8.5: Aplicaciones en Física y Estadística

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Este capítulo concluye con algunas aplicaciones que muestran cómo algunas sumas discretas familiares pueden ser reemplazadas por integrales, que son esencialmente sumas continuas.

Supongamos que una varilla delgada y uniforme tiene$n>1$ masas$m_1,\ldots,m_n$ adheridas, con$m_1$ y$m_n$ en los extremos. El centro de gravedad de las masas es el punto donde —debido a la gravedad de la Tierra— la vara se equilibraría si se colocara allí un fulcro (ver Figura [fig:m1m2rod] (a)). Imagínese la varilla como parte del$x$ eje -y los pesos como masas puntuales —con cada masa$m_k$ en$x_k$ —y dejar que el centro de gravedad esté en$\bar{x}$, como en la Figura [fig:m1m2rod] (b).

La varilla se equilibra si las masas no giran la varilla, es decir, el par total es cero. El par se define aquí como fuerza veces posición relativa a$\bar{x}$. Cada masa$m_k$ aplica una fuerza$m_kg$ a la varilla —donde$g$ está la aceleración (hacia abajo) debido a la gravedad de la Tierra— en posición$(x_x-\bar{x})$ relativa a$\bar{x}$. Por lo tanto, el par total es cero si

\[(m_1g)\,(x_1-\bar{x}) ~+~ (m_2g)\,(x_2-\bar{x}) ~+~ \cdots ~+~ (m_ng)\,(x_n-\bar{x}) ~=~ 0\]para que resolviendo$\bar{x}$ rendimientos:

\[\label{eqn:cogdiscrete} \bar{x} ~=~ \frac{m_1gx_1 + \cdots + m_ngx_n}{m_1g + \cdots + m_ng} ~=~ \frac{m_1x_1 + \cdots + m_nx_n}{m_1 + \cdots + m_n} ~=~ \frac{\sum_{k=1}^n \;m_kx_k}{\sum_{k=1}^n \;m_k}\]A cada cantidad$m_kx_k$ se le llama el momento de la masa$m_k$. Así,$\bar{x}$ es la suma de los momentos dividida por la masa total. Esta idea puede extenderse a regiones en el$xy$ plano, utilizando una integral de un continuo de momentos en lugar de una suma finita. El centro de gravedad de una región plana se define como el punto tal que cualquier fuerza a lo largo de una línea a través de ese punto no produce rotación de la región alrededor de esa línea. ⁸ Por lo tanto, debe haber par cero tanto en la$x$$y$ dirección como, por lo que la idea es aplicar la fórmula ([eqn:cogdiscrete]) en ambas direcciones para obtener el centro de gravedad de la región$(\bar{x},\bar{y})$. Una región se puede considerar como una lámina, una placa delgada con densidad uniforme. Tomar el área de la región como su masa, lo que tiene sentido dada la densidad uniforme. Para la región entre dos curvas$y=f_1(x)$ y$y=f_2(x)$ más$\ival{a}{b}$, con$f_1(x) \ge f_2(x)$, tomar un corte vertical de ancho$\dx$ en algunas$x$, como en la Figura [fig:cogregion] (a). Por los mismos argumentos utilizados en la Sección 8.4, toda el área de esa tira proviene del rectángulo de altura$f_1(x)-f_2(x)$ y ancho$\dx$ (ver el rectángulo sombreado en la Figura [fig:cogregion] (b)).

Por el supuesto de densidad uniforme, el centro de gravedad de ese rectángulo es claramente su centro geométrico, cuyas coordenadas son$\left(x+\frac{1}{2}\dx,\frac{1}{2}(f_1(x)+f_2(x))\right)$. Toda la masa de la tira se puede tratar como si estuviera concentrada en ese punto. El momento$m_x$ de la tira alrededor del$x$ eje es su masa multiplicada por la posición de su centro de gravedad con respecto al$x$ eje -eje (es decir, su$y$ coordenada):

\[m_x ~=~ (f_1(x)-f_2(x))\,\dx\,\cdot\,(\tfrac{1}{2}\,(f_1(x)+f_2(x))) ~=~ \tfrac{1}{2}\,((f_1(x))^2 - (f_2(x))^2)\,\dx\]De igual manera, el momento$m_y$ de la franja alrededor del$y$ eje es su masa multiplicada por la$x$ coordenada de su centro de gravedad:

