4.2: Croquizado de curvas
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Una función puede aumentar entre dos puntos de diferentes maneras, como se muestra en la Figura [fig:cóncav3].
En cada caso en la figura anterior la función va en aumento, de manera que\(f'(x) > 0\), pero la manera en que la función aumenta viene determinada por su concavidad, es decir, por el signo de la segunda derivada\(f''(x)\). La función en la gráfica del extremo izquierdo es lineal, es decir, de la forma\(f(x) = ax+b\) para algunas constantes\(a\) y\(b\), así que\(f''(x)=0\) para todos\(x\). Pero las funciones en las otras dos gráficas son no lineales. En la gráfica media la derivada\(f'\) va en aumento, de manera que\(f''>0\); en este caso la función se llama cóncava hacia arriba. En la gráfica del extremo derecho la derivada\(f'\) está disminuyendo, de modo que\(f''<0\); en este caso la función se denomina cóncava hacia abajo. Las mismas definiciones se mantendrían si la función estuviera disminuyendo, como se muestra en la Figura [fig:dconcav3] a continuación:
En las Figuras [fig:concav3] (b) y [fig:dconcav3] (b) la función está por debajo de la línea que une los puntos en cada extremo, mientras que en la Figura [fig:concav3] (c) y [fig:dconcav3] (c) la función está por encima de esa línea. Esto resulta ser cierto en general, como resultado del siguiente teorema:
Prueba: Sólo se probará la parte (a); la prueba de la parte (b) es similar y se deja como ejercicio. Entonces asumamos eso\(f''(x)>0\) en\((a,b)\), y\(l(x)\) ser la línea que une\((a,f(a))\) y\((b,f(b))\), como en el dibujo de la derecha. El dibujo sugiere que\(f(x)\) <\(l(x)\) sobre\((a,b)\), pero esto es lo que hay que probar.
El objetivo es mostrar eso\(g(x) = f(x) - l(x) < 0\) encendido\((a,b)\), ya que esto lo demostrará\(f(x) < l(x)\) en\((a,b)\). Desde\(f\) y ambos\(l\) son continuos en\(\ival{a}{b}\) entonces así es\(g\). De ahí\(g\) que tenga un máximo global en algún lugar de\(\ival{a}{b}\), por el Teorema del Valor Extremo. Supongamos que el máximo global ocurre en un punto interior\(x=c\), es decir, para algunos\(c\) en el intervalo abierto\((a,b)\). Entonces\(g'(c)=0\) y\(g''(c)=f''(c)-l''(c)=f''(c)>0\), ya que\(l(x)\) es una línea y por lo tanto tiene una segunda derivada de\(0\) para todos\(x\). Entonces por la Segunda Derivada Prueba\(g\) tiene un mínimo local en\(x=c\), lo que contradice\(g\) tener un máximo global at\(x=c\). Así, el máximo global de\(g\) no puede ocurrir en un punto interior, por lo que debe ocurrir en uno de los puntos finales\(x=a\) o\(x=b\). En otras palabras, ya sea\(g(x)<g(a)\) o\(g(x)<g(b)\) para todos\(x\) en\((a,b)\). Pero\(f(a)=l(a)\) y\(f(b)=l(b)\), entonces\(g(a)=0=g(b)\). Por lo tanto,\(g(x)<0\) para todos\(x\) en\((a,b)\), es decir,\(f(x) < l(x)\) para todos\(x\) en\((a,b).\quad\checkmark\)
Los puntos donde cambia la concavidad de una función tienen un nombre especial:
Obsérvese que para ser un punto de inflexión no basta que la segunda derivada sea 0 en ese punto; la segunda derivada debe cambiar signo alrededor de ese punto, ya sea de positivo a negativo o de negativo a positivo. Por ejemplo,\(f(x) = x^3\) tiene un punto de inflexión en\(x=0\), ya que\(f''(x)=6x<0\) para\(x<0\) y\(f''(x)=6x>0\) para\(x>0\), es decir,\(f''(x)\) los cambios se muestran alrededor\(x=0\) (y por supuesto\(f''(0)=0\)). Pero para\(f(x)=x^4\), no\(x=0\) es un punto de inflexión aunque\(f''(0)=0\), ya que siempre\(f''(x)=12x^2\ge 0\) es no negativo. Es decir, siempre\(f(x)=x^4\) es cóncava hacia arriba. La figura [fig:inflpt] a continuación muestra la diferencia:
