1.9: Algunas deducciones válidas

Recordemos que una deducción es válida si su conclusión es cierta en todas las situaciones en las que todas sus hipótesis son verdaderas. Esto significa, para todas y cada una de las posibles asignaciones de verdadero/falso a las variables, si todas las hipótesis son verdaderas, entonces la conclusión también es verdadera.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Explique cómo sabe que la siguiente deducción es válida. \[A \lor B, \quad \lnot A, \quad \therefore \ B .\]

Solución

Supongamos que estamos en una situación en la que ambas hipótesis de la deducción son ciertas. Entonces, desde la primera hipótesis, sabemos que o\(A\) es verdad o\(B\) es verdad. Sin embargo, a partir de la segunda hipótesis, sabemos que eso no\(A\) es cierto. Por lo tanto, debe ser\(B\) que sea cierto. De ahí que la conclusión de la deducción sea cierta.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Responde cada una de las preguntas a continuación y justifique su respuesta.

1. Asumir no\(({A}\&{B})\Rightarrow{C}\) es ni una tautología ni una contradicción. ¿Qué se puede decir de la deducción “\(A\)\(B\),\(\therefore C\)”?
2. Asumir\(A\) es una contradicción. ¿Qué se puede decir de la deducción “\(A\)\(B\),\(\therefore C\)”?
3. Asumir\(C\) es una tautología. ¿Qué se puede decir de la deducción “\(A\)\(B\),\(\therefore C\)”?

Otra Terminología\(1.9.3\).

Cualquier deducción válida puede llamarse teorema.

Ejercicio\(1.9.4\). (Rules of Propositional Logic).

No es difícil ver que cada una de las siguientes es una deducción válida. Para cada uno de ellos, ya sea dar una breve explicación de cómo sabes que es válida, o verificar la dedcución evaluando la conclusión para todos los valores posibles de las variables que hacen verdaderas las hipótesis.

1.	Repetir	\(\mathit{A},\enspace \therefore \mathit{A}\)
2.	&-Introducción	\(\mathit{A, B}, \enspace \therefore \mathit{A}\& \mathit{B}\)
3.	&-Eliminación	\(\mathit{A} \& \mathit{B}, \enspace \therefore\mathit{A} \quad \mathit{A} \& \mathit{B}, \enspace \therefore\mathit{B}\)
4.	\(\lor\)-Introducción	\(\mathit{A}, \enspace \therefore \mathit{A}\lor\mathit{B} \quad \mathit{B}, \enspace \therefore \mathit{A}\lor\mathit{B}\)
5.	\(\lor\)-Eliminación	\(\mathit{A}\lor\mathit{B},\lnot\mathit{A}, \enspace\therefore\mathit{B} \quad \mathit{A}\lor\mathit{B},\lnot\mathit{B}, \enspace\therefore\mathit{A}\)
6.	\(\Rightarrow\)-Eliminación	\(\mathit{A}\Rightarrow\mathit{B}, \enspace\mathit{A}, \enspace\therefore\mathit{B}\)
7.	\(\Leftrightarrow\)-Introducción	\(\mathit{A}\Rightarrow\mathit{B}, \enspace\mathit{B}\Rightarrow\mathit{A}, \enspace\therefore\mathit{A}\Leftrightarrow\mathit{B}\)
8.	\(\Leftrightarrow\)-Eliminación	\(\mathit{A}\Leftrightarrow\mathit{B}, \enspace\therefore\mathit{A}\Rightarrow\mathit{B} \quad\mathit{A}\Leftrightarrow\mathit{B}, \enspace\therefore\mathit{B}\Rightarrow\mathit{A}\)
9.	Prueba por Casos	\(\mathit{A}\lor\mathit{B}, \enspace\mathit{A}\Rightarrow\mathit{C}, \enspace\mathit{B}\Rightarrow\mathit{C}, \enspace\therefore\mathit{C}\)

Todos los teoremas en Ejercicio\(1.9.4\). serán utilizados de forma regular en los siguientes capítulos (y en sus posteriores cursos de matemáticas).

Otra Terminología.

La mayoría de los logísticos llaman a\(\Rightarrow\) la regla -eliminación por su nombre latino, que es Modus Ponens. (Según Wikipedia, esto es la abreviatura de modus ponendo ponens, que significa “la forma que afirma afirmando”.)

Obrar\(1.9.5\).

Un teorema sigue siendo válido si cambiamos los nombres de las variables. Por ejemplo,\(P \lor Q\),\(\lnot P\),\(Q\) es lo mismo que\(\lor\) -eliminación, pero hemos reemplazado\(A\) con\(P\) y\(B\) con\(Q\). (En el lenguaje del álgebra de secundaria, hemos enchufado\(P\) para\(A\), y enchufado\(Q\) para\(B\).) En efecto, debe quedar claro que cualquier teorema sigue siendo válido aunque sustituyamos expresiones más complicadas en las variables.

Ejemplo\(1.9.6\)

El teorema\[(X \lor Y) \Rightarrow (Y \lor Z), \ X \lor Y, \ \therefore Y \lor Z\]
se obtiene de “\(\Rightarrow\)-eliminación”, dejando\(A = (X \lor Y)\) y\(B = (Y \lor Z)\).

Ejercicio\(1.9.7\)

Cada uno de los siguientes es un teorema válido que se obtiene de uno de los teoremas básicos en Ejercicio\(1.9.4\), sustituyendo algunas expresiones en las variables. Identificar el teorema del que se obtiene, y las expresiones que fueron sustituidas en cada variable.

1. \((A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z), \ \therefore Y \Rightarrow Z\)
2. \((A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z), \ \therefore (A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z)\)
3. \(A \lor B, \ \therefore (A \lor B) \lor (Y \Rightarrow Z)\)
4. \((A \lor B), (Y \Rightarrow Z), \ \therefore (A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z)\)

Ejercicio\(1.9.8\).

Cada uno de los siguientes es la versión en inglés de un teorema válido que se obtiene de uno de los teoremas básicos de la Tabla 1.9.1, sustituyendo algunas expresiones en las variables. Identificar el teorema del que se obtiene.

1. Susie se detendrá en la tienda de abarrotes o en la farmacia. Si se detiene en la tienda de abarrotes, comprará leche. Si se detiene en la farmacia, comprará leche. Por lo tanto, estoy seguro de que Susie comprará leche.
2. ¡Mi oponente en esta elección es un mentiroso! ¡Mi oponente en esta elección es un tramposo! Por lo tanto, ¡te digo que mi oponente es un mentiroso y un tramposo!
3. John fue a la tienda. Por lo tanto, como ya te dije, John fue a la tienda.
4. Si tuviera $50, podría comprar un abrigo nuevo. ¡Oye, mira! ¡Encontré un billete de $50 en la acera! Así podré comprar un abrigo nuevo.