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# 13.2E: Ejercicios para la Sección 13.2

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Tomando Derivadas de Funciones Vectoriales

1)$$\vecs r(t)=t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+3t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{t^3}{6}\,\hat{\mathbf{k}}$$

Contestar
$$\vecs r'(t)= 3t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+6t\,\hat{\mathbf{j}}+\frac{1}{2}t^2\,\hat{\mathbf{k}}$$

2)$$\vecs r(t)=\sin(t) \,\hat{\mathbf{i}}+\cos(t) \,\hat{\mathbf{j}}+e^t \,\hat{\mathbf{k}}$$

3)$$\vecs r(t)=e^{−t} \,\hat{\mathbf{i}}+\sin(3t) \,\hat{\mathbf{j}}+10 \sqrt{t} \,\hat{\mathbf{k}}$$. Aquí se muestra un boceto de la gráfica. Observe la naturaleza periódica variable de la gráfica.

Contestar
$$\vecs r'(t) = −e^{−t}\,\hat{\mathbf{i}}+3\cos (3t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{5}{\sqrt{t}}\,\hat{\mathbf{k}}$$

4)$$\vecs r(t)=e^t \,\hat{\mathbf{i}}+2e^t \,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}$$

5)$$\vecs r(t)=\,\hat{\mathbf{i}}+\,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}$$

Contestar
$$\vecs r'(t) = ⟨0,0,0⟩ = \vecs 0$$

6)$$\vecs r(t)=te^t \,\hat{\mathbf{i}}+t \ln(t) \,\hat{\mathbf{j}}+\sin(3t)\,\hat{\mathbf{k}}$$

7)$$\vecs r(t)=\left\langle\dfrac{1}{t+1},\,\arctan(t), \,\ln t^3 \right\rangle$$

Contestar
$$\vecs r'(t) = ⟨\dfrac{−1}{(t+1)^2},\dfrac{1}{1+t^2},\dfrac{3}{t}⟩$$

8)$$\vecs r(t)= \langle\tan 2t, \,\sec 2t, \,\sin ^2 t\rangle$$

9)$$\vecs r(t)=\langle 3,\, 4 \sin (3t),\, t \cos(t)\rangle$$

Contestar
$$\vecs r'(t) = ⟨0,12 \cos(3t), \cos t−t \sin t⟩$$

10)$$\vecs r(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+te^{−2t} \,\hat{\mathbf{j}}−5e^{−4t} \,\hat{\mathbf{k}}$$

11) a. Describir y esbozar la curva representada por la función vectorizada$$\vecs r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩$$.

b. Localizar el punto más alto de la curva$$\vecs r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩$$ y dar el valor de la función en este punto.

Contestar
b.$$\vecs r(t)=⟨18,9⟩$$ en$$t=3$$

12) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva$$\vecs r(t)=⟨t, t^2,t⟩$$ en$$t=2$$.

13) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva$$\vecs r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩$$ en$$t=0$$.

Contestar
$$x=1+t,\quad y=1−t,\quad z=0$$

14) Calcular la primera, segunda y tercera derivadas de$$\vecs r(t)=3t \,\hat{\mathbf{i}}+6\ln(t) \,\hat{\mathbf{j}}+5e^{−3t}\,\hat{\mathbf{k}}$$.

## Describir el movimiento con funciones con valores vectoriales

En las preguntas 15 a 17, encuentre la velocidad y aceleración en los momentos dados, grafique la gráfica de la función de posición y dibuje los vectores de velocidad y aceleración en las ubicaciones correspondientes de la curva.

