13: Funciones con valores vectoriales
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Una función de valor vectorial, también denominada función vectorial, es una función matemática de una o más variables cuyo rango es un conjunto de vectores multidimensionales o vectores infinito-dimensionales. La entrada de una función con valor vectorial podría ser un escalar o un vector. Las funciones con valores vectoriales proporcionan un método útil para estudiar diversas curvas tanto en el plano como en el espacio tridimensional. Podemos aplicar este concepto para calcular la velocidad, la aceleración, la longitud del arco y la curvatura de la trayectoria de un objeto. En este capítulo, examinamos estos métodos y mostramos cómo se utilizan.
- 13.0: Preludio a las funciones vectorizadas
- El cometa Halley sigue un camino elíptico a través del sistema solar, con el Sol apareciendo en un foco de la elipse. Este movimiento es predicho por la primera ley de movimiento planetario de Johannes Kepler, que mencionamos brevemente anteriormente. La tercera ley de movimiento planetario de Kepler se puede utilizar con el cálculo de funciones vectorizadas para encontrar la distancia promedio del cometa Halley desde el Sol.
- 13.1: Funciones Vectoriales y Curvas Espaciales
- Nuestro estudio de las funciones vectoriales combina ideas de nuestro examen anterior del cálculo de una sola variable con nuestra descripción de vectores en tres dimensiones del capítulo anterior. En esta sección, ampliamos conceptos de capítulos anteriores y también examinamos nuevas ideas sobre curvas en el espacio tridimensional. Estas definiciones y teoremas apoyan la presentación de material en el resto de este capítulo y también en los capítulos restantes del texto.
- 13.2: Cálculo de Funciones Vectoriales
- Para estudiar el cálculo de las funciones vectoriales, seguimos un camino similar al que tomamos en el estudio de funciones de valor real. Primero, definimos la derivada, luego examinamos las aplicaciones de la derivada, luego pasamos a definir integrales. Sin embargo, encontraremos algunas nuevas ideas interesantes en el camino como resultado de la naturaleza vectorial de estas funciones y las propiedades de las curvas espaciales.
- 13.3: Longitud y curvatura del arco
- En esta sección, estudiamos fórmulas relacionadas con curvas tanto en dos como en tres dimensiones, y vemos cómo se relacionan con diversas propiedades de una misma curva. Por ejemplo, supongamos que una función de valor vectorial describe el movimiento de una partícula en el espacio. Nos gustaría determinar qué tan lejos ha viajado la partícula en un intervalo de tiempo determinado, lo que puede describirse por la longitud del arco de la trayectoria que sigue.
- 13.4: Movimiento en el Espacio
- Ahora hemos visto cómo describir las curvas en el plano y en el espacio, y cómo determinar sus propiedades, como la longitud del arco y la curvatura. Todo esto lleva al objetivo principal de este capítulo, que es la descripción del movimiento a lo largo de curvas planas y curvas espaciales. Ahora tenemos todas las herramientas que necesitamos; en esta sección, juntamos estas ideas y miramos cómo usarlas.