1.8: Converse y Contrapositivo

Lo contrario de una implicación\({A} \Rightarrow {B}\) es la implicación\({B} \Rightarrow {A}\). Por ejemplo, lo contrario de “si Bob le paga un dólar al cajero, entonces el servidor le da a Bob un cono de helado” es “si el servidor le da un helado a Bob, entonces Bob le paga un dólar al cajero”. Debe quedar claro que estos no están diciendo lo mismo. (Por ejemplo, tal vez Bob tenga un cupón para un cono libre.) Esto ilustra el hecho de que lo contrario de una aserción no suele ser lógicamente equivalente a la afirmación original. En otras palabras (como se mencionó en la Sección 1.4), el conectivo no\(\Rightarrow\) es conmutativo:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que no\(A\Rightarrow B\) es lógicamente equivalente a su contrario\(B \Rightarrow A\).

El verso de una implicación\({A} \Rightarrow {B}\) es la implicación\(\lnot{A} \Rightarrow \lnot{B}\). Por ejemplo, lo inverso de “si Bob le paga un dólar al cajero, entonces el servidor le da a Bob un cono de helado” es “si Bob no le paga un dólar al cajero, entonces el servidor no le da a Bob un cono de helado”. Debe quedar claro que estos no están diciendo lo mismo (porque una afirmación es sobre lo que sucede si Bob paga un dólar, y la otra es sobre la situación completamente diferente en la que Bob no paga un dólar). Esto ilustra el hecho de que la inversa de una aserción no suele ser lógicamente equivalente a la afirmación original:

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que no\(A\Rightarrow B\) es lógicamente equivalente a su inversa\(\lnot A \Rightarrow \lnot B\).

El contrapositivo de una implicación es lo contrario de su inverso (o el inverso de su inverso, que equivale a lo mismo). Es decir,

\[\text{ the contrapositive of } A\Rightarrow B\text{ is the implication }\lnot B\Rightarrow\lnot A\]

Por ejemplo, el contrapositivo de “si Bob le paga un dólar al cajero, entonces el servidor le da a Bob un cono de helado” es “si el servidor no le da a Bob un cono de helado, entonces Bob no le paga un dólar al cajero”. Un poco de pensamiento debería convencerte de que estos están diciendo lo mismo. Esto ilustra el siguiente hecho importante:

\[\text{Any implication is logically equivalent to its contrapositive.}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que\(A\Rightarrow B\) es lógicamente equivalente a su contrapositivo\(\lnot B \Rightarrow \lnot A\).

OBSERVACIÓN\(1.8.4\).

Lo inverso no será importante para nosotros, aunque lo contrario y lo contrapositivo son fundamentales. Sin embargo, puede valer la pena mencionar que la inversa es la contrapositiva de la inversa, y por lo tanto la inversa y la inversa son lógicamente equivalentes entre sí.

Advertencia.

Implicaciones (es decir, las de la forma\({A} \Rightarrow {B}\)) son las únicas aseveraciones que tienen un inverso o un contrapositivo. Por ejemplo, no existe lo contrario de “Odio el queso”, porque esta afirmación no es una afirmación si-entonces.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Declarar (a) lo contrario y (b) el contrapositivo de cada implicación. (No es necesario que muestres tu trabajo. )

1. Si los alumnos vienen a clase, entonces el maestro da conferencias.
2. Si llueve, entonces llevo mi paraguas.
3. Si tengo que ir a la escuela esta mañana, entonces hoy es un día laborable.
4. Si me das 5 dólares, te puedo llevar al aeropuerto.
5. Si los Mighty Ducks son el mejor equipo de hockey, entonces los cerdos pueden volar.
6. Alberta es una provincia.
7. Si quieres que te vaya bien en tu clase de matemáticas, entonces necesitas hacer toda la tarea.