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# 14.1E: Ejercicios para la Sección 14.1

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1)$$W(x,y)=4x^2+y^2.$$ Encontrar$$W(2,−1), W(−3,6)$$.

Responder
$$W(2,−1) = 17,\quad W(−3,6) = 72$$

2)$$W(x,y)=4x^2+y^2$$. Encuentra$$W(2+h,3+h).$$

3) El volumen de un cilindro circular derecho se calcula en función de dos variables,$$V(x,y)=πx^2y,$$ donde$$x$$ es el radio del cilindro circular derecho y$$y$$ representa la altura del cilindro. Evaluar$$V(2,5)$$ y explicar lo que esto significa.

Responder
$$V(2,5) = 20π\,\text{units}^3$$Este es el volumen cuando el radio es$$2$$ y la altura es$$5$$.

4) Se construye un tanque de oxígeno de un cilindro derecho de altura$$y$$ y radio$$x$$ con dos hemisferios de radio$$x$$ montados en la parte superior e inferior del cilindro. Expresar el volumen del cilindro en función de dos variables,$$x$$ y$$y$$, encontrar$$V(10,2)$$, y explicar lo que esto significa.

Para los ejercicios 5 - 10, encuentre el dominio y el rango de la función dada. Indique el dominio en notación set-builder y el rango en notación de intervalo.

5)$$V(x,y)=4x^2+y^2$$

Responder
Dominio: Es$$\big\{(x, y) \, | \, x \in \rm I\!R, y \in \rm I\!R\big\}$$ decir, todos los puntos en el$$xy$$ -plano
Rango:$$[0, \infty)$$

6)$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2−4}$$

Responder
Dominio:$$\big\{(x, y) \, | \, x^2+y^2 \ge 4\big\}$$
Rango:$$[0, \infty)$$

7)$$f(x,y)=4\ln(y^2−x)$$

Responder
Dominio:$$\big\{(x, y) \, | \, x<y^2 \big\}$$
Rango:$$(-\infty, \infty)$$

8)$$g(x,y)=\sqrt{16−4x^2−y^2}$$

Responder
Dominio:$$\big\{(x, y) \, | \, \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} \le 1\big\}$$
Rango:$$[0, 4]$$

9)$$z=\arccos(y−x)$$

Responder
Dominio: Es$$\big\{(x, y) \, | \, x - 1 \le y \le x + 1\big\}$$ decir, todos los puntos entre las gráficas de$$y = x -1$$ y$$y = x +1$$.
Rango:$$[0, \pi]$$

10)$$f(x,y)=\dfrac{y+2}{x^2}$$

Responder
Dominio:$$\big\{(x, y) \, | \, x\neq 0 \big\}$$
Rango:$$(-\infty, \infty)$$

Encuentra el rango de las funciones.

11)$$g(x,y)=\sqrt{16−4x^2−y^2}$$

Responder
$$\big\{z \, | \, 0≤z≤4\big\}$$o en notación de intervalo:$$[0,4]$$

12)$$V(x,y)=4x^2+y^2$$

13)$$z=y^2−x^2$$

Responder
El conjunto$$\rm I\!R$$

En los ejercicios 14 - 29, encuentra las curvas de nivel de cada función en los valores indicados de$$c$$ para visualizar la función dada. Esboza una gráfica de contorno para aquellos ejercicios en los que te pidan más de 3 valores de$$c$$.

14)$$z(x,y)=y^2−x^2, \quad c=1$$

15)$$z(x,y)=y^2−x^2,\quad c=4$$

Responder
$$y^2−x^2=4,$$una hipérbola

16)$$g(x,y)=x^2+y^2;\quad c=0, 1, 2, 3, 4, 9$$

17)$$g(x,y)=4−x−y;\quad c=0,1, 2, 3, 4$$

Responder
Las curvas de nivel son líneas con$$y = -x + (4 - c)$$.
Por cada valor de$$c$$ estos son:
$$c = 0: \, y = -x + 4$$,
$$c = 1: \, y = -x + 3$$,
$$c = 2: \, y = -x + 2$$,
$$c = 3: \, y = -x + 1$$,
$$c = 4: \, y = -x$$.
La gráfica de contorno consiste en una serie de líneas paralelas.