La Figura [fig:inflpt] (b) muestra que un punto donde la segunda derivada es 0 es un posible punto de inflexión, pero aún debe verificar que la segunda derivada cambie signo alrededor de ese punto. Usando mínimos y máximos locales, puntos de concavidad e inflexión, y donde una función aumenta o disminuye, puede bosquejar la gráfica de una función.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): graph1
Esbozar la gráfica de\(f(x) ~=~ x^3 ~-~ 6x^2 ~+~ 9x ~+~ 1\). Encuentra todos los máximos y mínimos locales, puntos de inflexión, donde la función está aumentando o disminuyendo, y donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
Solución
Desde\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 ~=~ 3\,(x-1)\,(x-3)\) entonces\(x=1\) y\(x=3\) son los únicos puntos críticos. Y desde\(f''(x) = 6x-12\) entonces\(f''(1) = -6 < 0\) y\(f''(3) = 6 > 0\). Entonces por la Segunda Prueba Derivada,\(f\) tiene un máximo local en\(x=1\) y un mínimo local en\(x=3\). Ya que\(f''(x) = 6x-12 < 0\) para\(x<2\) y\(f''(x) = 6x-12 > 0\) para\(x>2\), entonces\(x=2\) es un punto de inflexión, y\(f\) es cóncavo hacia abajo para\(x <2\) y cóncavo hacia arriba para\(x>2\). La siguiente tabla muestra dónde\(f\) está aumentando y disminuyendo, con base en el signo de\(f'\):
| \(x\)valores | \(3\,(x-1)\) | \((x-3)\) | \(f'(x)\) | dirección |
|---|---|---|---|---|
| \ (x\) valores” style="text-align:center; ">\(x < 1\) | \ (3\, (x-1)\)” style="text-align:center; ">\(-\) | \ ((x-3)\)” style="text-align:center; ">\(-\) | \ (f' (x)\)” style="text-align:center; ">\(+\) | \(f\)está aumentando |
| \ (x\) valores” style="text-align:center; ">\(1 < x < 3\) | \ (3\, (x-1)\)” style="text-align:center; ">\(+\) | \ ((x-3)\)” style="text-align:center; ">\(-\) | \ (f' (x)\)” style="text-align:center; ">\(-\) | \(f\)está disminuyendo |
| \ (x\) valores” style="text-align:center; ">\(x > 3\) | \ (3\, (x-1)\)” style="text-align:center; ">\(+\) | \ ((x-3)\)” style="text-align:center; ">\(+\) | \ (f' (x)\)” style="text-align:center; ">\(+\) | \(f\)está aumentando |
La gráfica se muestra a continuación:
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): graph2
Esbozar la gráfica de\(f(x) ~=~ \frac{-x}{1 ~+~ x^2}\). Encuentra todos los máximos y mínimos locales, puntos de inflexión, donde la función está aumentando o disminuyendo, y donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Indicar también alguna asíntota.
Solución
Desde\(f'(x) = \frac{x^2 - 1}{(1+x^2)^2}\) entonces\(x=1\) y\(x=-1\) son los únicos puntos críticos. Y desde\(f''(x) = \frac{2x\,(3 - x^2)}{(1+x^2)^3}\) entonces\(f''(1) = \frac{1}{2} > 0\) y\(f''(-1) = -\frac{1}{2} < 0\). Entonces por la Segunda Prueba Derivada,\(f\) tiene un mínimo local en\(x=1\) y un máximo local en\(x=-1\). Ya que\(f''(x) > 0\) para\(x<-\sqrt{3}\),\(f''(x) < 0\) para\(-\sqrt{3}<x<0\),\(f''(x) > 0\) para\(0<x<\sqrt{3}\), y\(f''(x) < 0\) para\(x>\sqrt{3}\), entonces\(x=0,\pm\sqrt{3}\) son puntos de inflexión,\(f\) es cóncavo hacia arriba para\(x<-\sqrt{3}\) y para\(0<x<\sqrt{3}\), y\(f\) es cóncavo hacia abajo para\(-\sqrt{3}<x<0\) y para\(x>\sqrt{3}\). Desde\(f'(x)>0\) para\(x<-1\) y\(x>1\) entonces\(f\) va en aumento para\(\abs{x} > 1\). Y\(f'(x)<0\) para los\(-1<x<1\) medios\(f\) está disminuyendo para\(\abs{x}<1\). Finalmente, desde\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) y\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) entonces el\(x\) -axis (\(y=0\)) es una asíntota horizontal. No hay asíntotas verticales (¿por qué?).
