{\mathbf{k}}\)

d. Encuentra el vector tangente unitario para la hélice.

Integración de Funciones Vector-Valoradas

Evalúe las siguientes integrales:

60)\(\displaystyle \int \left(e^t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+ \frac{1}{2t−1} \,\hat{\mathbf{k}}\right)\, dt\)

61)\(\displaystyle \int_0^1 \vecs r(t)\,dt\), donde\(\vecs r(t)=\left\langle\sqrt[3]{t},\dfrac{1}{t+1},e^{−t}\right\rangle\)

Contestar

\(\frac{3}{4}\,\hat{\mathbf{i}}+\ln(2) \,\hat{\mathbf{j}}+(1−\frac{1}{e}) \,\hat{\mathbf{k}}\)

62) Evaluar\(\displaystyle \int_0^3‖t\,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}‖dt\).

Contestar

\(\frac{1}{3}(10^{\frac{3}{2}}−1)\)

63) La función de aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial de una partícula son

\[\begin{align*} \vecs a(t)&=−5 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}−5\sin t \,\hat{\mathbf{j}}, \\ \vecs v(0)&=9 \,\hat{\mathbf{i}}+2 \,\hat{\mathbf{j}}, \quad \text{and} \\ \vecs r(0)&=5 \,\hat{\mathbf{i}} \end{align*}\]

Encontrar\(\vecs v(t)\) y\(\vecs r(t)\).

Contestar

\(\vecs v(t) = \left(9 - 5\sin t\right)\,\hat{\mathbf{i}} + \left(-3 + 5\cos t\right)\,\hat{\mathbf{j}}\)
\(\vecs r(t) = \left(9t + 5\cos t\right)\,\hat{\mathbf{i}} + \left(-3t + 5\sin t\right)\,\hat{\mathbf{j}}\)

64) Encontrar la antiderivada de\(\vecs r'(t)=\cos(2t) \,\hat{\mathbf{i}}−2\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{1+t^2} \,\hat{\mathbf{k}}\) que satisfaga la condición inicial\(\vecs r(0)=3 \,\hat{\mathbf{i}}−2 \,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}\).

65) Un objeto parte del reposo en el punto\(P(1,2,0)\) y se mueve con una aceleración de\(\vecs a(t)=\,\hat{\mathbf{j}}+2 \,\hat{\mathbf{k}}\), donde\(‖\vecs a(t)‖\) se mide en pies por segundo por segundo por segundo. Encuentra la ubicación del objeto después del\(t=2\) sec.

Colaboradores:

• Template:ContribOpenStaxCalc
• Paul Seeburger (Monroe Community College) created questions 11 - 19.