18)$$f(x,y)=xy;c=1;\quad c=−1$$

19)$$h(x,y)=2x−y;\quad c=-2,0,2$$

Responder
$$2x−y=0,2x−y=−2,2x−y=2;$$tres líneas

20)$$f(x,y)=x^2−y;\quad c=1,2$$

21)$$g(x,y)=\dfrac{x}{x+y};c=−1,0,1,2$$

Responder
Las curvas de nivel son líneas con la forma$$y = x \left( \dfrac{1-c}{c} \right)$$. En$$c = 0$$, lo resolvemos directamente de la ecuación$$\dfrac{x}{x+y}=0$$ para obtener$$x = 0$$.
Por cada valor de$$c$$ estos son:
$$c = -1: \, y = -2x$$,
$$c = 0: \, x = 0,\text{ with }y \ne 0$$,
$$c = 1: \, y = 0,\text{ with }x \ne 0$$,
$$c = 2: \, y = -\frac{1}{2}x$$.

22)$$g(x,y)=x^3−y;\quad c=−1,0,2$$

23)$$g(x,y)=e^{xy};\quad c=\frac{1}{2},3$$

Responder
Las curvas de nivel tienen la forma,$$y = \dfrac{\ln c}{x}$$.
Para cada valor de$$c$$ estos son:
$$c = \frac{1}{2}: \, y = \dfrac{\ln \frac{1}{2}}{x}$$ que se pueden reescribir como,$$y = -\dfrac{\ln 2}{x}$$

$$c = 3: \, y = \dfrac{\ln 3}{x}$$.

24)$$f(x,y)=x^2;\quad c=4,9$$

25)$$f(x,y)=xy−x;\quad c=−2,0,2$$

Responder
Las curvas de nivel tienen la forma:$$y = \dfrac{c}{x} + 1$$.
Aquí$$y = \dfrac{-2}{x} + 1,\quad y = 1,\quad y = \dfrac{2}{x} + 1$$ o$$xy−x=−2,\,xy−x=0,\,xy−x=2$$

26)$$h(x,y)=\ln(x^2+y^2);\quad c=−1,0,1$$

27)$$g(x,y)=\ln\left(\dfrac{y}{x^2}\right);\quad c=−2,0,2$$

Responder
Las curvas de nivel tienen la forma,$$y =e^c x^2$$.
Por cada valor de$$c$$ estos son:
$$c = -2: \, y = e^{-2} x^2$$,
$$c = 0: \, y = x^2$$,
$$c = 2: \, y = e^{2} x^2$$.

28)$$z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},\quad c=3$$

29)$$f(x,y)=\dfrac{y+2}{x^2},\quad c=$$ cualquier constante

Responder
Las curvas de nivel son parábola de la forma$$y=cx^2−2,\text{ with }x \ne 0$$.

En los ejercicios 30-32, encontrar las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de$$x$$ y$$y$$, y trazar las trazas.

30)$$z=4−x−y, \quad x=2$$

31)$$f(x,y)=3x+y^3, \quad x=1$$

Responder

$$z=3+y^3,$$una curva en el $$zy$$plano con reglas paralelas al$$x$$ eje

32)$$z=\cos\sqrt{x^2+y^2}, \quad x=1$$

En los ejercicios 33 - 38, encuentra el dominio y el rango de cada función.

33)$$z=\sqrt{100−4x^2−25y^2}$$

Responder
Dominio:$$\big\{(x, y) \, | \, \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{4}≤1\big\}$$
Rango:$$[0, 10]$$

34)$$z=\ln(x−y^2)$$

35)$$f(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{36−4x^2−9y^2−z^2}}$$

Responder
Dominio:$$\big\{(x, y, z) \, | \, \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{36}<1\big\}$$
Rango:$$\big[\frac{1}{6}, \infty\big)$$

36)$$f(x,y,z)=\sqrt{49−x^2−y^2−z^2}$$

37)$$f(x,y,z)=\sqrt[3]{16−x^2−y^2−z^2}$$

Responder
Dominio: Todos los puntos en$$xyz$$ -espacio
Rango:$$\big(-\infty, \sqrt[3]{16}\,\big]$$

38)$$f(x,y)=\cos\sqrt{x^2+y^2}$$

En los ejercicios 39 - 40, trazar una gráfica de la función.