\[\begin{aligned} m_y ~&=~ (f_1(x)-f_2(x))\,\dx\,\cdot\,(x+\tfrac{1}{2}\dx) ~=~ x\,(f_1(x)-f_2(x))\,\dx ~+~ \tfrac{1}{2} (f_1(x)-f_2(x))\,(\dx)^2\\ ~&=~ x\,(f_1(x)-f_2(x))\,\dx\end{aligned}\]Los momentos$M_x$ y$M_y$ de toda la región alrededor del$x$ eje -eje y$y$ -eje, respectivamente, se definen como la suma de los momentos respectivos$m_x$ y$m_y$ de todas las franjas sobre$\ival{a}{b}$:

\[M_x \;=\; \int_a^b m_x ~=~ \int_a^b \tfrac{1}{2}\,((f_1(x))^2 - (f_2(x))^2)\;\dx \enskip\text{and}\enskip M_y \;=\; \int_a^b m_y ~=~ \int_a^b x\,(f_1(x)-f_2(x))\;\dx\]Observe en la fórmula ([eqn:cogdiscrete]) que el denominador es la suma de todas las masas en el sistema. Para la región esa masa total sería simplemente su área$M$:

\[M ~=~ \int_a^b (f_1(x)-f_2(x))~\dx\]Dividiendo los$M_x$ momentos y$M_y$ por$M$ produce la fórmula para el centro de gravedad:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: cogregion1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el centro de gravedad de la región delimitada por la curva$y=x^2$ y el$x$ eje para$0 \le x \le 1$.

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha. Usando$y=f_1(x)=x^2$ y$y=f_2(x)=0$ en la fórmula ([eqn:cogregion]) rinde

\[\begin{aligned} M_x ~&=~ \int_0^1 \tfrac{1}{2}\,(f_1(x))^2~\dx ~=~ \int_0^1 \tfrac{1}{2}\,x^4~\dx ~=~ \tfrac{1}{10}\,x^5~\Biggr|_0^1 ~=~ \tfrac{1}{10}\\ M_y ~&=~ \int_0^1 x\,f_1(x)~\dx ~=~ \int_0^1 x^3~\dx ~=~ \tfrac{1}{4}\,x^4~\Biggr|_0^1 ~=~ \tfrac{1}{4}\\ M ~&=~ \int_0^1 f_1(x)~\dx ~=~ \int_0^1 x^2~\dx ~=~ \tfrac{1}{3}\,x^3~\Biggr|_0^1 ~=~ \tfrac{1}{3}\end{aligned}\]para que el centro de gravedad$(\bar{x},\bar{y})$ sea:

\[\bar{x} ~=~ \frac{M_y}{M} ~=~ \frac{1/4}{1/3} ~=~ \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \bar{y} ~=~ \frac{M_x}{M} ~=~ \frac{1/10}{1/3} ~=~ \frac{3}{10}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: cogregion2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el centro de gravedad de la región delimitada por las curvas$y=x$ y$y=x^2$.

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha. Usando$y=f_1(x)=x$ y$y=f_2(x)=x^2$ en la fórmula ([eqn:cogregion]) rinde

\[\begin{aligned} M_x ~&=~ \int_0^1 \tfrac{1}{2}\,((f_1(x))^2-(f_2(x))^2)~\dx ~=~ \int_0^1 \tfrac{1}{2}\,(x^2-x^4)~\dx ~=~ \tfrac{1}{6}\,x^3 - \tfrac{1}{10}\,x^5~\Biggr|_0^1 ~=~ \tfrac{1}{15}\\ M_y ~&=~ \int_0^1 x\,(f_1(x)-f_2(x))~\dx ~=~ \int_0^1 (x^2 - x^3)~\dx ~=~ \tfrac{1}{3}\,x^3 - \tfrac{1}{4}\,x^4~\Biggr|_0^1 ~=~ \tfrac{1}{12}\\ M ~&=~ \int_0^1 (f_1(x) - f_2(x))~\dx ~=~ \int_0^1 (x-x^2)~\dx ~=~ \tfrac{1}{2}\,x^2 - \tfrac{1}{3}\,x^3~\Biggr|_0^1 ~=~ \tfrac{1}{6}\end{aligned}\]para que el centro de gravedad$(\bar{x},\bar{y})$ sea:

\[\bar{x} ~=~ \frac{M_y}{M} ~=~ \frac{1/12}{1/6} ~=~ \frac{1}{2} \quad\text{and}\quad \bar{y} ~=~ \frac{M_x}{M} ~=~ \frac{1/15}{1/6} ~=~ \frac{2}{5}\]