15)$$\vecs r(t)= t \,\hat{\mathbf{i}}+t^3\,\hat{\mathbf{j}}$$, en$$t = 0$$ y en$$t = 1$$

Contestar
\ (\ begin {array} {lll}\, & t = 0: & t = 1:\\
\ vecs r (t) = t\,\ mathbf {\ hat i} + t^3\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs r (0) =\ vecs 0, &\ vecs r (1) =\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}\\
\ vecs v (t) =\ mathbf {\ hat i} + 3t^2\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs v (0) =\ mathbf {\ hat i}, &\ vecs v (1) =\ mathbf {\ hat i} + 3\,\ mathbf {\ hat j}\
\ vecs a (t) = 6t\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs a (0) =\ vecs 0, &\ vecs a (1) = 6\,\ mathbf {\ hat j}\ end {array}\)

16)$$\vecs r(t)= \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin 3t \,\hat{\mathbf{j}}$$, en$$t = 0$$, en$$t = \frac{\pi}{4}$$, y en$$t = \frac{\pi}{2}$$

17)$$\vecs r(t)= \ln t \,\hat{\mathbf{i}}+(t-2)\,\hat{\mathbf{j}}$$, en$$t = 1$$ y en$$t = 2$$

Contestar
\ (\ begin {array} {lll}\, & t = 1: & t =2:\\
\ vecs r (t) = (\ ln t)\,\ mathbf {\ hat i} + (t - 2)\,\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs r (1) = -\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs r (2) = (\ ln 2)\,\ mathbf {\ hat i}\\
\ vecs v (t) =\ dfrac {1} {t}\,\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs v (1) =\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}, &\ vecs v (2) =\ frac {1} {2}\ mathbf {\ hat i} +\ mathbf {\ hat j}\
\ vecs a (t) = -\ dfrac {1} {t^2}\,\ mathbf {\ hat i},\ mathbf {\ hat i}, &\ vecs a (1) = -\ mathbf {\ hat i}, &\ vecs a (2) = -\ frac {1} {4}\,\ mathbf {\ hat i}\ end {array}\)

En las preguntas 18 a 24, encuentra la velocidad, velocidad y aceleración de una partícula con la función de posición dada. Recuerde que la velocidad es la magnitud de la velocidad representada por$$‖\vecs v(t)‖$$ o$$‖\vecs r′(t)‖$$.

18)$$\vecs r(t)=e^{2t} \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$

19)$$\vecs r(t)=\cos t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t^3 \,\hat{\mathbf{j}}$$

Contestar
$$\vecs v(t)=-3t^2\sin t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+3t^2\cos t^3 \,\hat{\mathbf{j}}, \quad \text{speed}(t)=‖\vecs v(t)‖=3t^2, \quad \vecs a(t) = \left( -6t\sin t^3 - 9t^4\cos t^3 \right) \,\hat{\mathbf{i}}+\left( 6t\cos t^3 - 9t^4\sin t^3 \right) \,\hat{\mathbf{j}}$$

20)$$\vecs r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩$$

21)$$\vecs r(t)=⟨t+ \cos t,t− \sin t⟩$$

Contestar
$$\vecs v(t)=⟨1− \sin t,1−\cos t⟩, \quad \text{speed}(t)=‖\vecs v(t)‖=\sqrt{3−2( \sin t+\cos t)}, \quad \vecs a(t) = ⟨- \cos t, \sin t⟩$$

22)$$\vecs r(t)=\dfrac{2t−1}{2t+1} \,\hat{\mathbf{i}}+\ln(1−4t^2) \,\hat{\mathbf{j}}$$

23)$$\vecs r(t)=\cos 3t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin 3t \,\hat{\mathbf{j}} + 0.5t \,\hat{\mathbf{k}}$$

Contestar
$$\vecs v(t)=-3\sin 3t \,\hat{\mathbf{i}}+3\cos 3t \,\hat{\mathbf{j}} +0.5 \,\mathbf{\hat k}, \quad \text{speed}(t)=‖\vecs v(t)‖=\sqrt{9.25}\text{ units/sec}, \quad \vecs a(t) = -9\cos 3t \,\hat{\mathbf{i}}-9\sin 3t \,\hat{\mathbf{j}}$$

24)$$\vecs r(t)=e^{-t} \,\hat{\mathbf{i}}+(\ln t) \,\hat{\mathbf{j}}+(\sin 7t)\,\hat{\mathbf{k}}$$

25) Considerar el vector de posición para que una partícula sea$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}+t^3 \,\hat{\mathbf{k}}$$. El gráfico se muestra aquí:

a. Encuentra el vector de velocidad en cualquier momento.

b. encontrar la velocidad de la partícula en el tiempo$$t=2$$ sec.

c. Encuentra la aceleración en el tiempo$$t=2$$ sec.