39)$$z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

Responder

40)$$z=x^2+y^2$$

41) Utilizar la tecnología para graficar$$z=x^2y.$$

Responder

En los ejercicios 42 - 46, bosquejar la función encontrando sus curvas de nivel. Verificar la gráfica usando tecnología, como CalcPlot3D.

42)$$f(x,y)=\sqrt{4−x^2−y^2}$$

43)$$f(x,y)=2−\sqrt{x^2+y^2}$$

Responder

44)$$z=1+e^{−x^2−y^2}$$

45)$$z=\cos\sqrt{x^2+y^2}$$

Responder

46)$$z=y^2−x^2$$

47) Describir las curvas de nivel para varios valores de$$c$$$$z=x^2+y^2−2x−2y.$$

Responder
Las curvas de nivel son círculos concéntricos centrados en el punto,$$(1, 1)$$.
Puedes ver esto completando el cuadrado después de establecer esta función igual a$$c$$.
Es decir, escribimos$$x^2-2x+1+y^2−2y+1 = c + 2$$ lo que se puede reescribir como,$$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = c + 2$$.
Esto nos da círculos centrados en el punto,$$(1, 1)$$, cada uno con un radio de$$\sqrt{c+2}$$.

En los ejercicios, 48 - 52, encontrar la superficie nivelada para el valor dado de$$c$$ para cada función de tres variables y describirla.

48)$$w(x,y,z)=x−2y+z,\quad c=4$$

49)$$w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,\quad c=9$$

Responder
$$x^2+y^2+z^2=9$$, una esfera de radio$$3$$

50)$$w(x,y,z)=x^2+y^2−z^2,\quad c=−4$$

51)$$w(x,y,z)=x^2+y^2−z^2,\quad c=4$$

Responder
$$x^2+y^2−z^2=4,$$un hiperboloide de una hoja

52)$$w(x,y,z)=9x^2−4y^2+36z^2,\quad c=0$$

En los ejercicios 53 - 55, encuentra una ecuación de la curva de nivel de la$$f$$ que contiene el punto$$P$$.

53)$$f(x,y)=1−4x^2−y^2,\quad P(0,1)$$

Responder
$$4x^2+y^2=1,$$

54)$$g(x,y)=y^2\arctan x,\quad P(1,2)$$

55)$$g(x,y)=e^{xy}(x^2+y^2),\quad P(1,0)$$

Responder
$$1=e^{xy}(x^2+y^2)$$

56) La intensidad$$E$$ de un campo eléctrico en el punto$$(x,y,z)$$ resultante de un cable cargado infinitamente largo que se extiende a lo largo del$$y$$ eje viene dada por$$E(x,y,z)=k/\sqrt{x^2+y^2}$$, donde$$k$$ es una constante positiva. Para simplificar, deje$$k=1$$ y encuentre las ecuaciones de las superficies niveladas para$$E=10$$ y$$E=100.$$

57) Una placa delgada hecha de hierro se ubica en el$$xy$$ -plano La temperatura$$T$$ en grados Celsius en un punto$$P(x,y)$$ es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia desde el origen. $$T$$Expresar en función de$$x$$ y$$y$$.

Responder
$$T(x,y)=\dfrac{k}{x^2+y^2}$$

58) Refiérase al problema anterior. Usando la función de temperatura que se encuentra allí, determinar la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto$$P(1,2)$$ es$$50°C.$$ Use esta constante para determinar la temperatura en el punto$$Q(3,4).$$

59) Remítase al problema anterior. Encuentre las curvas de nivel para$$T=40°C$$$$T=100°C,$$ y describa lo que representan las curvas de nivel.

Responder
$$x^2+y^2=\dfrac{k}{40}, \quad x^2+y^2=\dfrac{k}{100}$$. Las curvas de nivel representan círculos de radios$$\sqrt{10k}/20$$ y$$\sqrt{k}/10$$