Supongamos que una fuerza constante desplaza un objeto a lo largo de una línea en la misma dirección en la que se aplica la fuerza. El trabajo realizado por la fuerza se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento. Por ejemplo, si la fuerza constante$F$ mueve un objeto de posición$x=a$ a$x=b$ sobre el$x$ eje, como en la Figura [fig:work] (a), entonces el trabajo$W$ realizado por la fuerza es:

\[W ~=~ \text{force}\,\times\,\text{displacement} ~=~ \text{force}\,\times\,\text{(final position $-$ initial position)} ~=~ F\,\cdot\,(b-a)\]

Supongamos ahora que la fuerza$F$ es una función de posición$x$ sobre$\ival{a}{b}$:$F=F(x)$. Por la Propiedad de Microrectitud, sobre un intervalo infinitesimal$\ival{x}{x+\dx}$ la curva$y=F(x)$ es una línea recta, como en la Figura [fig:work] (b). ¿Cómo se debe definir el trabajo$d\!W$ realizado por$F$ sobre este intervalo infinitesimal? Después de todo, no$F$ es constante sobre$\ival{x}{x+\dx}$ —toma todos los valores entre$F(x)$ y$F(x+\dx)$. Se deja como un ejercicio para mostrar que se puede usar cualquier valor en ese rango, todos dan como resultado la misma cantidad$F(x)\,\dx$ para el trabajo realizado. ⁹

Por ejemplo, supongamos que usa el valor a mitad de camino entre$F(x)$ y$F(x+\dx)$ como el valor de$F$:$\frac{1}{2}\,(F(x)+F(x+\dx))$. Entonces el trabajo$d\!W$ como fuerza tiempos de desplazamiento es:

\[\begin{aligned} d\!W ~&=~ \frac{1}{2}\,(F(x) + F(x+\dx))~\dx ~=~ \frac{1}{2}\,(F(x) + F(x)+ F'(x)\,\dx)~\dx\

\ [4pt] &=~ F (x)\,\ dx ~+~\ frac {1} {2}\, F' (x)\,\ cancelto {0} {(\ dx) ^2}\\ &=~ F (x)\,\ dx\ end {alineado}\] Define el trabajo$W$ total$\ival{a}{b}$ como la suma de todos los$d\!W$:

Antes de continuar, es necesario aclarar alguna posible confusión. Primero, la fuerza es siempre un vector —tiene tanto una magnitud como una dirección. Para las fuerzas consideradas aquí, que actúan en una sola dimensión (por ejemplo, a lo largo del$x$ eje), por convención la dirección de la fuerza se indica por su signo: positivo en la dirección hacia$+\infty$, negativo en el sentido hacia$-\infty$. Entonces una fuerza de$3$ N actúa en sentido contrario como una fuerza de$-3$ N, pero tienen la misma magnitud$\abs{3}=3$.

Segundo, el trabajo no es un vector, es un escalar, es decir, tiene una magnitud pero ninguna dirección. Esa magnitud puede tener cualquier señal, sin embargo. El trabajo es positivo si el objeto se desplaza en la misma dirección que la fuerza, pero es negativo si el desplazamiento es en la dirección opuesta a la fuerza. Por ejemplo, si levantas un objeto directamente del suelo, entonces hiciste un trabajo positivo: el objeto se movió en la misma dirección que la fuerza que usaste. No obstante, la fuerza de gravedad hizo un trabajo negativo sobre el objeto a medida que levantabas, ya que la gravedad funciona hacia abajo pero el objeto se movió hacia arriba.

Por último, el trabajo cero se realiza por una fuerza si no se produce ningún desplazamiento en su dirección. En particular, las fuerzas que actúan perpendicularmente a la línea de desplazamiento no realizan ningún trabajo. Por ejemplo, considere un objeto de masa$m$ sobre una mesa horizontal plana como en la figura de la derecha. Si empujas ese objeto hacia la derecha con una fuerza$F$ (realizando un trabajo positivo), entonces tanto la fuerza descendente de gravedad$-mg$ como la fuerza normal ascendente$N$ ejercida por la mesa realizan un trabajo cero sobre el objeto. La fuerza de fricción$F_{\mu}$ de la superficie de la mesa hace un trabajo negativo, ya que se opone a la fuerza$F$. Como otro ejemplo, no se realiza ningún trabajo sosteniendo un objeto$100$ lb quieto y por encima del suelo.