Contestar
a.$$\vecs v(t)=\hat{\mathbf{i}}+2t\,\hat{\mathbf{j}}+3t^2 \,\hat{\mathbf{k}}$$
b.$$\sqrt{161}$$ unidades/seg
Tenga en cuenta que$$\text{speed}(t) = \|\vecs v(t)\| = \sqrt{1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{1 + 4t^2 + 9t^4}.$$
Por lo tanto,$$\text{speed}(2) = \sqrt{1 + 16 + 9(16)} = \sqrt{161}$$ unidades/seg.
c. Desde$$\vecs a(t)=2\,\hat{\mathbf{j}}+6t \,\hat{\mathbf{k}},$$$$\vecs a(2) = 2\,\hat{\mathbf{j}}+12 \,\hat{\mathbf{k}}$$

26) Una partícula viaja a lo largo de la trayectoria de una elipse con la ecuación$$\vecs r(t)=\cos t \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+0 \,\hat{\mathbf{k}}$$. Encuentra lo siguiente:

Contestar
$$\vecs v(t)=⟨−\sin t,2 \cos t,0⟩$$

b. Velocidad de la partícula a$$t=\frac{π}{4}$$

c. Aceleración de la partícula$$t=\frac{π}{4}$$

Contestar
$$\vecs a(t)=⟨−\frac{\sqrt{2}}{2},−\sqrt{2},0⟩$$

27) Mostrar que si la velocidad de una partícula que viaja a lo largo de una curva representada por una función de valor vectorial es constante, entonces la función de velocidad siempre es perpendicular a la función de aceleración.

Contestar
\begin{align*} ‖\vecs v(t)‖ \; & = k \\ \vecs v(t)·\vecs v(t) \; & = k^2 \\ \frac{d}{dt}\Big(\vecs v(t)·\vecs v(t)\Big) \; & =\frac{d}{dt}\Big(k^2\Big)=0 \\ \vecs v(t)·\vecs v′(t)+\vecs v′(t)·\vecs v(t) \; & = 0 \\ 2\vecs v(t)·\vecs v′(t) \; & =0 \\ \vecs v(t)·\vecs v′(t) \; & = 0\end{align*}

La última afirmación implica que la velocidad y la aceleración son perpendiculares u ortogonales.

28) Dada la función vectorizada$$\vecs r(t)=⟨\tan t,\sec t,0⟩$$ (aquí se muestra la gráfica), encuentra lo siguiente:

Contestar
$$\vecs v(t)=\langle \sec ^2 t,\,\sec t \tan t\rangle$$

Contestar
$$‖\vecs v(t)‖=\sqrt{\sec ^4 t+\sec ^2 t \tan ^2 t}=\sqrt{(\sec ^2 t)(\sec ^2 t+\tan ^2 t)}$$

c. Aceleración

Contestar
$$\vecs a(t)=\langle 2\sec ^2 t\tan t,\,\sec t \tan^2 t+\sec^3 t\rangle$$

29) Encontrar la velocidad mínima de una partícula viajando a lo largo de la curva$$\vecs r(t)=⟨t+\cos t,t−\sin t⟩$$, donde$$t∈[0,2π)$$. Entonces también encuentra su velocidad máxima en este intervalo.

Contestar
La velocidad mínima es$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}\approx 0.41421$$ cuando$$t=\tfrac{\pi}{4}$$.
Max. la velocidad es$$\sqrt{3+2\sqrt{2}}\approx 2.41421$$ cuando$$t=\tfrac{5\pi}{4}$$.

Para las preguntas 30 - 31, considere una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio$$b$$ según la función$$\vecs r(t)=b \cos(\omega t) \,\hat{\mathbf{i}}+b\sin(\omega t) \,\hat{\mathbf{j}}$$, donde$$\omega$$ está la velocidad angular,$$\dfrac{d \theta}{dt}$$.

