2.3: Las funciones del logaritmo exponencial y natural

Las funciones de la forma\(a^x\), donde\(x\) varía el exponente, se denominan funciones exponenciales. A menos que se indique lo contrario, supongamos que\(a > 0\) (\(0^x\)es solo 0, y no\((-1)^{1/2}\) es un número real). Ya sabes cómo\(a^x\) se define cuando el exponente\(x\) es un número racional (es decir,\(x = m/n\) dónde\(m\) y\(n\) son enteros,\(n \ne 0\)). Pero, ¿y si\(x\) fueran irracionales, como\(\sqrt{2}\)? ¿Qué\(3^{\sqrt{2}}\) significaría?

\[\begin{aligned} {3} 3^{1.4} ~&=~ 3^{\frac{14}{10}} ~&=~ 4.65553672174608\\ 3^{1.41} ~&=~ 3^{\frac{141}{100}} ~&=~ 4.70696500171657\\ 3^{1.414} ~&=~ 3^{\frac{1414}{1000}} ~&=~ 4.72769503526854\\ 3^{1.4142} ~&=~ 3^{\frac{14142}{10000}} ~&=~ 4.72873393017119\\ 3^{1.41421} ~&=~ 3^{\frac{141421}{100000}} ~&=~ 4.72878588090861\\ 3^{1.414213} ~&=~ 3^{\frac{1414213}{1000000}} ~&=~ 4.72880146624114\\ {} &\vdots \quad ~&\vdots \\ 3^{1.414213562\ldots} ~&=~ 3^{\sqrt{2}} ~&=~ 4.72880438783742\end{aligned}\]Por supuesto que nunca harías todo esto a mano, simplemente usarías una computadora o calculadora, que utilizan algoritmos mucho más eficientes para calcular potencias en general. ³

Todas las reglas habituales de exponentes que aprendiste en álgebra se aplican\(a^x\) cuando se definen de la manera descrita anteriormente, con\(a > 0\) y\(x\) variando sobre todos los números reales. De todos los valores posibles para la base\(a\), el que más aparece en las matemáticas, las ciencias y la ingeniería es la base\(e\), definida como:

El límite en esta definición significa que a medida que\(x\) se hace más grande —acercándose al infinito (\(\infty\))— los valores de\(\left( 1 ~+~ \frac{1}{x} \right)^x\) acercarse a un número, denotado por\(e\). Más posiciones decimales para se\(e\) pueden obtener haciendo\(x\) suficientemente grandes. ⁴ Por ejemplo, cuando\(x=5 \times 10^6\) el valor es 2.718281555200129. Para valores extremadamente grandes de\(x\), es decir, cuándo\(x \gg 1\) (el símbolo\(\gg\) significa “mucho mayor que”),

\[e ~\approx~ \left( 1 ~+~ \frac{1}{x} \right)^x \quad\Rightarrow\quad e^{1/x} ~\approx~ \left(\left( 1 ~+~ \frac{1}{x} \right)^x\right)^{1/x} ~=~ 1 ~+~ \frac{1}{x} \quad\Rightarrow\quad \left(e^{1/x} ~-~ 1\right)\,x ~\approx~ \left(\frac{1}{x}\right)\,x ~=~ 1 ~,\]así que dejando\(h = 1/x\), y señalando que\(h = 1/x \to 0\) si y solo si\(x \to \infty\), arroja el límite útil: ⁵ Usando el límite anterior, se\(y = e^x\) puede encontrar la derivada de:

Utilizando la definición límite de la derivada para\(f(x) = e^x\),

\[\begin{aligned} \ddx\,\left(e^x\right) ~&=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x+h) ~-~ f(x)}{h} ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{e^{x+h} ~-~ e^x}{h}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {e^x\ izquierda (e^h ~-~ 1\ derecha)} {h} ~=~ e^x\;\ cdot\;\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {e^h ~-~ 1} {h}\ quad\ text {(ya que $e^x$ no dependa de $h$)}\

\ [6pt] &=~ e^x\;\ cdot\; 1 ~=~ e^x\ final {alineado}\]

En general, para una función diferenciable\(u = u(x)\) como exponente, la Regla de Cadena rinde:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): deriv4ex2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de\(y = 4e^{-x^2}\).

