6.1: Producto cartesiano

Discutimos sindicatos e intersecciones en Sección\(3.3\). El producto cartesiano es otra operación de conjunto importante. Antes de introducirlo, recordemos la notación para un par ordenado.

Notación\(6.1.1\).

Para cualquier objeto\(x\) y\(y\), los matemáticos utilizan\((x, y)\) para denotar el par ordenado cuya primera coordenada es\(x\) y cuya segunda coordenada es\(y\). Es importante saber que el orden importa: por lo general no\((x, y)\) es lo mismo que\((y, x)\). (Por eso a estos se les llama pares ordenados. Observe que los conjuntos no son así: los conjuntos están desordenados, por lo que siempre\(\{x, y\}\) es lo mismo que\(\{y, x\}\).) Es importante darse cuenta de que:\[\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x_{2}, y_{2}\right) \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=x_{2} \text { and } y_{1}=y_{2}\]

Ejemplo\(6.1.2\).

Un caso especial del producto cartesiano es familiar para todos los estudiantes de álgebra: recordemos que\((6.1.3)\)\[\mathbb{R}^{2}=\{(x, y) \mid x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}\]
es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. Este es el “plano de coordenadas” (o “\(xy\)-plano”) que se utiliza para dibujar las gráficas de funciones.

La fórmula\(y = f(x)\) suele aparecer en álgebra elemental, y, en ese tema, las variables\(x\) y\(y\) representan números reales. Sin embargo, los cursos avanzados de matemáticas\(y\) permiten\(x\) y ser elementos de cualquier conjunto\(A\) y\(B\), no solo de\(\mathbb{R}\). Por lo tanto, es importante generalizar el ejemplo anterior reemplazando las dos apariciones de\(\mathbb{R}\) en el lado derecho de la Ecuación\(6.1.3\) por conjuntos arbitrarios\(A\) y\(B\):

Definición\(6.1.4\).

Para cualquier conjunto\(A\) y\(B\), dejamos\[A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} .\]
Esta notación significa, para todos\(x\), que\[x \in A \times B \text { iff } \exists a \in A, \exists b \in B, x=(a, b) .\]
El conjunto\(A \times B\) se llama el producto cartesiano de\(A\) y\(B\).

Ejemplo\(6.1.5\).

1. \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}\).
2. \(\{1,2,3\} \times\{\mathrm{a}, \mathrm{b}\}=\{(1, \mathrm{a}),(1, \mathrm{~b}),(2, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{a}),(3, \mathrm{~b})\}\).
3. \(\{a, b\} \times\{1,2,3\}=\{(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3)\}\).

Al comparar (2) y (3), vemos que no\(\times\) es conmutativo: generalmente no\(A \times B\) es igual a\(B \times A\).

Ejercicio\(6.1.6\).

Especifique cada conjunto enumerando sus elementos.

1. \(\{a, i\} \times\{n, t\}=\)
2. \(\{\mathrm{Q}, \mathrm{K}\} \times\){♣, ♦, ♥, ♠} =
3. \(\{1,2,3\} \times\{3,4,5\}=\)

Observación\(6.1.7\).

Demostraremos en Teorema\(9.1.18\) que\[\#(A \times B)=\# A \cdot \# B .\]

En otras palabras:\[\text { cardinality of a Cartesian product is the product of the cardinalities.}\]
Por ahora, solo demos una justificación informal:

Supongamos\(\#A = m\) y\(\#B = n\). Entonces, al enumerar los elementos de estos conjuntos, podemos escribir\[A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{m}\right\} \quad \text { and } \quad B=\left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots, b_{n}\right\} .\]
Los elementos de\(A \times B\) son:\ [\ begin {array} {ccccc}
\ left (a_ {1}, b_ {1}\ right), &\ left (a_ {1}, b_ {2}\ right), &\ left (a_ {1}, b_ {3}\ right), &\ cdots &\ aleft (_ {1}, b_ {n}\ derecha)\\
\ izquierda (a_ {2}, b_ {1}\ derecha), &\ izquierda (a_ {2}, b_ {2}\ derecha), &\ izquierda (a_ {2}, b_ {3}\ derecha), &\ cdots &\ izquierda (a_ {2}, b_ {n}\ derecha),\
\ izquierda (a_ {3}, b_ {1}\ derecha), &\ izquierda (a_ {3}, b_ {2}\ derecha), &\ izquierda (a_ {3}, b_ {3}\ derecha), &\ cdots &\ izquierda (a_ {3}, b_ {n}\ derecha),\
\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ ddots &\ vdots\\
\ izquierda (a_ {m}, b_ {1}\ derecha), &\ izquierda (a_ {m}, b_ {2}\ derecha), &\ izquierda (a_ {m}, b_ {3}\ derecha), &\ cdots &\ izquierda (a_ {m}, b_ {}\ derecho).
\ end {array}\]
En esta matriz,

• cada fila tiene exactamente\(n\) elementos, y
• hay\(m\) filas,

por lo que el número de elementos es el producto\(m n=\# A \cdot \# B .\)

Aquí hay algunos ejemplos de pruebas que involucran productos cartesianos.

Ejemplo\(6.1.8\).