30) Mostrar que la velocidad de la partícula es proporcional a la velocidad angular.

31) Encuentra la función de velocidad y muestra que siempre$$\vecs v(t)$$ es ortogonal a$$\vecs r(t)$$.

Contestar
$$\vecs r'(t)=−b \omega \sin( \omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+b \omega \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}$$. Para mostrar ortogonalidad, tenga en cuenta que$$\vecs r'(t)⋅\vecs r(t)=0$$.

## Suavidad de las funciones con valores vectoriales

Para las preguntas 32 a 40,

a. Determinar cualquier valor$$t$$ en el que no$$\vecs r$$ sea suave.

b. Determinar los intervalos abiertos en los que$$\vecs r$$ es suave.

c. Grafique la función vectorizada y describa su comportamiento en los puntos donde no sea suave.

32)$$\vecs r(t) = \langle 3t, 5t^2 - 1\rangle$$

33)$$\vecs r(t)= t^3\,\hat{\mathbf{i}}+5t^2 \,\hat{\mathbf{j}}$$

Contestar
a. no$$\vecs r$$ es suave en$$t = 0$$, ya que$$\vecs r'(0) = \vecs 0$$.
b.$$\vecs r$$ es suave en los intervalos abiertos$$(-\infty, 0)$$ y$$(0, \infty)$$.
c. Hay una cúspide cuando$$t = 0$$.

34)$$\vecs r(t)=\langle 5,\, 2 \sin (t),\, \cos(t)\rangle$$

35)$$\vecs r(t) = \langle t^3 - 3t^2, 7\rangle$$

Contestar
a. no$$\vecs r$$ es suave en$$t = 0$$ y$$t = 2$$, desde$$\vecs r'(0) = \vecs 0$$ y$$\vecs r'(2) = \vecs 0$$.
b.$$\vecs r$$ es suave en los intervalos abiertos$$(-\infty, 0)$$,$$(0, 2)$$, y$$(2, \infty)$$.
c. El movimiento en la curva se invierte a lo largo de la misma trayectoria en ambos$$t = 0$$ y$$t = 2$$.

36)$$\vecs r(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}+t^3 \,\hat{\mathbf{j}}−5e^{−4t} \,\hat{\mathbf{k}}$$

37)$$\vecs r(t)=\left\langle \ln(t^2+4t+5), \,\dfrac{t^3}{3} - 4t,\, 5\right\rangle$$

Contestar
a. no$$\vecs r$$ es suave en$$t = -2$$, ya que$$\vecs r'(-2) = \vecs 0$$.
Ya que el dominio de$$\vecs r$$ es$$(-\infty, \infty)$$, esto es todo lo que tenemos que eliminar.
b.$$\vecs r$$ es suave en los intervalos abiertos$$(-\infty, -2)$$ y$$(-2, \infty)$$.
c. Hay una cúspide cuando$$t = -2$$.

38)$$\vecs r(t) = \left( 5\cos t - \cos 5t\right) \,\hat{\mathbf{i}} + \left( 5\sin t - \sin 5t \right) \,\hat{\mathbf{j}}$$, para$$0 \le t \le 2\pi$$

39)$$\vecs r(t)=\sqrt{t^3 + 9t^2} \,\hat{\mathbf{i}}+\left(t^2 +12t\right) \,\hat{\mathbf{j}}+7\,\hat{\mathbf{k}}$$

Contestar
a. El dominio de$$\vecs r$$ es$$[-9, \infty)$$.
Y no$$\vecs r$$ es suave en$$t = -6$$, ya que$$\vecs r'(-6) = \vecs 0$$.
El dominio de$$\vecs r'$$ es$$(-9, \infty)$$, ya que$$\vecs r'$$ está indefinido en$$t = -9$$.
b.$$\vecs r$$ es suave en los intervalos abiertos$$(-9, -6)$$ y$$(-6, \infty)$$.
c. Hay una cúspide cuando$$t = -6$$.