La ley de Hooke establece que un resorte enrollado tiene una fuerza restauradora elástica$F=-kx$, donde$x$ está el desplazamiento del extremo del resorte desde su posición de equilibrio a medida que el resorte se estira o comprime, y$k>0$ es la constante del resorte, o coeficiente de rigidez: específico del resorte. Esta fuerza siempre trata de restaurar el resorte a su posición de equilibrio, y la ley se mantiene sólo para un rango limitado de$x$. Para un resorte colocado horizontalmente imagínese que se encuentra en el$x$ eje -con la posición de equilibrio en$x=0$, como en la figura de la derecha.

Encuentra la constante del resorte$k$ si una fuerza de 2 N estira el resorte 4 cm.
Utilice la parte (a) para encontrar el trabajo realizado comprimiendo el resorte de 3 cm.

Solución: a) La fuerza requerida para estirar el resorte en una cantidad$x$ es$F=kx$, ya que esa fuerza debe contrarrestar la fuerza restauradora. Así,$k=\frac{F}{x}=\frac{2 \text{N}}{4 \text{cm}}=\frac{2 \text{N}}{0.04 \text{m}}= 50$ N/m.
(b) Por la parte (a) la fuerza requerida para comprimir la cuerda a su posición$x$ es$F(x)=kx=50x$, ya que nuevamente debe contrarrestar la fuerza restauradora. Así, dado que$3$ cm es$0.03$ m, el trabajo$W$ realizado es:

\[W ~=~ \int_0^{-0.03} F(x)~\dx ~=~ \int_0^{-0.03} 50x~\dx ~=~ 25x^2~\Biggr|_0^{-0.03} ~=~ 25\,(-0.03)^2 ~-~ 0 ~=~ 0.0225~\text{Nm}\]

Supongamos que voltea dos centavos equilibrados uniformemente y deja$X$ ser el número de cabezas en el resultado. Entonces$X$ es una variable aleatoria discreta —discrete porque solo puede tomar un conjunto discreto de valores (0, 1 y 2); aleatoria porque su valor se deja al azar. La probabilidad de que un centavo sea volteado cabezas es$50\% = \frac{1}{2}$, es decir, esa es su probabilidad teórica ya que las cabezas y las colas son igualmente probables. El espacio muestral$S$ de todos los resultados posibles es el conjunto$S = \lbrace TT, TH, HT, HH \rbrace$, donde$H$ está cabezas y$T$ es colas (por ejemplo,$HT$ significa que el primer centavo subió cabezas y el segundo subió colas). La figura [fig:probabilidad] (a) muestra un gráfico de barras de las probabilidades, como números entre 0 y 1—con$P(X=x)$ denotando la probabilidad del evento que$X$ es igual al número$x$. Observe que la suma de las probabilidades es 1, y$P(X=x)=0$ si no$x$ es 0, 1, o 2.

La idea detrás de una variable aleatoria continua$X$ es rellenar esos huecos entre las barras de la Figura [fig:probability] (a), de manera que eso$X$ representaría una cantidad continua, e.g., tiempo, distancia, temperatura. En lugar de encontrar$P(X=x)$ encontrarías la probabilidad que$X$ está en un continuo como un intervalo, por ejemplo$P(a < X < b)$ (ver Figura [fig:probability] (b)).

Observe que desde$P(X=a)=0$ entonces$P(a \le X < b) = P(a < X < b)$. En general,$<$ y$\le$ son intercambiables para eventos que involucran variables aleatorias continuas (así como$>$ y$\ge$). En el resto de esta sección se asumirá que todas las variables aleatorias son continuas, para lo cual el espacio muestral es típicamente todo$\Reals$ o algún intervalo, finito o infinito (e.g.$(0,\infty)$).

Ejemplo$\PageIndex{1}$: expdist

Agrega texto aquí.

