6.5: Funciones sobre

En un diagrama de flechas de una función\(f: A \rightarrow B\), la definición de una función requiere que haya exactamente una flecha de cada elemento de\(A\), pero no dice nada sobre el número de flechas en cada elemento de\(B\). Puede haber elementos de\(B\) con muchas flechas dentro de ellos (a menos que la función sea uno a uno), y puede haber otros elementos\(B\) que no tengan flechas en ellos. La función se llama “onto” si todos los elementos de\(B\) son golpeados por flechas; ninguno se pierde.

Ejemplo\(6.5.1\).

La figura\(6B\) muestra diagramas de flechas de varias funciones, algunas sobre y otras no.

Figura\(6B\). \(f\)está sobre, pero no uno a uno. \(h\)no es uno a uno ni sobre. \(g\)es a la vez uno a uno y en. \(i\)es uno a uno, pero no sobre.

Ejemplo\(6.5.2\).

No todas las mujeres son madre. Esto significa que si dibujas una flecha de cada persona a su madre, habrá algunas mujeres que no tienen flechas dentro de ellas. Entonces la función no\[\text { mother: People } \rightarrow \text { Women }\]
está en.

La siguiente definición oficial de “onto” formaliza las ideas descritas anteriormente.

Definición\(6.5.3\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\). Decimos\(f\) es sobre iff, para todos\(b \in B\), hay algunos\(a \in A\), tal que\(f(a) = b\).

Ejercicio\(6.5.4\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: X \rightarrow Y\). Traduzca cada una de las siguientes afirmaciones a la Lógica de Primer Orden:

1. \(f\)está en.
2. \(f\)no está en.
3. \(g\)está en.
4. \(g\)no está en.

(Simplifica tus respuestas en (3) y (4) para que\(\neg\) se aplique únicamente a los predicados.)

Ejemplo\(6.5.5\).

Sin dar pruebas formales, demuéstremos que cada una de las siguientes funciones no está sobre.

1. \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), definido por\(f(x) = |x|\).
2. \(g:\{1,2,3\} \rightarrow\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}\)definido por\(g=\{(1, b),(2, a),(3, a)\} .\)

Solución

1. Recordemos que el valor absoluto de un número real nunca puede ser negativo. En particular, nunca podremos tener\(|x| = −1\) para ningún número real\(x\). Así, no existe\(x \in \mathbb{R}\), tal que\(f(x) = −1\). Esto demuestra que no\(f\) está sobre.
2. Observe que\(c\) nunca aparece como la segunda coordenada de un par ordenado en esta función. Esto quiere decir que no existe ninguna\(x\), tal que\(g(x) = \text {c}\). Esto quiere decir que no\(g\) está sobre.

Ejercicio\(6.5.6\).

Cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados es una función de\(\{1,2,3,4,5\}\) a {♣, ♦, ♥, ♠}. ¿Cuáles de las funciones están en funcionamiento? Justifica brevemente tus respuestas.

1. \(a =\){(1, ♣), (2, ♦), (3, ♥), (4, ♠), (5, ♣)}
2. \(b =\){(1, ♣), (2, ♥), (3, ♣), (4, ♥), (5, ♣)}
3. \(c =\){(1, ♥), (2, ♥), (3, ♥), (4, ♥), (5, ♥)}
4. \(d =\){(1, ♦), (2, ♠), (3, ♥), (4, ♠), (5, ♣)}
5. \(e =\){(1, ♣), (2, ♠), (3, ♥), (4, ♠), (5, ♣)}

Veamos cómo probar que una función\(f: A \rightarrow B\) está sobre. Por definición, deseamos mostrar:\[\text { for all } b \in B, \text { there is some } a \in A, \text { such that } f(a)=b \text {. }\]
En otras palabras: “\(\forall b \in B, \exists a \in A,(f(a)=b)\).”

El primer cuantificador es\(\forall\); estamos obligados a probar algo sobre cada elemento de\(B\). De ahí que usemos\(\forall\) -introducción, por lo que nuestra prueba debe comenzar con la frase “Dejemos\(b\) ser un elemento arbitrario de”\(B\). (Sin embargo, esto se puede abreviar como: “Dado\(b \in B, \ldots\)”) Después de esto, nuestra tarea será demostrar “\(\exists a \in A,(f(a)=b)\).”