Solución:\(\dydx ~=~ 4 e^{-x^2} \;\cdot\; \ddx\,(-x^2) ~=~ 4 e^{-x^2} \;\cdot\; (-2x) ~=~ -8x e^{-x^2}\)

A la función\(e^x\) se le suele referir simplemente como la función exponencial, aunque obviamente hay muchas funciones exponenciales. ¿Qué hace que la base sea\(e\) tan especial? Tomar\(y = Ae^{kt}\) para representar la cantidad de alguna cantidad física a la vez\(t\), para algunas constantes\(A\) y\(k\). Entonces

\[\dydt ~=~ \ddt\,\left(Ae^{kt}\right) ~=~ k \cdot Ae^{kt} = ky ~,\]que dice que la tasa instantánea de cambio de la cantidad es directamente proporcional a la cantidad presente en ese instante. Resulta que muchas cantidades físicas exhiben ese comportamiento, algunas de las cuales serán discutidas en breve. Por el contrario, en el Capítulo 5 se demostrará que cualquier solución a la ecuación diferencial\(\dydt = ky\) debe ser de la forma\(y = Ae^{kt}\) para alguna constante\(A\). Esto es lo que le da a la función exponencial su especial significación.

\(f(x) = e^x\)Déjese ser la función exponencial. Entonces\(f(x) > 0\) para todos\(x\) y\(f'(x) = f(x) = e^x > 0\) para todos\(x\), y así\(f(x)\) es estrictamente creciente. El gráfico se muestra en la Figura [fig:exp].

Así, la función exponencial es uno a uno sobre el conjunto de todos los números reales y por lo tanto tiene una función inversa, llamada la función de logaritmo natural, denotada (en función de\(x\)) as\(f^{-1}(x) = \ln\,x\). El gráfico se muestra en la Figura [fig:ln]. A continuación se muestra un resumen de la relación entre\(e^x\) y\(\ln\,x\):

El lector debe ser consciente de que muchos, si no la mayoría, campos fuera de las matemáticas utilizan la notación\(\log\,x\) en lugar de\(\ln\,x\) para la función de logaritmo natural. ⁶ A partir del álgebra se deben conocer las siguientes propiedades del logaritmo natural, junto con sus propiedades equivalentes en términos de la función exponencial: ⁷

Para encontrar la derivada de\(y = \ln\,x\), use\(x = e^y\):

\[\dydx ~=~ \frac{1}{\dxdy} ~=~ \frac{1}{\ddy\,\left(e^y\right)} ~=~ \frac{1}{e^y} ~=~ \frac{1}{x}\]De ahí que: En general, para una función diferenciable\(u = u(x)\), la Regla de Cadena rinde:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivlnx2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de\(y = \ln\,\left(x^2 + 3x - 1\right)\).

Solución:\(\Dydx ~=~ \dfrac{1}{x^2 + 3x - 1} \;\cdot\; \Ddx\,(x^2 + 3x - 1) ~=~ \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x - 1}\)

Recordemos que\(\abs{x} = -x\) para\(x < 0\), en cuyo caso\(\ln\,(-x)\) se define y

\[\ddx\,(\ln\,\abs{x}) ~=~ \ddx\,(\ln\,(-x)) ~=~ \frac{1}{-x} \;\cdot\; (-1) ~=~ \frac{1}{x} ~.\]Combina ese resultado con la derivada\(\ddx\,(\ln\,x) = \frac{1}{x}\)\(x > 0\) para obtener:

Para algunas funciones es más fácil diferenciar primero el logaritmo natural de la función y luego resolver para la derivada de la función original. Esta técnica se denomina diferenciación logarítmica, demostrada en los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivxx

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de\(y = x^x\).

Solución: Para este ejemplo supongamos\(x > 0\) (ya que\(x\) es tanto la base como el exponente). Tenga en cuenta que no puede usar la Regla de Potencia para esta función ya que el exponente\(x\) es una variable, no un número fijo. En su lugar, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación\(y = x^x\) y luego tome la derivada de ambos lados y resuelva para\(y'\):

\[\begin{aligned} \ln\,y ~&=~ \ln\,\left(x^x\right) ~=~ x \;\cdot\; \ln\,x\\ \ddx\,(\ln\,y) ~&=~ \ddx\,(x \;\cdot\; \ln\,x)\

\ [4pt]\ frac {y'} {y} ~&=~ 1\;\ cdot\;\ ln\, x ~+~ x\;\ cdot\;\ frac {1} {x}\

\ [4pt] y' ~&=~ y\, (\ ln\, x ~+~ 1) ~=~ x^x\, (\ ln\, x ~+~ 1)\ end {alineado}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivlogdiff

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de\(y = \frac{(2x + 1)^7 (3x^3 - 7x + 6)^4}{(1 + \sin x)^5}\).