Solución

$X$Sea la vida, es decir, el tiempo de falla, de un componente electrónico. Si la vida útil promedio del componente es de 700 días, entonces la función de densidad de probabilidad$f(x)$ para la variable aleatoria$X$ es

\[\label{eqn:expdist} f(x) ~=~ \begin{cases} ~\lambda\,e^{-\lambda x}& \text{if $~x \ge 0$,}\\~0 & \text{if $~x<0$}\end{cases}\]donde$\lambda = \frac{1}{700}$ y$x$ es el número de días. En este caso$X$ se dice que tiene la distribución exponencial con parámetro$\lambda$. Encuentra la probabilidad de que la vida útil del componente sea:

entre 600 y 800 días
mayores a 700 días

Solución: a) La probabilidad es:

\[P(600 < X < 800) ~=~ \int_{600}^{800} f(x)~\dx ~=~ \int_{600}^{800} \tfrac{1}{700}\,e^{-\frac{x}{700}}~\dx ~=~ -e^{-\frac{x}{700}}~\Biggr|_{600}^{800} ~=~ -e^{-\frac{800}{700}} ~+~ e^{-\frac{600}{700}} ~\approx~ 0.1055\]Por lo tanto, existe la$10.55\%$ posibilidad de que la vida útil del componente sea de entre 600 y 800 días.

b) La probabilidad es:

\[P(X > 700) ~=~ \int_{700}^{\infty} f(x)~\dx ~=~ \int_{700}^{\infty} \tfrac{1}{700}\,e^{-\frac{x}{700}}~\dx ~=~ -e^{-\frac{x}{700}}~\Biggr|_{700}^{\infty} ~=~ 0 ~+~ e^{-1} ~\approx~ 0.3679\]

[sec8dot5]

Para los Ejercicios 1-3, encuentre el centro de gravedad de la región delimitada por las curvas dadas sobre el intervalo dado.

$y = x^3$y$y = 0$;$0\le x\le 1$

$y= -x+1$y$y = 0$;$0\le x\le 1$

$y = x^2$y$y = x^3$;$0\le x\le 1$

Encuentra el centro de gravedad de la región dentro del círculo$x^2+y^2=r^2$ y por encima del$x$ eje.

Encuentra el centro de gravedad de la región dentro del círculo$x^2+y^2=r^2$ en el primer cuadrante.

Encuentra el centro de gravedad de la región dentro de la elipse$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ y por encima del$x$ eje.

Encuentra el centro de gravedad de la región entre el círculo$x^2+y^2=4$ y la elipse$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ sobre el$x$ eje.

¿Cambiaría la fórmula ([eqn:cogregion]) para el centro de gravedad si la masa de una región fuera proporcional —pero no igual— a su área, digamos, en una proporción positiva constante$\delta \ne 1$? Explicar.

Si un resorte requiere 3 N de fuerza para ser comprimido 5 cm, ¿cuánto trabajo se realizaría para estirar el resorte 8 cm?

La fuerza gravitacional$F(x)$ ejercida por la Tierra sobre un objeto de masa$m$ a una$x$ distancia del centro de la Tierra es

\[F(x) ~=~ -\frac{mgr_e^2}{x^2}\]donde$r_e$ está el radio de la Tierra. Si el objeto es liberado del reposo a una$r_o$ distancia del centro de la Tierra, encuentre el trabajo realizado por gravedad al llevar el objeto a la superficie de la Tierra.

Recordemos que la ley de gas ideal establece que$PV=RT$, donde$R$ es una constante,$P$ es la presión,$V$ es el volumen, y$T$ es la temperatura. Se puede demostrar que el trabajo$W$ realizado por un gas ideal en la expansión del volumen de$V_a$ a$V_b$ es

\[W ~=~ \int_{V_a}^{V_b} P~d\!V ~.\]Calcular$W$.

Verifíquelo$~\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\dx = 1~$ para la función$f(x)$ en fórmula ([eqn:expdist]) en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: expdist

Agrega texto aquí.

Solución

para todos$\lambda > 0$.

Buscar$P(X < 300)$ en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: expdist

Agrega texto aquí.

Solución

La función de distribución$F(x)$ para una variable aleatoria$X$ se define como$F(x) = P(X \le x)$ para all$x$. Mostrar eso$F'(x) = f(x)$, donde$f(x)$ está la función de densidad de probabilidad para$X$. [[1.] ]

La fórmula ([eqn:cogregion]) se puede extender a regiones en un intervalo infinito, siempre que el área sea finita. Usa ese hecho para encontrar el centro de gravedad de la región entre$y=e^{-x}$ y el$x$ eje para$0\le x<\infty$.

El valor esperado (o media)$E\lbrack X\rbrack$ de una variable aleatoria$X$ con función de densidad de probabilidad$f(x)$ es

\[E\lbrack X\rbrack ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} x\;f(x)~\dx ~.\]Mostrar que$E\lbrack X\rbrack = \frac{1}{\lambda}$ si$X$ tiene la distribución exponencial con parámetro$\lambda >0$.
Nota: El valor esperado se puede considerar como el promedio ponderado de todos los valores posibles de$X$, con pesos determinados por probabilidad. Es análogo a la idea de un centro de gravedad.