40)$$\vecs r(t)= \cos^3 t\,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}$$, para$$0 \le t \le 2\pi$$

Contestar
a. El dominio de$$\vecs r$$ es$$(-\infty, \infty)$$.
$$\vecs r'(t) = -3(\cos^2 t)(\sin t)\,\hat{\mathbf{i}}+\cos t \,\hat{\mathbf{j}}$$. Su dominio también lo es$$(-\infty, \infty)$$.
Pero tenga en cuenta que ambos componentes tienen un factor de$$\cos t$$, por lo que ambos componentes serán$$0$$ cuándo$$\cos t = 0$$.
Por lo tanto, no$$\vecs r$$ es suave en$$t = \frac{\pi}{2}$$ y en$$t = \frac{3\pi}{2}$$, desde$$\vecs r'\left( \frac{\pi}{2}\right) = \vecs 0$$ y$$\vecs r'\left( \frac{3\pi}{2}\right) = \vecs 0$$. Tenga en cuenta entonces que no$$\vecs r$$ es suave para ningún múltiplo impar de$$\frac{\pi}{2}$$, es decir para$$t = \frac{(2n + 1)\pi}{2}$$, para cualquier valor entero$$n$$.
b.$$\vecs r$$ es suave en los intervalos abiertos$$\left(\dfrac{(2n - 1)\pi}{2}, \dfrac{(2n + 1)\pi}{2}\right)$$, para cualquier valor entero$$n$$.
c. Hay una cúspide cuando$$t = \dfrac{(2n + 1)\pi}{2}$$, para cualquier valor entero$$n$$.

Para preguntas, 41 - 43, evaluar cada expresión dado que$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2 \,\hat{\mathbf{j}}−t^4 \,\hat{\mathbf{k}}$$ y$$\vecs s(t)=\sin(t) \,\hat{\mathbf{i}}+e^t \,\hat{\mathbf{j}}+ \cos(t) \,\hat{\mathbf{k}}$$

41)$$\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t^2)\big]$$

Contestar
$$\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t^2)\big] = ⟨2t,4t^3,−8t^7⟩$$

42)$$\dfrac{d}{dt}\big[t^2⋅\vecs s(t)\big]$$

43)$$\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t)⋅\vecs s(t)\big]$$

Contestar
$$\dfrac{d}{dt}\big[\vecs r(t)⋅\vecs s(t)\big]=\sin t+2te^t−4t^3 \cos t+t\cos t+t^2e^t+t^4\sin t$$

44) Encontrar$$\vecs r'(t)⋅\vecs r''(t) \; for \; \vecs r(t)=−3t^5 \,\hat{\mathbf{i}}+5t \,\hat{\mathbf{j}}+2t^2 \,\hat{\mathbf{k}}$$.

Contestar
$$\vecs r'(t)⋅\vecs r''(t) = 900t^7+16t$$

45) Dado$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+3t \,\hat{\mathbf{j}}+t^2 \,\hat{\mathbf{k}}$$ y$$\vecs u(t)=4t \,\hat{\mathbf{i}}+t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+t^3 \,\hat{\mathbf{k}}$$, encontrar$$\frac{d}{dt}(\vecs r(t) \times \vecs u(t))$$.

46) Evaluar$$\dfrac{d}{dt}\big[\vecs u(t) \times\vecs u′(t)\big]$$ dado$$\vecs u(t)=t^2 \,\hat{\mathbf{i}}−2t \,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}$$.