En este punto, el cuantificador que nos ocupa es\(\exists\); estamos obligados a probar que algún elemento de\(A\) tiene cierta propiedad. La herramienta a utilizar para esto es\(\exists\) -introducción: encontramos (o “construimos”) un elemento apropiado de\(A\), y luego verificamos que hace lo que se supone que debe hacer. Así, el siguiente paso en la prueba es “Let\(a=? ? ?\)” (¿dónde??? necesita ser reemplazado por una expresión apropiada). Entonces todo lo que queda es verificar que el valor que le asignamos\(a\) hace el trabajo que se requiere hacer: calcular que efectivamente\(f(a)\) es igual a\(b\).

Entonces aquí cómo se ve una típica prueba “sobre”:\[\text { Given } b \in B, \text { let } a=\square \text { Then } f(a)=\cdots=b \text {. }\]
Un valor apropiado para un necesita ser puesto en la caja (tal vez una fórmula de la que depende\(b\)), y los puntos deben rellenarse con un cálculo que muestre el valor de\(f(a)\) is\(b\). (También, por supuesto, algunas de las letras necesitarán ser cambiadas si el nombre de la función no lo es\(f\), o si no se llama a los conjuntos\(A\) y\(B\).)

Ejemplo\(6.5.7\).

Definir\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(g(x) = 5x − 2\). \(g\)El espectáculo está en.

Scratchwork. Deseamos mostrar\(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}\), (\(g(x) = y\)). Por\(\forall\) -introducción, las primeras palabras de la prueba son fáciles: “Dado”\(y \in \mathbb{R}\). Entonces necesitamos encontrar un valor de\(x\) eso hace\(g(x) = y\). El valor apropiado de probablemente no\(x\) sea obvio, por lo que haremos algunos rasguños. Postulamos la ecuación deseada\(g(x) = y\) y usamos álgebra para resolverla:\ [\ begin {aligned}
g (x) &=y\\
5 x-2 &=y\\
5 x &=y+2\\
x &=\ frac {y+2} {5}.
\ end {aligned}\]
Ahora que conocemos el valor correcto de\(x\), es fácil escribir el resto de la prueba.

Solución

Dado\(y \in \mathbb{R}\), vamos\(x = (y + 2)/5 \in \mathbb{R}\). Entonces\[g(x)=5 x-2=5\left(\frac{y+2}{5}\right)-2=(y+2)-2=y .\]

Ejercicio\(6.5.8\).

Cada fórmula define una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\). Mostrar que la función está en.

1. \(f(x) = 2x + 1\).
2. \(g(x) = 7x − 3\).
3. \(h(t) = 4t + 9\).
4. \(i(z) = 6 − 11z\).
5. \(j(r) = (3r − 4)/5\).

Remarcar\(6.5.9\).

Algunas pruebas “sobre” son más complicadas de lo descrito anteriormente, porque puede que no sea posible pasar directamente de “dado\(b \in B\)” a “dejar”\(a = \square\). El problema es que a veces es necesario insertar cálculos (u otras explicaciones) entre “dado\(b\)” y “dejar”\(a\). Algunos ejemplos de esto se verán en Ejercicio\(6.8.14\).

Para completar la discusión, veamos también cómo probar que una función no\(f: A \rightarrow B\) está sobre. Al negar la definición de “onto”, vemos que deseamos probar “”\(\exists b \in B, \forall a \in A,(f(a) \neq b)\).

El primer cuantificador es\(\exists\); estamos obligados a probar que algún elemento de\(B\) tiene cierta propiedad. La herramienta a utilizar para esto es\(\exists\) -introducción: encontramos un elemento apropiado de\(B\), y luego tendremos que verificar que hace lo que se supone que debe hacer. Así, el primer paso en la prueba es “Let\(b = ? ? ?\)” (¿dónde??? necesita ser reemplazado por una expresión apropiada). Después de esto, nuestra tarea será demostrar “\(\forall a \in A,(f(a) \neq b)\).”

En este punto, el cuantificador que nos ocupa es\(\forall\); estamos obligados a probar algo sobre cada elemento de\(A\). De ahí que usemos\(\forall\) -introducción, por lo que el siguiente paso en nuestra prueba es la frase “Dejemos\(a\) ser un elemento arbitrario de\(A\)” (o, para abreviar, “Dado\(a \in A, \ldots\)”). Entonces todo lo que queda es verificar eso\(f(a) \neq b\).