Solución: Use la diferenciación logarítmica tomando el logaritmo natural\(y\) y luego use las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación antes de resolver\(y'\):

\[\begin{aligned} \ln\,y ~&=~ \ln\,\left(\frac{(2x + 1)^7 (3x^3 - 7x + 6)^4}{(1 + \sin\,x)^5}\right) ~=~ \ln\,\left((2x + 1)^7 (3x^3 - 7x + 6)^4\right) ~-~ \ln\,\left((1 + \sin\,x)^5\right)\

\ [6pt] &=~\ ln\,\ izquierda ((2x + 1) ^7\ derecha) ~+~\ ln\,\ izquierda ((3x^3 - 7x + 6) ^4\ derecha) ~-~\ ln\,\ izquierda ((1 +\ sin\, x) ^5\ derecha)\

\ [4pt]\ ddx\, (\ ln\, y) &=~\ ddx\,\ izquierda (7\,\ ln\, (2x + 1) ~+~ 4\,\ ln\, (3x^3 - 7x + 6) ~-~ 5\,\ ln\, (1 +\ sin\, x)\ derecha)\\ frac {y'} {y} &=~ 7\ cdot\ frac {2} {2x + 1} ~+~ 4\ cdot\ frac {9x^2 - 7} {3x^3 - 7x + 6} ~-~ 5\ cdot\ frac {\ cos\, x} {1 +\ sin\, x}\

\ [4pt] y' ~&=~ y\ cdot\ izquierda (\ frac {14} {2x + 1} ~+~\ frac {36x^2 - 28} {3x^3 - 7x + 6} ~-~\ frac {5\ cos\, x} {1 +\ sin\, x}\ derecha)\

\ [6pt] &=~\ frac {(2x + 1) ^7 (3x^3 - 7x + 6) ^4} {(1 +\ sin x) ^5}\ cdot\ izquierda (\ frac {14} {2x + 1} ~+~\ frac {36x^2 - 28} {3x^3 - 7x + 6} ~-~\ frac {5\ cos\, x} {1 +\ sin\, x}\ derecha)\ fin {alineado}\]

Un ejemplo clásico de la ecuación diferencial\(\dydt = ky\) es el caso de la desintegración exponencial de una sustancia radiactiva., a menudo referido simplemente como desintegración radiactiva. En este caso la solución general\(y = Ae^{kt}\) representa la cantidad de la sustancia en el momento\(t \ge 0\), y la constante de decaimiento\(k\) es negativa:\(\dydt < 0\) ya que la sustancia se está desintegrando (es decir, la cantidad de sustancia está disminuyendo) mientras\(y > 0\), así\(\dydt = ky\) implica que \(k < 0\).

La constante\(A\) es la cantidad inicial de la sustancia, es decir, la cantidad en el tiempo\(t = 0\):\(y(0) = Ae^{0t} = Ae^0 = A\). Por esta razón a veces\(A\) se denota por\(A_0\). La constante\(k\) resulta estar relacionada con la vida media de la sustancia, definida como el tiempo\(t_H\) requerido para que la mitad de la cantidad actual de sustancia se desintegre (ver Figura [fig:expdecay]).

Podrías tener la tentación de pensar que la vida media no es una constante, que podría cambiar dependiendo de la cantidad de sustancia presente. Por ejemplo, tal vez tardaría más tiempo para que 100 g de la sustancia se desintegraran a 50 g que lo haría para que 10 g se desintegraran a 5 g Sin embargo, esto no es así. Para ver por qué, elige cualquiera\(t \ge 0\) como la hora actual, de modo que esa\(y(t) = A_0 e^{kt}\) es la cantidad actual de la sustancia. Por definición, esa cantidad debe reducirse a la mitad cuando\(t_H\) haya pasado el tiempo, es decir,\(y(t + t_H) = \frac{1}{2} y(t)\). Entonces\(t_H\) sí resulta ser independiente de la cantidad inicial\(A_0\) y depende sólo de\(k\), ya que

\[\begin{aligned} y(t + t_H) ~=~ \frac{1}{2} y(t) \quad&\Rightarrow\quad A_0 e^{k(t + t_H)} ~=~ \frac{1}{2} A_0 e^{kt} \quad\Rightarrow\quad \cancel{A_0} \cancel{e^{kt}} \cdot e^{kt_H} ~=~ \frac{1}{2}\cancel{A_0} \cancel{e^{kt}}\

\ [4pt] &\ Rightarrow\ quad e^ {kt_h} ~=~\ frac {1} {2}\ quad\ Rightarrow\ quad kt_h ~=~\ ln\,\ left (\ frac {1} {2}\ right) ~=~ -\ ln\ ,2\ end {alineado}\] y así:

Supongamos que 5 mg de una sustancia radiactiva se descompone a 3 g en 6 horas. Encuentra la vida media de la sustancia.