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos no vacíos, y\(A \times B = B \times A\), entonces\(A = B\).

Solución

PRUEBA.

Asumir\(A\) y\(B\) son conjuntos no vacíos, tal que\(A \times B = B \times A\). Baste con mostrar\(A \subset B\) y\(B \subset A\). Por simetría, sólo necesitamos mostrar\(A \subset B\).

Dejar\(a_{0}\) ser un elemento arbitrario de\(A\). Como no\(B\) está vacío, existe alguna\(b_{0} \in B\). \[\left(a_{0}, b_{0}\right) \in A \times B=B \times A=\{(b, a) \mid b \in B, a \in A\} ,\]
Entonces así existen\(b \in B\) y\(a \in A\), tal que\(\left(a_{0}, b_{0}\right)=(b, a)\). Por lo tanto\(b_{0} = a\),\(a_{0} = b\) (y, pero no necesitamos ese hecho). De ahí\(a_{0} = b \in B\).

Ejemplo\(6.1.9\).

Si\(B\) es disjunta de\(C\), entonces\(A \times B\) es disjunta de\(A \times C\).

Solución

PRUEBA.

Demostramos lo contrapositivo: Supongamos que no\(A \times B\) es disjunta de\(A \times C\), y vamos a mostrar no\(B\) es disjunta de\(C\).

Por supuesto, la intersección de\(A \times B\) y no\(A \times C\) está vacía, por lo que podemos elegir algunos\[x \in(A \times B) \cap(A \times C) .\]
Entonces:

• Ya que\(x \in A \times B\), existen\(a_{1} \in A\) y\(b \in B\), tal que\(x=\left(a_{1}, b\right)\).
• Ya que\(x \in A \times C\), existen\(a_{2} \in A\) y\(c \in C\), tal que\(x = (a_{2}, c)\).

De ahí\(\left(a_{1}, b\right)=x=\left(a_{2}, c\right)\), así\(b = c\). Ahora\(b \in B\) y\(b = c \in C\), entonces\(b \in B \cap C\). Por lo tanto\(B \cap C \neq \varnothing\), así, como se desee,\(B\) y no\(C\) son disjuntas.

Observación\(6.1.10\).

Al leer la prueba anterior, es posible que hayas notado que la variable\(x\) (una sola letra) se utilizó para representar un par ordenado\((a, b)\). No hay nada malo en esto, porque el par ordenado es un solo objeto, y una variable puede representar cualquier objeto matemático en absoluto, ya sea un elemento de un conjunto, o un conjunto completo, o una función, o un par ordenado, o algo más.

Ejemplo\(6.1.11\).

Supongamos\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos. Demostrar\(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\).

Solución

PRUEBA.

(\(\subset\)) Dado\(x \in(A \times B) \cup(A \times C)\), tenemos\(x \in A \times B\) o\(x \in A \times C\). Por simetría, podemos suponer\(x \in A \times B\), así que\(x = (a, b)\) para algunos\(a \in A\) y\(b \in B\). Tenga en cuenta que\(b \in B \cup C\), así tenemos\(a \in A\) y\(b \in B \cup C\). Por lo tanto,\[x=(a, b) \in A \times(B \cup C)\]
ya que\(x\) es un elemento arbitrario de\((A \times B) \cup (A \times C)\), esto implica\((A \times B) \cup(A \times C) \subset A \times(B \cup C)\).

(\(\subset\)) Dado\((a, x) \in A \times(B \cup C),\), tenemos\(a \in A\), y ya sea\(x \in B\) o\(x \in C\). Por simetría, podemos asumir\(x \in B\). Entonces\((a, x) \in A \times B \subset(A \times B) \cup(A \times C)\), entonces\((a, x) \in(A \times B) \cup(A \times C)\). Ya que\((a, x)\) es un elemento arbitrario de\(A \times (B \cup C)\), esto implica\(A \times(B \cup C) \subset(A \times B) \cup(A \times C)\).

Ejercicio\(6.1.12\).

1. Supongamos\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos.
   1. Demuéstralo si\(B \subset C\), entonces\(A \times B \subset A \times C\).
   2. \(A \times B = A \times C\)Demuéstralo si, y\(A \neq \varnothing\), entonces\(B = C\).
2. Supongamos que\(A\) es un conjunto.
   1. Espectáculo\(A \times \varnothing=\varnothing\).
   2. Mostrar\(A \times A=\varnothing\) si y solo si\(A=\varnothing\).
3. Decir que\(\times\) es distributivo sobre\(\cup\) significa que, para todos los conjuntos\(A\)\(B\),, y\(C\), tenemos\[A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) \quad \text { and } \quad(B \cup C) \times A=(B \times A) \cup(C \times A) .\]
   La primera ecuación se estableció en Ejemplo\(6.1.11\). Completar la prueba que\(\times\) es distributiva\(\cup\) mediante la prueba de la segunda ecuación.
4. Espectáculo que\(\times\) es distributivo terminado\(\cap\). Es decir, para todos los conjuntos\(A\)\(B\),, y\(C\), tenemos
   1. \(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)\), y
   2. \((B \cap C) \times A=(B \times A) \cap(C \times A)\).