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# 14: Diferenciación de Funciones de Varias Variables

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Cuando se trata de una función de más de una variable independiente, surgen naturalmente varias preguntas. Por ejemplo, ¿cómo calculamos los límites de funciones de más de una variable? La definición de derivado que usamos antes implicaba un límite. ¿La nueva definición de derivado implica también límites? ¿Se aplican las reglas de diferenciación en este contexto? ¿Podemos encontrar extremos relativos de funciones usando derivadas? Todas estas preguntas son respondidas en este capítulo.

• 14.0: Preludio a la diferenciación de funciones de varias variables
Supongamos, sin embargo, que tenemos una cantidad que depende de más de una variable. Por ejemplo, la temperatura puede depender de la ubicación y la hora del día, o el modelo de ganancias de una empresa puede depender del número de unidades vendidas y la cantidad de dinero gastado en publicidad. Dependiendo de la naturaleza de las restricciones, tanto el método de solución como la solución misma cambian.
• 14.1: Funciones de Varias Variables
Nuestro primer paso es explicar qué es una función de más de una variable, comenzando con funciones de dos variables independientes. Este paso incluye identificar el dominio y rango de tales funciones y aprender a graficarlas. También examinamos formas de relacionar las gráficas de funciones en tres dimensiones con gráficas de funciones planas más familiares.
• 14.2: Límites y Continuidad
Ahora hemos examinado funciones de más de una variable y hemos visto cómo graficarlas. En esta sección, vemos cómo tomar el límite de una función de más de una variable, y lo que significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que simplemente no ocurren con funciones de una variable.
• 14.3: Derivadas parciales
Encontrar derivadas de funciones de dos variables es el concepto clave en este capítulo, con tantas aplicaciones en matemáticas, ciencias e ingeniería como diferenciación de funciones de una sola variable. Sin embargo, ya hemos visto que los límites y la continuidad de las funciones multivariables tienen nuevos problemas y requieren de nueva terminología e ideas para tratarlos. Esto también se traslada a la diferenciación.
• 14.4: Planos tangentes y aproximaciones lineales
En esta sección, consideramos el problema de encontrar el plano tangente a una superficie, lo cual es análogo a encontrar la ecuación de una línea tangente a una curva cuando la curva es definida por la gráfica de una función de una variable, y=f (x). La pendiente de la línea tangente en el punto x=ax=a viene dada por m=f' (a); ¿cuál es la pendiente de un plano tangente? Aprendimos sobre la ecuación de un plano en Ecuaciones de Líneas y Planos en el Espacio; en esta sección, vemos cómo se puede aplicar al problema que nos ocupa.
• 14.5: La regla de cadena para funciones multivariables
En el cálculo de una sola variable, encontramos que una de las reglas de diferenciación más útiles es la regla de cadena, que nos permite encontrar la derivada de la composición de dos funciones. Lo mismo es cierto para el cálculo multivariable, pero esta vez tenemos que lidiar con más de una forma de la regla de la cadena. En esta sección, estudiamos extensiones de la regla de la cadena y aprendemos a tomar derivadas de composiciones de funciones de más de una variable.
• 14.6: Derivadas direccionales y el gradiente
Una función$$z=f(x,y)$$ tiene dos derivadas parciales:$$∂z/∂x$$ y$$∂z/∂y$$. Estas derivadas corresponden a cada una de las variables independientes y pueden interpretarse como tasas de cambio instantáneas (es decir, como pendientes de una línea tangente). Del mismo modo,$$∂z/∂y$$ representa la pendiente de la línea tangente paralela al eje y. Ahora consideramos la posibilidad de una línea tangente paralela a ninguno de los ejes.
• 14.8: Multiplicadores Lagrange
Resolver problemas de optimización para funciones de dos o más variables puede ser similar a resolver tales problemas en el cálculo de una sola variable. Sin embargo, las técnicas para tratar múltiples variables nos permiten resolver problemas de optimización más variados para los que necesitamos lidiar con condiciones o restricciones adicionales. En esta sección, examinamos uno de los métodos más comunes y útiles para resolver problemas de optimización con restricciones.
• 14.9: Capítulo 14 Ejercicios de revisión

Miniatura: Función real de dos variables reales. (Dominio público; Maschen).

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