Solución: Considera\(A_0 = 5\) mg como la cantidad inicial, por lo que esa\(y(t) = 5 e^{kt}\) es la cantidad en\(t \ge 0\) horas de tiempo. Use la información dada que\(y(6) = 3\) mg para encontrar\(k\), la constante de decaimiento de la sustancia:

\[3 ~=~ y(6) ~=~ 5 e^{k6} \quad\Rightarrow\quad 6k ~=~ \ln\,\left(\frac{3}{5}\right) \quad\Rightarrow\quad k ~=~ \frac{1}{6}\,\ln\,0.6\]Entonces la vida media\(t_H\) es:

\[t_H ~=~ -\frac{\ln\,2}{k} ~=~ -\frac{\ln\,2}{\frac{1}{6}\,\ln\,0.6} ~=~ 8.14 ~\text{hours}\]

Obsérvese en el ejemplo anterior que\(t = 6\) se utilizó el tiempo dado para encontrar la constante\(k\) y luego la semivida\(t_H\). Para el problema inverso, dado que la vida media encuentra el tiempo requerido para que una cierta cantidad desaparezca, harías lo contrario: usar lo dado\(t_H\) para encontrar\(k\) y luego resolver el tiempo requerido a\(t\) partir de la ecuación\(y(t) = A_0 e^{kt}\).

Otro ejemplo de la ecuación diferencial\(\dydt = ky\) es el crecimiento exponencial de bacterias celulares, en cuyo caso\(k > 0\) ya que el número de células\(y(t)\) a la vez\(t\) va en aumento.

Otro ejemplo es para la corriente\(I\) en un circuito eléctrico en serie simple con una fuente de voltaje de corriente continua constante (CC)\(V\), un condensador con capacitancia\(C\), una resistencia con resistencia\(R\), y un interruptor, como en la Figura [fig:dccirc]. Si el condensador está inicialmente descargado cuando el interruptor está abierto, y si el interruptor está cerrado en el momento\(t = 0\), entonces la corriente\(I(t)\) a través del circuito en el momento\(t \ge 0\) satisface (por la Segunda Ley de Kirchoff) la ecuación diferencial

\[RC\frac{d\negmedspace I}{\dt} ~+~ I ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d\negmedspace I}{\dt} ~=~ -\frac{I}{RC}\]de manera que\(I(t) = I_0 e^{-t/RC}\) donde\(I_0\) esta la corriente inicial en\(t = 0\). La Ley de Ohm dice que\(V = I_0R\), entonces

\[I(t) ~=~ \frac{V}{R} e^{-t/RC}\]es la corriente en el tiempo\(t \ge 0\), que disminuye exponencialmente.

En los ejemplos anteriores las cantidades que decayeron o crecieron exponencialmente lo hicieron como funciones del tiempo. Sin embargo, hay otras variables posibles además del tiempo. Por ejemplo, la presión atmosférica\(p\) medida en función de la altura\(h\) sobre la superficie de la Tierra satisface, suponiendo temperatura constante, la ecuación diferencial

\[\frac{d\negmedspace p}{d\!h} ~=~ -\frac{w_0}{p_0}\,p\]donde\(p_0\) está la presión en altura\(h = 0\) (es decir, nivel del suelo) y\(w_0\) es el peso de un pie cúbico de aire a presión\(p_0\) (con presión de aire medida en lbs por pie cuadrado y altura medida en pies). Por lo tanto,

\[p(h) ~=~ p_0\;e^{-\frac{w_0}{p_0}\,h} ~.\]Por lo que la presión atmosférica disminuye exponencialmente a medida que aumenta la altura sobre el suelo.

[sec2dot3]

Para Ejercicios 1-12, encuentra la derivada de la función dada.