Contestar
$$\dfrac{d}{dt}\big[\vecs u(t) \times\vecs u′(t)\big] = 0 \,\hat{\mathbf{i}} +2 \,\hat{\mathbf{j}}+4t \,\hat{\mathbf{k}}$$

47) Dado$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+2\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+2 \cos t \,\hat{\mathbf{k}}$$ y$$\vecs u(t)=\dfrac{1}{t} \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+2 \cos t \,\hat{\mathbf{k}}$$, encontrar lo siguiente:

a.$$\vecs r(t) \times \vecs u(t)$$

Contestar
$$\vecs r(t) \times \vecs u(t) = \left\langle 0, \;2(\cos t)\left(\frac{1}{t}-t\right),\; 2 (\sin t)\left(t- \frac{1}{t}\right)\right\rangle$$

b.$$\frac{d}{dt}\big(\vecs r(t) \times \vecs u(t)\big)$$

Contestar
$$\frac{d}{dt}\big(\vecs r(t) \times \vecs u(t)\big) = \left\langle 0, \;2(\sin t)\left(t− \frac{1}{t}\right)−2 (\cos t)\left(1+ \frac{1}{t^2}\right),\;2 \left(\sin t\right)\left(1+ \frac{1}{t^2}\right)+2 \left(\cos t\right)\left(t−\frac{1}{t}\right)\right\rangle$$

c. Ahora, use la regla del producto para la derivada del producto cruzado de dos vectores y muestre que este resultado es el mismo que la respuesta para el problema anterior.

## Vectores de tangentes unitarios

Para las preguntas 48 - 51, encuentre un vector tangente unitario en el valor indicado de$$t$$.

48)$$\vecs r(t)=3t^3 \,\hat{\mathbf{i}}+2t^2 \,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{t} \,\hat{\mathbf{k}}; \quad t=1$$

49)$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin(2t) \,\hat{\mathbf{j}}+\cos(3t) \,\hat{\mathbf{k}}; \quad t=\frac{π}{3}$$

Contestar
$$\vecs r'\left(\frac{π}{3}\right) = \langle 1, \,-1,0\rangle$$es un vector tangente, por lo que un vector tangente unitario sería:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}⟨1,−1,0⟩ \quad = \quad \langle \frac{\sqrt{2}}{2}, \,-\frac{\sqrt{2}}{2},\, 0\rangle$$

50)$$\vecs r(t)=\cos(2t) \,\hat{\mathbf{i}}+2 \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+t^2 \,\hat{\mathbf{k}};\quad t=\frac{π}{2}$$

51)$$\vecs r(t)=3e^t \,\hat{\mathbf{i}}+2e^{−3t} \,\hat{\mathbf{j}}+4e^{2t} \,\hat{\mathbf{k}}; \quad t= \ln(2)$$

Contestar
$$\vecs r'(\ln(2))= ⟨6,−\frac{3}{4},32⟩$$es un vector tangente, por lo que un vector tangente unitario sería:
$$\dfrac{1}{\sqrt{1060.5625}}\left\langle 6,−\frac{3}{4},32\right\rangle \quad = \quad \left\langle \dfrac{24\sqrt{16969}}{16969}, -\dfrac{12\sqrt{16969}}{67876}, \frac{128\sqrt{16969}}{16969}\right\rangle$$

Para las preguntas 52 - 58, encuentre el vector tangente unitario$$\vecs T(t)$$ para las siguientes curvas parametrizadas.

52)$$\vecs r(t)=t \,\hat{\mathbf{i}}+3t \,\hat{\mathbf{j}}+t^2 \,\hat{\mathbf{k}}$$

53)$$\vecs r(t)=6 \,\hat{\mathbf{i}}+\cos(3t) \,\hat{\mathbf{j}}+3\sin(4t) \,\hat{\mathbf{k}}, \quad 0≤t<2π$$

Contestar
$$\vecs T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{9\sin ^2 (3t)+144\cos ^2 (4t)}}⟨0,−3\sin(3t),12\cos(4t)⟩$$

54)$$\vecs r(t)=⟨t \cos t,t \sin t⟩$$

55)$$\vecs r(t)=⟨t+1,2t+1,2t+2⟩$$

Contestar
$$\vecs T(t)=\frac{1}{3} ⟨1,2,2⟩$$

56)$$\vecs r(t)=\cos t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+\sin t \,\hat{\mathbf{k}}, \quad 0≤t<2π$$. Aquí se presentan dos vistas de esta curva:

57)$$\vecs r(t)=\left\langle t,\dfrac{1}{t}\right\rangle$$. El gráfico se muestra aquí:

