8.4: Superficies y Sólidos de Revolución

Mucho antes de que se inventara el cálculo, los antiguos griegos (por ejemplo, Arquímedes) descubrieron las fórmulas para el volumen y la superficie de objetos tridimensionales familiares como la esfera. Se pueden encontrar ⁶ volúmenes y áreas superficiales de sólidos arbitrarios y superficies usando cálculo multivariable. Sin embargo, el cálculo de una sola variable se puede utilizar en el caso especial de los objetos que poseen simetría alrededor de un eje, a través de métodos que implican girar una curva o región en el\(xy\) plano alrededor de un eje.

Por ejemplo, girar una curva\(y=f(x) \ge 0\) alrededor del\(x\) eje -axis, for\(a \le x \le b\). Esto produce una superficie de revolución en tres dimensiones, como en la Figura [fig:surfarea] (a).

Para encontrar el área total de la superficie lateral\(S\), elija\(x\) y\(\lival{a}{b}\) luego encuentre la superficie infinitesimal\(d\!S\) barrida sobre el intervalo infinitesimal\(\ival{x}{x+\dx}\), como en la Figura [fig:surfarea] (b). Por la propiedad de microrectitud, la curva\(y=f(x)\) es un segmento de línea recta de longitud\(\ds\) sobre ese intervalo, de modo que la superficie infinitesimal es un frustro, un cono circular derecho con el vértice recortado por un plano paralelo al círculo base. De la geometría ⁷ se puede recordar la fórmula para el área de superficie lateral del frustro en la Figura [fig:frustrum]:\(\pi\,(r_1+r_2)\,l\). Usa esa fórmula con\(r_1=f(x)\),\(r_2=f(x+\dx)=f(x)+\dy\), y\(l=\ds=\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\dx\) (por fórmula ([eqn:arclength]) en la Sección 8.3) como en la Figura [fig:surfarea] (c), de modo que\(d\!S\) es

\[\begin{aligned} d\!S ~&=~ \pi\,(f(x) + (f(x)+\dy))\,\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\dx\\ &=~ 2\,\pi\,f(x)\,\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\dx ~+~ \pi\,\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\dy\,\dx\\ &=~ 2\,\pi\,f(x)\,\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\dx ~+~ 0\end{aligned}\]ya que\(\dy\,\dx = f'(x)\,(\dx)^2 = 0\). El área de superficie\(S\) es entonces la suma de todas las áreas\(d\!S\):

Tenga en cuenta que la fórmula ([eqn:surfareagen]) se mantiene por simetría y fórmula ([eqn:surfarea]). Una curva\(y=f(x) <0\) y la curva\(y=\Abs{f(x)}=-f(x)\) son simétricas con respecto al\(x\) eje -como en la figura de la derecha. Así, ambas curvas barren la misma superficie de revolución cuando giran alrededor del\(x\) eje. Esto significa fórmula ([eqn:surfareagen]) también se mantiene si\(y=f(x)\) los cambios inician sesión\(\ival{a}{b}\): similar al área entre dos curvas, dividirías la integral en diferentes subintervalos dependiendo del signo.

Mostrar que el área de superficie de una esfera de radio\(r\) es\(4\pi r^2\).

Solución: Usa el círculo\(x^2+y^2=r^2\). La mitad superior de ese círculo es la curva\(y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) sobre el intervalo\(\ival{-r}{r}\), como en la figura de la derecha. Girar esa curva alrededor del\(x\) eje produce una esfera de radio\(r\), cuya superficie\(S\) es:

\[\begin{aligned} S ~&=~ \int_{-r}^r 2\,\pi\,f(x)\,\sqrt{1 + (f'(x))^2}~\dx\\ &=~ \int_{-r}^r 2\,\pi\,\sqrt{r^2-x^2}\,\sqrt{1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}~\dx\\ &=~ \int_{-r}^r 2\,\pi\,\cancel{\sqrt{r^2-x^2}}\,\sqrt{\frac{r^2}{\cancel{r^2-x^2}}}~\dx\\ &=~ 2\,\pi\,rx~\Biggr|_{-r}^r ~=~ 4\,\pi r^2 \quad\checkmark\end{aligned}\]

Una derivación similar usando un frustrum produce el área superficial\(S\) de la superficie de revolución obtenida al girar una curva\(y=f(x)\) alrededor del\(y\) eje -eje, para\(0\le a\le x\le b\):

\[\label{eqn:surfareageny} S ~=~ \int_a^b d\!S ~=~ \int_a^b 2\,\pi\,\abs{x}~\ds ~=~ \int_a^b 2\,\pi\,x\,\sqrt{1 + (f'(x))^2}~\dx\]Ahora supongamos que gira la región entre una curva\(y=f(x)\ge 0\) y el\(x\) eje -eje alrededor del\(x\) eje -, para\(a\le x\le b\) (ver Figura [fig:solidvolume] (a)). Esto produce un sólido de revolución en tres dimensiones, como en la Figura [fig:sólidovolumen] (b). Observe que este sólido consiste en la superficie de revolución como antes junto con su interior.

