2.1: Primer Ejemplo de Prueba de Dos Columnas
- Page ID
- 116507
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Comencemos nuestra exploración de pruebas observando la siguiente deducción simple.
Hipótesis:
- \(P \Rightarrow (Q \& R)\)
- \(P\)
Conclusión:\(R\)
Demostraremos que es válido demostrando que es una combinación de deducciones que ya se sabe que son válidas. De manera informal, podríamos tratar de convencer a alguien de que la deducción es válida haciendo la siguiente explicación:
Supongamos que las Hipótesis (1) y (2) son verdaderas. Entonces aplicar\(\Rightarrow\) -eliminación (con\(P\) en el papel de\(A\), y\(Q \& R\) en el papel de\(B\)) establece que eso\(Q \& R\) es cierto. (Esta es una conclusión intermedia. Se desprende lógicamente de las hipótesis, y es útil, pero no es la conclusión que queremos.) Ahora bien, aplicar\(\&\) -eliminación (con\(Q\) en el papel de\(A\), y\(R\) en el papel de\(B\)) establece que eso\(R\) es cierto. Esta es la conclusión de la deducción. Así, vemos que si las hipótesis de esta deducción son ciertas, entonces la conclusión también es cierta. Por lo que la deducción es válida.
Para énfasis, repitamos que esta explicación demuestra que la deducción es meramente una combinación de deducciones que ya se sabía que eran válidas.
Observe que estamos utilizando el hecho de que una deducción válida se aplica a todos los valores posibles de sus variables, por lo que podemos enchufar cualquier afirmación que queramos en sus variables. Esto es lo que nos permite hablar de usar (por ejemplo) “\(Q \& R\)en el papel de”\(B\). Otra forma de decir esto, es que estamos introduciendo una nueva clave de simbolización en la que dejamos\(A\)\(P\) representar, y dejar\(B\) reposar\(Q \& R\).
Formalmente, una prueba es una secuencia de aseveraciones. Las primeras aseveraciones de la secuencia son suposiciones; estas son las hipótesis de la deducción. Se requiere que toda aseveración posterior en la secuencia sea consecuencia inmediata de aseveraciones anteriores. (Existen reglas específicas que determinan qué aseveraciones pueden aparecer en cada punto de la prueba.) La afirmación final de la secuencia es la conclusión de la deducción.
En este capítulo, utilizamos el formato conocido como “Pruebas de dos columnas” para escribir nuestras pruebas. Como se indica en el cuadro a continuación:
- Las aseveraciones aparecen en la columna de la izquierda.
- El motivo (o “justificación”) para incluir cada aseveración aparece en la columna derecha. (Las justificaciones permisibles serán discutidas en las secciones posteriores de este capítulo.)
| # | aserción | justificación |
|---|
Toda afirmación en una prueba de dos columnas necesita tener una justificación en la segunda columna.
Ahora, podemos traducir la deducción al inglés:Para mayor claridad, dibujamos una línea horizontal oscura para separar las hipótesis del resto de la prueba. (Además, numeraremos cada fila de la prueba, para facilitar la referencia, y haremos del borde izquierdo de la figura una línea oscura). Por ejemplo, aquí hay una prueba de dos columnas que justifica la deducción anterior. Comienza por enumerar las hipótesis de la deducción, y termina con la conclusión correcta.
| # | aserción | justificación |
|---|---|---|
| 1 | \(P\Rightarrow(Q\&R)\) | hipótesis |
| 2 | \(P\) | hipótesis |
| 3 | \(Q \& R\) | \(\Rightarrow\)-elim (líneas 1 y 2) |
| 4 | \(R\) | \(\&\)-elim (línea 3) |
En este ejemplo, las aseveraciones fueron escritas en el lenguaje de, pero a veces vamos a escribir nuestras pruebas en inglés. Por ejemplo, aquí hay una clave de simbolización que nos permite traducir\(P\),\(Q\), y\(R\) al inglés. Para mayor comodidad, esta misma clave de simbolización se utilizará en muchos de los ejemplos de este capítulo.
\(P\)El Papa está aquí.
\(Q\)La Reina está aquí.
\(R\)El Registrador está aquí.
Ahora, podemos traducir la deducción al inglés:
Hipótesis:
Si el Papa está aquí, entonces la Reina y el Registrador también están aquí.
El Papa está aquí.
Conclusión: El Registrador está aquí.
Y podemos proporcionar una prueba de dos columnas en inglés:
| # | aserción | justificación |
|---|---|---|
| 1 | Si el Papa está aquí, entonces la Reina y el Registrador también están aquí. | hipótesis |
| 2 | El Papa está aquí | hipótesis |
| 3 | La Reina y el Registrador están ambos aquí. | \(\Rightarrow\)-elim (líneas 1 y 2) |
| 4 | El Registrador está aquí. | \(\&\)-elim (línea 3) |
Si bien te estás acostumbrando a las pruebas de dos columnas, probablemente te será útil ver ejemplos tanto en inglés como en. Para ahorrar espacio, y facilitar la comparación de ambas, el texto a veces combinará ambas pruebas en una sola figura, agregando una tercera columna a la derecha que indica las versiones en inglés de las aseveraciones:
| # | Aserción en lógica proposicional | Justificación | Versión en idioma inglés de la aserción |
|---|
Por ejemplo, esto es lo que obtenemos al combinar las dos pruebas anteriores:
| # | aserción | justificación | Enenglision |
|---|---|---|---|
| 1 | \(P\Rightarrow(Q\&R)\) | hipótesis | Si el Papa está aquí, entonces la Reina y el Registrador también están aquí. |
| 2 | \(P\) | hipótesis | El Papa está aquí |
| 3 | \(Q \& R\) | \(\Rightarrow\)-elim (líneas 1 y 2) | La Reina y el Registrador están ambos aquí. |
| 4 | \(R\) | \(\&\)-elim (línea 3) | El Registrador está aquí. |
En las siguientes secciones se explicarán las justificaciones que se permiten en una prueba de dos columnas.