Contestar
$$\vecs T(t)=\left\langle\dfrac{t^2}{\sqrt{t^4+1}},\frac{-1}{\sqrt{t^4+1}}\right\rangle$$

58)$$\vecs r(t)=3 \cos(4t) \,\hat{\mathbf{i}}+3 \sin(4t) \,\hat{\mathbf{j}}+5t\,\hat{\mathbf{k}},\quad 1 \le t \le 2$$

Contestar
$$\vecs T(t)=−\frac{12}{13} \sin(4t) \,\hat{\mathbf{i}}+ \frac{12}{13}\cos (4t) \,\hat{\mathbf{j}}+\frac{5}{13} \,\hat{\mathbf{k}}$$

59) Una partícula viaja a lo largo de la trayectoria de una hélice con la ecuación$$\vecs r(t)= \cos(t) \,\hat{\mathbf{i}}+\sin(t) \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}}$$. Vea la gráfica que se presenta aquí:

Encuentra lo siguiente:

a. Velocidad de la partícula en cualquier momento

Contestar
$$\vecs v(t)=⟨−\sin t,\cos t,1⟩$$

b. velocidad de la partícula en cualquier momento

c. Aceleración de la partícula en cualquier momento

Contestar
$$\vecs a(t)=−\cos t \,\hat{\mathbf{i}}− \sin t \,\hat{\mathbf{j}}+0 \,\hat{\mathbf{k}}$$

d. Encuentra el vector tangente unitario para la hélice.

Evalúe las siguientes integrales:

60)$$\displaystyle \int \left(e^t \,\hat{\mathbf{i}}+\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+ \frac{1}{2t−1} \,\hat{\mathbf{k}}\right)\, dt$$

61)$$\displaystyle \int_0^1 \vecs r(t)\,dt$$, donde$$\vecs r(t)=\left\langle\sqrt[3]{t},\dfrac{1}{t+1},e^{−t}\right\rangle$$

Contestar
$$\frac{3}{4}\,\hat{\mathbf{i}}+\ln(2) \,\hat{\mathbf{j}}+(1−\frac{1}{e}) \,\hat{\mathbf{k}}$$

62) Evaluar$$\displaystyle \int_0^3‖t\,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}‖dt$$.

Contestar
$$\frac{1}{3}(10^{\frac{3}{2}}−1)$$

63) La función de aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial de una partícula son

\begin{align*} \vecs a(t)&=−5 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}−5\sin t \,\hat{\mathbf{j}}, \\ \vecs v(0)&=9 \,\hat{\mathbf{i}}+2 \,\hat{\mathbf{j}}, \quad \text{and} \\ \vecs r(0)&=5 \,\hat{\mathbf{i}} \end{align*}

Encontrar$$\vecs v(t)$$ y$$\vecs r(t)$$.

Contestar
$$\vecs v(t) = \left(9 - 5\sin t\right)\,\hat{\mathbf{i}} + \left(-3 + 5\cos t\right)\,\hat{\mathbf{j}}$$
$$\vecs r(t) = \left(9t + 5\cos t\right)\,\hat{\mathbf{i}} + \left(-3t + 5\sin t\right)\,\hat{\mathbf{j}}$$

64) Encontrar la antiderivada de$$\vecs r'(t)=\cos(2t) \,\hat{\mathbf{i}}−2\sin t \,\hat{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{1+t^2} \,\hat{\mathbf{k}}$$ que satisfaga la condición inicial$$\vecs r(0)=3 \,\hat{\mathbf{i}}−2 \,\hat{\mathbf{j}}+\,\hat{\mathbf{k}}$$.

65) Un objeto parte del reposo en el punto$$P(1,2,0)$$ y se mueve con una aceleración de$$\vecs a(t)=\,\hat{\mathbf{j}}+2 \,\hat{\mathbf{k}}$$, donde$$‖\vecs a(t)‖$$ se mide en pies por segundo por segundo por segundo. Encuentra la ubicación del objeto después del$$t=2$$ sec.