El objetivo es encontrar el volumen\(V\) de este sólido. La idea es dividir el sólido en rebanadas, como una hogaza de pan. Primero, se necesita el volumen infinitesimal\(d\!V\) del frustro barrido por una franja de ancho infinitesimal\(\dx\)\(x\) en in\(\lival{a}{b}\) —mostrado en la Figura [fig:volumen sólido] (c). Por la Propiedad de Microrectitud la curva\(y=f(x)\) es una línea recta de longitud\(\ds\) a lo largo del intervalo\(\ival{x}{x+\dx}\). Por lo tanto, hay un triángulo rectángulo en la parte superior de la tira, sin sombrear en la Figura [fig:solidvolume] (c), cuya área\(A\) es cero:\(A = \tfrac{1}{2} (\dy)(\dx) = \tfrac{1}{2} f'(x) (\dx)^2 = 0\).

Ese triángulo así no aporta volumen cuando gira alrededor del\(x\) eje -eje: el volumen\(d\!V\) barrido por esa tira viene todo del rectángulo sombreado de altura\(f(x)\) y ancho\(\dx\). Ese rectángulo barre un cilindro circular derecho de radio\(f(x)\) y altura\(\dx\) (ver Figura [fig:discmethod]). El volumen de un cilindro circular derecho de radio\(r\) y altura\(h\) se define como el área del círculo base multiplicada por la altura:\(\pi r^2h\). Por lo tanto,

\[d\!V ~=~ \pi\,(f(x))^2\;\dx ~~.\]El volumen total\(V\) del sólido es entonces la suma de todos esos volúmenes infinitesimales\(d\!V\):

Este método para encontrar el volumen se denomina método de disco, ya que el cilindro de volumen\(d\!V\) se asemeja a un disco. Piense en los discos como similares a las rebanadas infinitesimalmente delgadas de una barra de pan. Observe que los valores absolutos no son necesarios en la fórmula ([eqn:volumedisc]) ya que\(f(x)\) es cuadrado, por lo que la fórmula se mantiene incluso cuando\(f(x)\) es negativa.

Mostrar que el volumen de una esfera de radio\(r\) es\(\frac{4}{3} \pi r^3\).

Solución: Usa el círculo\(x^2+y^2=r^2\). Gira la región entre la mitad superior del círculo\(y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) y el\(x\) eje -alrededor del\(x\) eje -sobre el intervalo\(\ival{-r}{r}\), como en la figura de la derecha. El sólido de revolución barrido es una esfera de radio\(r\), cuyo volumen\(V\) es:

\[\begin{aligned} V ~&=~ \int_{-r}^r \pi\,(f(x))^2~\dx ~=~ \int_{-r}^r \pi\,(r^2-x^2)~\dx ~=~ \pi\,r^2 x ~-~ \frac{1}{3} \pi x^3~\Biggr|_{-r}^r\\ &=~ \left(\pi\,r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3\right) ~-~ \left(-\pi\,r^3 + \frac{1}{3} \pi r^3\right) ~=~ \frac{4}{3}\,\pi r^3 \quad\checkmark\end{aligned}\]

En lugar de memorizar la fórmula ([eqn:volumedisc]), trata de recordar el enfoque más genérico de girar una tira rectangular infinitesimal alrededor de un eje, que podría no ser el\(x\) eje -axis. La idea es encontrar el radio\(r\) y la altura\(h\) —típicamente\(\dx\) o\(\dy\) —del disco barrido por esa tira, de manera que el volumen del disco sea\(d\!V = \pi r^2 h\). Después integre en el\(d\!V\) intervalo apropiado para encontrar el volumen\(V\) de todo el sólido.

Supongamos que la región delimitada por la curva\(y=x^2\) y el\(x\) eje -para\(0 \le x \le 1\) gira alrededor de la línea\(x=1\). Encuentra el volumen del sólido resultante de la revolución.