[exer:normdist]$X$ Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución normal si su función de densidad de probabilidad$f(x)$ es

\[f(x) ~=~ \frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}\,e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \quad\text{for all $x$}\]donde$\sigma > 0$ y$\mu$ son constantes. Esta es la famosa “curva de campana” en estadística.

Verifica eso$~\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\dx = 1$. (Pista: Ejemplo de uso

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intexpx2

Agrega texto aquí.

Solución
y una sustitución.)
Demuestre eso$E\lbrack X\rbrack = \mu$.
Utilice la integración numérica para mostrar que$P(-1 < X < 1)\;\approx\; 0.6827\;$ cuándo$\mu=0$ y$\sigma=1$.

Una variable aleatoria$X$ tiene la distribución beta si su función de densidad de probabilidad$f(x)$ es

\[f(x) ~=~ \begin{cases} ~\frac{1}{B(a,b)}\,x^{a-1}\,(1-x)^{b-1} & \text{if $~0\le x\le 1$}\\ ~0 & \text{elsewhere}\end{cases}\]para constantes positivas$a$ y$b$, donde$B(a,b)$ está la función Beta. Demuestre eso$E\lbrack X\rbrack = \frac{a}{a+b}$.

Mostrar que cualquier valor entre$F(x)$ y$F(x+\dx)$ para la fuerza sobre$\ival{x}{x+\dx}$ le da a la misma la fórmula$d\!W = F(x)\,\,dx$ para el trabajo realizado en ese intervalo. (Pista: Considere$F(x+\alpha\,\dx)$ para$0\le\alpha\le 1$.)

Una gota de agua de masa$M$ se libera del reposo a una altura suficiente para que la gota se evapore por completo, perdiendo masa$m$ cada segundo (es decir, a una velocidad constante). Ignorando la resistencia del aire, muestran que el trabajo realizado por gravedad sobre la caída hasta completar la evaporación es$\frac{g^2 M^2}{6 m^2}$.

Este ejercicio está relacionado con la famosa ley de Einstein$E = mc^2$. El impulso relativista$p$ de una partícula de masa que$m$ se mueve a una velocidad$v$ a lo largo de una línea recta (digamos, el$x$ eje) es

\[p ~=~ \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} ~,\]donde$c$ esta la velocidad de la luz. La fuerza relativista sobre la partícula a lo largo de esa línea es

\[F ~=~ \dfrac{d\!p}{\dt} ~,\]que es la misma fórmula que la Segunda Ley del movimiento de Newton en la mecánica clásica. Supongamos que la partícula comienza en reposo en posición$x_1$ y termina en posición$x_2$ a lo largo del$x$ eje. El trabajo realizado por la fuerza$F$ sobre la partícula es:

\[W ~=~ \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}~F~\dx ~=~ \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}~\dfrac{d\!p}{\dt}~\dx\]

Demostrar que
\[\dfrac{d\!p}{\dv} ~=~ \dfrac{m}{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}} ~.\]
Usar la fórmula de regla de cadena
\[\dfrac{d\!p}{\dt} ~=~ \dfrac{d\!p}{\dv}\;\dfrac{\dv}{\dx}\;\dfrac{\dx}{\dt}\]para demostrar que
\[F\;\dx ~=~ v\;\dfrac{d\!p}{\dv}\;\dv ~.\]
Utilice las partes (a) y (b) para demostrar que
\[W ~=~ \displaystyle\int_{0}^{v}~\dfrac{d\!p}{\dv}\;v~\dv ~=~ \displaystyle\int_{0}^{v}~\dfrac{mv}{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}~\dv ~~.\]
Utilice la parte (c) para mostrar que
\[W ~=~ \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \;-\;mc^2 ~.\]
Definir la energía cinética relativista$K$ de la partícula a ser$K = W$, y definir la energía total$E$ a ser
\[E = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} ~.\]Entonces por la parte (d),$K = E - mc^2$. Demostrar que
\[E^2 ~=~ p^2 c^2 ~+~ (mc^2)^2 ~.\](Pista: Expande el lado derecho de esa ecuación.)
¿Qué es$E$ cuando la partícula está en reposo?

Una mediana de un triángulo es un segmento de línea desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, y las tres medianas se cruzan en un punto común. Demuestre que este punto es el centro de gravedad de un triángulo.