Entonces aquí cómo se ve una prueba típica de “no sobre”:\[\text { Let } b=\square \in B \text {. Given } a \in A \text {, we have ..., so } f(a) \neq b \text {. }\]
Un valor apropiado para\(b\) necesita ser puesto en la caja, y los puntos deben rellenarse con una explicación que lleve a la conclusión\(f(a) \neq b\). (También, como es habitual, algunas de las letras deberán cambiarse si el nombre de la función no lo es\(f\), o si no se llama a los conjuntos\(A\) y\(B\).)

Ejemplo\(6.5.10\).

Definir\(e: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(e(r) = 1/ ( |r| + 1)\). \(e\)El espectáculo no está en.

Scratchwork. Deseamos probar\(\exists y \in \mathbb{R}, \forall r \in \mathbb{R},(e(r) \neq y)\), por lo que necesitamos llegar a un valor apropiado de\(y\). Para ello, intentemos probar\(e\) es sobre. Ojalá, nos encontremos con problemas, y esta dificultad nos apuntará a una buena opción para\(y\). Es decir, si\(e\) estuviéramos on, podríamos resolver la ecuación\[e(r)=y\]
Vamos a poner en la definición de\(e(r)\), y usar álgebra para tratar de resolver esta ecuación:\ [\ begin {aligned}
\ frac {1} {|r|+1} &=y\\
|r|+1 &=\ frac {1} {y}\\
|r| &=\ frac {1} {y} -1
\ end {aligned}\]
Ahora el valor absoluto nunca\(|r|\) es negativo, pero el lado derecho de la ecuación podría ser negativo. Por ejemplo, si\(y = −1\), entonces\[\frac{1}{-1}-1=-1-1=-2<0 .\]
Esto sugiere que debemos dejar\(y = −1\). Con esto en mente, podemos escribir la prueba.

Solución

PRUEBA.

Vamos\(y = −1\). Dado\(r \in \mathbb{R}\), tenemos\(|r| \geq 0\), entonces\(|r| + 1 \geq 0 + 1 = 1 > 0\). Por lo tanto\[e(r)=\frac{1}{|r|+1} \geq 0>-1=y ,\]

así\(e(r) \neq y\). Dado que\(r\) es un elemento arbitrario del dominio\(\mathbb{R}\), esto implica que no\(e\) está en.

Y a veces tendrás que decidir si una función está o no.

Ejemplo\(6.5.11\).

Definir\(m: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(m(x, y) = x + y\). ¿Está\(m\) onto?

Scratchwork. Vamos a tratar de probar\(m\) es sobre. (Si fallamos, esto es evidencia que no\(m\) está sobre, y trataremos de probarlo). Dado\(z \in \mathbb{R}\), tratamos de resolver la ecuación\[m(x, y)=z .\]
En otras palabras:\[x+y=z .\]
Es fácil encontrar valores de\(x\) y\(y\) que satisfagan la ecuación: quizás la solución más fácil es dejar\(y = 0\) y\(x = z\). Podemos usar estos valores para probar que\(m\) está sobre.

Solución

\(m\)está en.

PRUEBA. Dado\(z \in \mathbb{R}\), vamos\((x, y) = (z, 0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Entonces\(m(x, y) = x + y = z + 0 = z\).

Ejercicio\(6.5.12\).

Cada fórmula define una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\). ¿Cuáles de las funciones están en funcionamiento? Demuestra que tus respuestas son correctas.

1. \(f(x) = 1\).
2. \(a(x) = x\).
3. \(b(t) = t^{2}\).
4. \(c(s) = 3s + 2\).
5. \(d(r)=\sqrt[3]{r+5}-5.\)

Ejercicio\(6.5.13\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\). Mostrar que\(f\) es sobre si y solo si el rango de\(f\) es\(B\).

Remarcar\(6.5.14\).

(terminología alternativa). Algunos matemáticos dicen “suryectiva”, en lugar de “sobre”. (Como “inyectivo” en lugar de “uno a uno”, esto viene del francés.) Además, una función que está en puede llamarse una sobrejección.