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha. Dado que la región gira alrededor de un eje vertical, el método del disco utilizará discos con altura\(\dy\), no\(\dx\). En un punto\(x\) en\(\ival{0}{1}\) subir a la curva\(y=x^2\) y dibujar una tira rectangular horizontal a la línea\(x=1\), como se muestra en la figura. Deja\(h=\dy\) y gira esa tira alrededor de la línea\(x=1\), produciendo un disco de radio\(r-1-x\) y altura\(h=\dy\). Ya que\(y=x^2\) implica\(x=\sqrt{y}\), el volumen\(d\!V\) de ese disco es

\[d\!V ~=~ \pi\,r^2 h ~=~ \pi\,(1-x)^2~\dy ~=~ \pi\,(1-\sqrt{y})^2~\dy ~=~ \pi\,(1 - 2\sqrt{y} + y)~\dy ~.\]El volumen\(V\) de todo el sólido es entonces la suma de esos volúmenes\(d\!V\) a lo largo del\(y\) eje -para\(0\le y\le 1\):

\[V ~=~ \int_0^1 d\!V ~=~ \int_0^1 \pi\,(1 - 2\sqrt{y} + y)~\dy ~=~ \pi\,\left(y - \frac{4}{3}y^{3/2} + \frac{1}{2}y^2 \right)~\Biggr|_0^1 ~=~ \pi\,\left(1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2}\right) ~=~ \frac{\pi}{6}\]

El método de la cáscara se puede utilizar para encontrar el volumen de un sólido con un “agujero” en el medio, como en el sólido de revolución producido al girar la región sombreada en la figura a la derecha alrededor del\(y\) eje. El agujero en el sólido entre\(x=-a\) y\(x=a\) es el resultado de la brecha entre el\(y\) eje y la región. Para encontrar el volumen\(V\) de ese sólido, en un punto\(x\) en\(\lival{a}{b}\) forma una franja infinitesimal de ancho\(\dx\) desde el\(x\) eje -hasta la curva\(y=f(x)\), como en la Figura [fig:shellmethod] (a).

Al igual que la tira en el método del disco, el triángulo rectángulo en la parte superior de esta tira —como en la Figura [fig:shellmethod] (b) —tiene área cero y por lo tanto no contribuye al volumen\(d\!V\) de la concha cilíndrica circular derecha barrida por la tira, mostrada en la Figura [fig:shellmethod] (c). El volumen de esa carcasa es solo el volumen del cilindro “exterior” de radio\(x+\dx\) menos el volumen del cilindro “interior” de radio\(x\), ambos con altura\(f(x)\):

\[\begin{aligned} d\!V ~&=~ \pi\,(x+\dx)^2\,f(x) ~-~ \pi\,x^2\,f(x)\

\ [-6pt] &=~\ cancel {\ pi\, x^2\, f (x)} ~+~ 2\,\ pi\, x\, f (x)\,\ dx ~+~\ pi\,\ cancelto {0} {(\ dx) ^2}\, f (x) ~-~\ cancel {\ pi\, x^2\, f (x)}\\ &=~ 2\,\ pi\, x\, f (x)\,\ dx\ end {alineado}\] El volumen\(V\) de todo el sólido es entonces la suma de esos volúmenes\(d\!V\), usando un valor absoluto para manejar cualquier signo para \(f(x)\):

Supongamos que la región delimitada por la curva\(y=x^2\) y el\(x\) eje para\(0 \le x \le 1\) gira alrededor del\(y\) eje. Encuentra el volumen del sólido resultante de la revolución.

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha. \(x\)En la figura se muestra la franja vertical en in\(\lival{0}{1}\) con anchura\(\dx\) y altura\(\Abs{f(x)}=f(x)\) infinitesimales. Esa tira produce el caparazón con volumen\(d\!V\) en fórmula ([eqn:volumenhell]), así que por el método shell el volumen\(V\) del sólido de revolución es:

\[V ~=~ \int_0^1 d\!V ~=~ \int_0^1 2\,\pi\,x\,\Abs{f(x)}~\dx ~=~ \int_0^1 2\,\pi\,x\,\cdot\,x^2~\dx ~=~ \frac{\pi}{2}\,x^4~\Biggr|_0^1 ~=~ \frac{\pi}{2}\]

El volumen\(d\!V\) en fórmula ([eqn:volumenhell]) puede generalizarse a\(d\!V = 2 \pi r h w\), donde\(r\) está la distancia desde el eje de revolución a una franja vertical genérica de ancho infinitesimal\(w\) en la región, y\(h\) es la altura de la tira.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): shell1

Agrega texto aquí.