La gráfica se muestra a continuación:
Si la Prueba de Segunda Derivada falla entonces una alternativa es la siguiente prueba:
Esta prueba simplemente establece lo obvio: una función disminuye luego aumenta alrededor de un mínimo, y luego aumenta disminuye alrededor de un máximo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): graph3
Esbozar la gráfica de\(f(x) = x^{2/3}\).
Solución
Claramente\(f(x)\) es continuo para todos\(x\), incluyendo\(x=0\) (desde\(f(0)=0\)), pero no\(f'(x) = \frac{2}{3\,\sqrt[3]{x}}\) se define en\(x=0\). Dado que\(f'(x)\) cambia de negativo a positivo alrededor\(x=0\) (\(f'(x) < 0\)cuándo\(x < 0\) y\(f'(x) > 0\) cuándo\(x > 0\)), entonces por la Prueba de Primera Derivada\(f\) tiene un mínimo local en\(x=0\). Ya que\(f''(x) = -\, \frac{2}{9\,x^{4/3}} < 0\) para todos\(x \ne 0\), entonces siempre\(f\) es cóncavo hacia abajo. No hay asíntotas verticales ni horizontales. El gráfico se muestra a la derecha.
Tenga en cuenta que la Prueba de Segunda Derivada no se pudo utilizar para esta función, ya que\(f'(x) \ne 0\) para todos\(x\) (aviso también que no\(f''(x)\) está definido en\(x=0\)).
Una alternativa más completa a la Segunda Prueba Derivada es la siguiente: 4
Tenga en cuenta que la Prueba de Segunda Derivada es el caso especial donde se encuentra\(n=2\) en la Prueba Derivada N º Aunque esta prueba da condiciones necesarias y suficientes para un máximo local, mínimo local y punto de inflexión, calcular las primeras\(n\) derivadas puede ser complicado si\(n\) es grande y la función dada no es simple.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): graph4
Agrega texto aquí.
Solución
La Prueba de Segunda Derivada falla para\(f(x)=x^4\) en el punto crítico\(x=0\), ya que\(f''(0)=0\). Pero los primeros 4 derivados de\(f(x)=x^4\) son\(f'(x)=4x^3\),\(f''(x)=12x^2\),\(f^{(3)}(x)=24x\), y\(f^{(4)}(x)=24\), que son todos continuos y
\[f^{(k)}(0) ~=~ 0 ~~\text{for $k=1$, $2$, $3$} \quad\text{and}\quad f^{(4)}(0) ~=~ 24 ~\ne~ 0 ~.\]
Así que por la N º Prueba Derivada, ya que\(n=4\) es par y\(f^{(4)}(0)=24>0\) luego\(f(x)=x^4\) tiene un mínimo local en\(x=0\). Tenga en cuenta que\(f(x) \ge 0 = f(0)\) para todos\(x\), por lo que en realidad\(x = 0\) es un mínimo global para\(f\).
Una práctica común en muchos campos de la ciencia y la ingeniería es combinar múltiples constantes nombradas (por ejemplo\(\pi\)) o variables en una función en una variable y luego esbozar un gráfico de esa función. El siguiente ejemplo ilustra la técnica.
\[D(r) ~=~ \frac{4}{a_0^3}\,r^2 e^{-2r/a_0}\]
y\(a_0 \approx 5.291772 \times 10^{-11}\) m es el radio de Bohr. Es útil analizar esta función en términos de\(r \ge 0\) en relación con el radio de Bohr\(a_0\) (e.g.\(r= 0.5a_0\)\(a_0\),\(2a_0\),\(3a_0\)). Para ello, vamos\(x = \frac{r}{a_0}\), para que
\[D(r) ~=~ \frac{4}{a_0}\,\left(\frac{r}{a_0}\right)^2 e^{-2\left(\frac{r}{a_0}\right)} \quad\Rightarrow\quad a_0\,D(x) ~=~ 4x^2 e^{-2x}\]
y luego bosquejar la gráfica de\(a_0\,D(x)\), que se muestra a continuación:
De la gráfica parece que\(x=1\) (es decir\(r = a_0\)) es un máximo local (y global), por lo que es más probable que el electrón se encuentre cerca\(r = a_0\), y la probabilidad cae dramáticamente más allá de una distancia\(r = 3a_0\). En los ejercicios se te pedirá que demuestres que efectivamente\(r = a_0\) es un máximo local y que los puntos de inflexión son\(r = \left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,a_0\).
