2.2: Hipótesis y teoremas en pruebas de dos columnas
- Page ID
- 116510
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Una prueba de dos columnas debe comenzar enumerando todas las hipótesis de la deducción, y cada hipótesis se justifica escribiendo la palabra hipótesis en la segunda columna. (Esta es la única regla que está permitida por encima de la línea horizontal oscura, y no está permitida por debajo de la línea horizontal oscura). Vimos esta regla en los ejemplos anteriores de pruebas de dos columnas. Como sinónimo de “hipótesis”, a veces se dice “dado” o “suposición”.
Cualquier deducción que ya se sepa que es válida puede ser utilizada como justificación si sus hipótesis han sido verificadas anteriormente en la prueba. (Y las líneas donde aparecen las hipótesis se escriben entre paréntesis después del nombre del teorema). Por ejemplo, los teoremas “\(\Rightarrow\)-elim” y “\(\lor\)-elim” se utilizaron en nuestros primeros ejemplos de pruebas de dos columnas. Estos y varios otros teoremas muy útiles se dieron en Ejercicio\(1.9.4\). Se espera que estés familiarizado con todos ellos.
| # | Aserción | Justificación | Versión en Inglés de Assertion |
|---|---|---|---|
| 1 | P\(\lor\) Q | hipótesis | O el Papa está aquí, o la Reina está aquí. |
| 2 | Q\(\Rightarrow\) R | hipótesis | Si la Reina está aquí, entonces el Registrador también está aquí. |
| 3 | \(\lnot\)P | hipótesis | El Papa no está aquí. |
| 4 | Q | \(\lor\)-elim (líneas 1 y 3) | La Reina está aquí. |
| 5 | R | \(\Rightarrow\)-elim (líneas 2 y 4) | El Registrador está aquí. |
Aquí hay un comprobante de la deducción\(\lnot L \Rightarrow (J \lor L)\),\(\lnot L\),\(J\).
| # | Aserción | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | \(\lnot\)L\(\Rightarrow\) (J\(\lor\) L) | hipótesis |
| 2 | \(\lnot\)L | hipótesis |
| 3 | J\(\lor\) L | \(\Rightarrow\)-elim (líneas 1 y 2) |
| 4 | J | \(\lor\)-elim (líneas 3 y 2) |
Proporcionar una justificación (números de regla y línea) para cada línea de esta prueba.
| # | Aserción | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | W\(\Rightarrow\lnot\) B | |
| 2 | A y W | |
| 3 | \(\lnot\)B\(\Rightarrow\) (J & K) | |
| 4 | W | |
| 5 | \(\lnot\)B | |
| 6 | J & K | |
| 7 | K |
Proporcionar una justificación (números de regla y línea) para cada línea de esta prueba.
| # | Aserción | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | A\(\Rightarrow\) B | |
| 2 | \(\lnot\)A\(\Rightarrow\) B | |
| 3 | A\(\lor\lnot\) A | |
| 4 | B |
Escriba un comprobante de dos columnas de cada una de las siguientes deducciones:
- \(P\lor Q\),\(Q\lor R\),\(\lnot Q\),\(P \& R\).
- \((E\lor F) \lor G\),\(\lnot F \& \lnot G\),\(E\).
Escriba un comprobante de dos columnas de cada una de las siguientes deducciones. (Escribe las aseveraciones en inglés.)
1. Hipótesis:
El Papa y la Reina están aquí.
Conclusión: La Reina está aquí.
2. Hipótesis:
El Papa está aquí.
El Registrador y la Reina están aquí.
Conclusión: La Reina y el Papa están aquí.
Q,Q->R,P,R" label="3ColPQREasy-P->Q,Q->R,P,R">3. Hipótesis:
Si el Papa está aquí, entonces la Reina está aquí.
Si la Reina está aquí, entonces el Registrador está aquí.
El Papa está aquí.
Conclusión: El Registrador está aquí.
4. La gracia está enferma.
Frank está enfermo.
\(\therefore\)O Grace y Frank están enfermos, o Ellen está enferma.
Muchas pruebas utilizan las Reglas de Negación o el hecho de que cualquier afirmación es lógicamente equivalente a su contrapositiva. Aquí hay un ejemplo.
| # | Aserción | Justificación | Versión en Inglés de Assertion |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\lnot\)P\(\Rightarrow\) (Q & R) | hipótesis | Si el Papa no está aquí, entonces la Reina y el Registrador están aquí. |
| 2 | \(\lnot\)Q\(\lor\lnot\) R | hipótesis | O la Reina no está aquí, o el Registrador no está aquí. |
| 3 | \(\lnot\)(Q&R)\(\Rightarrow\lnot\lnot\) P | contrapositivo de la línea 1 | Si no es así que tanto la Reina como el Registrador estén aquí, entonces no es así que el Papa no esté aquí. |
| 4 | (\(\lnot\)Q\(\lor\lnot\) R)\(\Rightarrow\) P | Reglas de Negación aplicadas a la línea 3 | Si es el caso o que la Reina no está aquí, o que el Registrador no está aquí, entonces el Papa está aquí. |
| 5 | P | \(\Rightarrow\)-elim (líneas 4 y 2) | El Papa está aquí. |
Proporcionar una justificación (números de regla y línea) para cada línea de estas pruebas.
1)
| # | Aserción | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | H\(\Rightarrow\) F | |
| 2 | H\(\Rightarrow\) G | |
| 3 | (F & G)\(\Rightarrow\) I | |
| 4 | \(\lnot\)I | |
| 5 | \(\lnot\)I\(\Rightarrow\lnot\) (F & G) | |
| 6 | \(\lnot\)(F y G) | |
| 7 | \(\lnot\)F\(\lor\lnot\) G | |
| 8 | \(\lnot\)F\(\Rightarrow\lnot\) H | |
| 9 | \(\lnot\)G\(\Rightarrow\lnot\) H | |
| 10 | \(\lnot\)H |
2)
| # | Aserción | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | (W\(\lor\) X)\(\Rightarrow\) (Y&Z) | |
| 2 | \(\lnot\)Y | |
| 3 | \(\lnot\)Y\(\lor\lnot\) Z | |
| 4 | \(\lnot\)(Y y Z)\(\Rightarrow\lnot\) (ancho\(\lor\) x) | |
| 5 | (\(\lnot\)Y\(\lor\lnot\) Z)\(\Rightarrow\) (\(\lnot\)W&\(\lnot\) X) | |
| 6 | \(\lnot\)W\(\&\lnot\) X | |
| 7 | \(\lnot\)X |
Dar un comprobante de dos columnas de cada una de estas deducciones.
- \(A \Rightarrow B\),\(\lnot B\),\(\therefore \lnot A\)
- \((L \lor M) \Rightarrow (N \& O)\),\(M\),\(\therefore O\)
- Hipótesis:
O el Papa no está aquí, o la Reina está aquí.
El Papa está aquí.
Conclusión: O la Reina está aquí, o bien el Registrador y el Papa están los dos aquí.
4. Hipótesis:
Si Sammy no está cansada, entonces no necesita una siesta.
Sammy necesita una siesta.
Conclusión: Sammy está cansado.
También debes recordar eso\(\&\) y\(\lor\) son conmutativos, así, por ejemplo,\[F \Rightarrow((E \& D \& C \& B) \vee(A \& B)) \equiv F \Rightarrow((A \& B) \vee(B \& C \& D \& E)) .\]