Solución

Supongamos que la región delimitada por las curvas\(y=x^2\) y\(y=x\) gira alrededor del\(y\) eje -eje. Encuentra el volumen del sólido resultante de la revolución.

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha, junto con una franja vertical con ancho infinitesimal\(w=\dx\) a la\(r=x\) distancia del\(y\) eje -en la región y altura\(h=x-x^2\). Esa tira produce la concha con volumen\(d\!V=2\pi rhw=2\pi x(x-x^2)\,\dx\), de manera que el volumen\(V\) del sólido de la revolución es:

\[V ~=~ \int_0^1 d\!V ~=~ \int_0^1 2\,\pi\,x\,(x-x^2)~\dx ~=~ \frac{2\pi}{3}\,x^3 ~-~ \frac{\pi}{2}\,x^4~\Biggr|_0^1 ~=~ \frac{\pi}{6}\]

[sec8dot4]

Para los Ejercicios 1-3, encuentre el área de superficie de la superficie de revolución producida al girar la curva dada alrededor del\(x\) eje -para el intervalo dado.

3

\(y = \sqrt{4 - x^2}~\)para\(~1 \le x \le 2\vphantom{\frac{x^3}{6}}\)

\(y = \cosh\,x~\)para\(~0 \le x \le 1\vphantom{\frac{x^3}{6}}\)

\(y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x}~\)para\(~1 \le x \le 3\)

Para los Ejercicios 4-6, encuentre el volumen del sólido de revolución producido al girar la región entre la curva dada y el\(x\) eje -alrededor del\(x\) eje -para el intervalo dado. [[1.] ]

3

\(y = x^3~\)para\(~0 \le x \le 1\)

\(y = \sin\,x~\)para\(~0 \le x \le \pi\)

\(y = \sqrt{x}~\)para\(~0 \le x \le 1\)

Para los Ejercicios 7-9, encuentre el volumen del sólido de revolución producido al girar la región entre la curva dada y el\(x\) eje -alrededor del\(y\) eje -para el intervalo dado. [[1.] ]

3

\(y = \sin\,(x^2)~\)para\(~0 \le x \le \sqrt{\pi}\)

\(y = \sin\,x~\)para\(~0 \le x \le \pi\)

\(y = x^2 - x^3~\)para\(~0 \le x \le 1\)

Revolver la región en Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): shell1

Agrega texto aquí.

Solución

alrededor de la línea\(x=1\) y encontrar el volumen del sólido resultante.

[exer:elipsoide] Al girar la elipse\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) alrededor del\(x\) eje -eje se produce un elipsoide, para\(a>b>0\). Mostrar que el área de superficie del elipsoide es\(2\,\pi\,b^2\,\left(1 + \frac{a}{eb}\,\sin^{-1} e\right)\), donde\(e\) está la excentricidad de la elipse.

Mostrar que el volumen dentro del elipsoide de Ejercicio [exer:elipsoide] es\(\frac{4}{3}\,\pi\,a\,b^2\).

Encuentra el área de superficie y el volumen de un cono circular derecho de radio\(r\) y altura\(h\).

Las fórmulas ([eqn:surfareagen]), ([eqn:volumedisc]) y ([eqn:volumehell]) se pueden extender para incluir regiones en intervalos infinitos, las integrales en esas fórmulas simplemente se convierten en integrales inadecuadas. Considera la región entre la curva\(y=\frac{1}{x}\) y el\(x\) eje a lo largo del intervalo\(\lival{1}{\infty}\). Gira esa región alrededor del\(x\) eje.

1. Mostrar que el área superficial de la superficie resultante de revolución es infinita.

2. Demostrar que el volumen del sólido resultante de la revolución es\(\pi\).

[exer:toro] Porque\(0<a<b\), al girar la región dentro del círculo\((x-b)^2+y^2=a^2\) alrededor del\(y\) eje -eje, se produce un sólido de revolución en forma de rosquilla llamado toro. Demostrar que el volumen del toro es\(2\pi^2a^2b\).

Usa la fórmula ([eqn:surfareageny]) y la simetría para mostrar que el toro de Ejercicio [exer:toro] tiene área superficial\(4\pi^2ab\).