3

\(y ~=~ e^{2x}\)

\(y ~=~ xe^{x^2}\)

\(y ~=~ e^{-x} ~-~ e^{x}\)

3

\(y ~=~ e^{\sin\;x}\vphantom{\dfrac{1 ~+~ e^x}{1 ~-~ e^x}}\)

\(y ~=~ \dfrac{1 ~+~ e^x}{1 ~-~ e^x}\)

\(y ~=~ \dfrac{1}{1 ~+~ e^{-2x}}\)

3

\(y ~=~ e^{e^x}\)

\(y ~=~ e^{2\,\ln\,x}\)

\(y ~=~ \ln\,(3x)\)

3

\(y ~=~ \ln\,(x^2 ~+~ 2x ~+~ 1)^4\)

\(y ~=~ \left(\ln (\tan\;x^2 )\right)^3\)

\(y ~=~ \ln\,(e^x ~+~ e^{2x})\)

Demuéstralo\(~\dfrac{d}{\dx}\,\left(\ln\,(kx)\right) ~=~ \dfrac{1}{x}~\) para todas las constantes\(k > 0\).

Demuéstralo\(~\dfrac{d}{\dx}\,\left(\ln\,\left(x^n\right)\right) ~=~ \dfrac{n}{x}~\) para todos los enteros\(n \ge 1\).

Para los Ejercicios 15-18, utilice la diferenciación logarítmica para encontrar\(\dydx\). [[1.] ]

4

\(y ~=~ x^{x^2}\phantom{\dfrac{x^2}{x^3}}\vphantom{\left(\dfrac{x^3}{2}\right)^{8}}\)

\(y ~=~ x^{\ln\,x}\phantom{\dfrac{x^2}{x^3}}\vphantom{\left(\dfrac{x^3}{2}\right)^{8}}\)

\(y ~=~ x^{\sin\,x}\phantom{\dfrac{x^2}{x^3}}\vphantom{\left(\dfrac{x^3}{2}\right)^{8}}\)

\(y ~=~ \dfrac{(x+2)^{8} \, (3x-1)^{7}}{(1-5x)^4}\vphantom{\left(\dfrac{x^3}{2}\right)^{8}}\)

[[1.] ]

Supongamos que tarda 8 horas para que 30% de una sustancia radiactiva se desintegre. Encuentra la vida media de la sustancia.

El isótopo radiactivo radio-223 tiene una vida media de 11.43 días. ¿Cuánto tiempo tardarían 3 kg de radio-223 en decairse a 1 kg?

Si cierta población celular crece exponencialmente —es decir, es de la forma\(A_0e^{kt}\) con\(k>0\) — y si la población se duplica en 6 horas, ¿cuánto tiempo tardaría en cuadruplicar a la población?

Para los Ejercicios 22-25, use la inducción para probar la fórmula dada para todos\(n \ge 0\). [[1.] ]

2

\(\dfrac{d^n}{\dx^n}\,\left(e^{kx}\right) ~=~ k^n \,e^{kx}\quad\)(cualquier constante\(k \ne 0\))

\(\dfrac{d^n}{\dx^n}\,\left(x\,e^x\right) ~=~ (x + n)\,e^x\)

2

\(\dfrac{d^n}{\dx^n}\,\left(x\,e^{-x}\right) ~=~ (-1)^n (x - n)\,e^{-x}\vphantom{\dfrac{d^{n+1}}{\dx^{n+1}}}\)

\(\dfrac{d^{n+1}}{\dx^{n+1}}\,\left(x^n\;\ln\,x\right) ~=~ \dfrac{n!}{x}\)

Demostrar eso\(f'(x) = f(x)\,(1 - f(x))\) para la función de la neurona sigmoidea\(f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}\). Esta relación derivada se utiliza en algoritmos de aprendizaje de redes neuronales.

Si\(\;y = C e^{-\kappa t}\,\cos\,\left(\sqrt{n^2 - \kappa^2}\;t ~+~ \gamma\right)~\) entonces muestra eso

\[\frac{d^2y}{\dt^2} ~+~ 2\kappa\,\dydt ~+~ n^2 y ~=~ 0\]para todas las constantes\(C\),\(n\),\(\kappa\),\(\gamma\), con\(0 \le \kappa \le n\). [[1.] ]

Supongamos que\(~e^y + e^x ~=~ e^{y + x}\). Demostrar eso\(\dydx = -e^{y-x}\).

[exer:expdx] Para un infinitesimal\(\dx\) mostrar eso\(e^{\dx} = 1 \;+\; \dx\). (Pista: Uso\(\ddx\,(e^x) = e^x\).)

Para un infinitesimal\(\dx\) mostrar eso\(\ln\,(1 + \dx) = \dx\).