Obsérvese que el lado derecho de la fórmula\(a_0\,D(x) = 4x^2 e^{-2x}\) no implica\(a_0\), que se multiplicó por el lado izquierdo. En general esa es la estrategia cuando se trata de este tipo de funciones donde se combinan variables y constantes. En este caso la constante perdida se\(a_0\) puede multiplicar por\(D\) ya que eso no afectará la ubicación de los puntos críticos y de inflexión, ni alterará fundamentalmente la forma general de la gráfica.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): thermalex
Agrega texto aquí.
Solución
Para una sola partícula con dos estados —energía 0 y energía\(\epsilon\) — en contacto térmico con un reservorio a temperatura\(\tau\), la energía promedio\(U\) y la capacidad calorífica\(C_V\) están dadas por
\[U ~=~ \epsilon\,\frac{e^{-\epsilon/\tau}}{1 + e^{-\epsilon/\tau}} \quad\text{and}\quad C_V ~=~ k_B\,\left(\frac{\epsilon}{\tau}\right)^2 \frac{e^{\epsilon/\tau}}{\left(1 + e^{\epsilon/\tau}\right)^2}\]donde\(k_B \approx 1.38065 \times 10^{\text{\) -\(}23}\) J/K es la constante de Boltzmann. El siguiente gráfico muestra tanto cantidades como funciones de\(\tau/\epsilon\) (no\(\epsilon/\tau\), como cabría esperar). Ver Ejercicio [exer:thermalex].
[sec4dot2]
Para los Ejercicios 1-8 bosquejar la gráfica de la función dada. Encuentra todos los máximos y mínimos locales, puntos de inflexión, donde la función está aumentando o disminuyendo, donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, e indicar cualquier asíntota.
4
\(f(x) ~=~ x^3 - 3x\vphantom{;e^{-x^2}}\)
\(f(x) ~=~ x^3 - 3x^2 + 1\vphantom{;e^{-x^2}}\)
\(f(x) ~=~ xe^{-x}\vphantom{;e^{-x^2}}\)
\(f(x) ~=~ x^2 \;e^{-x^2}\)
4
\(f(x) ~=~ \dfrac{1}{1 ~+~ x^2}\vphantom{\dfrac{e^{-x} ~-~ e^{-2x}}{2}}\)
\(f(x) ~=~ \dfrac{x^2}{(x - 1)^2}\vphantom{\dfrac{e^{-x} ~-~ e^{-2x}}{2}}\)
\(f(x) ~=~ \dfrac{e^{-x} ~-~ e^{-2x}}{2}\)
\(f(x) ~=~ e^{-x}\;\sin\,x\vphantom{\dfrac{e^{-x} ~-~ e^{-2x}}{2}}\)
[exer:thermalex] Escribir\(U/\epsilon\) y\(C_V/k_B\) desde Ejemplo
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): thermalex
Agrega texto aquí.
Solución
como funciones de\(x=\tau/\epsilon\). No es necesario bosquejar las gráficas.
Mostrar que la función\(D(r) = \frac{4}{a_0^3}\,r^2 e^{-2r/a_0}\) de Ejemplo
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): graph5
Agrega texto aquí.
Solución
tiene un máximo local en\(r=a_0\) y puntos de inflexión en\(r = \left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,a_0\).
Dibuje el gráfico del potencial\(V(r) = -2D\,\left(\frac{a}{r} - \frac{1}{2} \frac{a^2}{r^2}\right)\) molecular de Kratzer en función de\(x=\frac{r}{a}\), con\(a > 0\) y\(D > 0\) como constantes.
Dibuje la gráfica de\(f(K) = \frac{2N\sqrt{K}\,e^{-\frac{K}{kT}}}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\) como una función de\(x=\frac{K}{kT}\)\(N\), con\(k\) y\(T\) como constantes positivas.
Demostrar parte (b) del Teorema de Concavidad.