6.6: Bijecciones

Las mejores funciones son tanto uno-a-uno como on. Estas se llaman “biyecciones”.

Definición\(6.6.1\).

Una función es una bijección si es tanto uno a uno como a uno.

Ejemplo\(6.6.2\).

Consideremos un país hipotético\(\text {Married}\), en el que

• todos están casados (con una sola persona — ¡no hay poligamia!) , y
• todo matrimonio es entre un hombre y una mujer (no hay matrimonios del mismo sexo).

Let

• \(\text {Men}\)ser el conjunto de hombres en el país, y
• \(\text {Women}\)ser el conjunto de mujeres en el país.

Entonces\(\text {wife}: \text { Men } \rightarrow \text { Women}\) es una biyección:

• Dos hombres diferentes no pueden tener la misma esposa, así que sabemos que\(\text {wife}\) es uno a uno.
• Toda mujer es la esposa de algún hombre (porque todos están casados), así también lo\(\text {wife}\) es.

De igual manera, la función\(\text {husband}: \text { Women } \rightarrow \text { Men}\) es también una biyección.

OBSERVACIÓN\(6.6.3\).

En el país antes\(\text {Married}\) descrito, es claro que el número de hombres es exactamente igual al número de mujeres. (Si hubiera más hombres que mujeres, entonces no todos los hombres podrían tener esposa; si hubiera más mujeres que hombres, entonces no todas las mujeres podrían tener marido). Este es un ejemplo del siguiente principio importante que se discutirá en el capítulo posterior sobre “cardinalidad”:

Si hay una bijección de\(A\) a\(B\), entonces
los dos conjuntos\(A\) y\(B\) deben tener exactamente el mismo número de elementos.

Encontrar una bijección es la forma más común de mostrar que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

Observaciones\(6.6.4\).

1. Tal vez recuerdes que una función uno a uno puede llamarse “inyección”, y una función onto puede llamarse “sobreyección”. El término “biyección” viene de tener ambas propiedades.
2. Algunos libros de texto utilizan el término “correspondencia uno a uno” para una biyección, pero evitaremos esa terminología, porque es demasiado fácil confundir con “función uno a uno”, lo que no significa lo mismo.

Observaciones\(6.6.5\).

Demostrar que una función es una biyección requiere dos cosas: mostrar que la función es uno-a-uno, y mostrar que la función está en. Entonces, una prueba de que una función es una bijección tendrá (generalmente) dos partes:

1. Demostrar que la función es uno a uno.
2. Demostrar que la función está en.

Las dos partes pueden venir en cualquier orden: es perfectamente aceptable probar primero que la función está en, y luego demostrar que es uno a uno.

Ejemplo\(6.6.6\).

Definir\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x) = 5x − 7\). Entonces\(f\) es una biyección.

Solución

Baste con demostrar que\(f\) es tanto uno a uno como a uno.

(uno-a-uno) Dado\(x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\), tal que\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\), tenemos\[5 x_{1}+7=5 x_{2}+7 ,\]
así así\[x_{1}=x_{2} .\]
Por\[5 x_{1}=5 x_{2} ,\]
lo tanto\(f\) es uno-a-uno.

(onto) Dado\(y \in \mathbb{R}\), vamos\(x=(y+7) / 5\). Entonces\[f(x)=5 x-7=5\left(\frac{y+7}{5}\right)-7=(y+7)-7=y .\]
Por lo tanto\(f\) está en.

Dado que\(f\) es tanto uno a uno como a uno, es una bijección.

Ejercicio\(6.6.7\).

Cada fórmula define una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\). Demostrar que la función es una bijección.

1. \(a(x) = 5x + 2\)
2. \(b(x) = 2x − 5\)
3. \(c(x) = 12x − 15\)
4. \(d(x) = −15x − 12\)
5. \(e(x) = x^{3}\)
6. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)

Notación\(6.6.8\).

Para cualquier conjunto\(A\), defina el mapa de identidad\(I_{A}: A \rightarrow A\) por\(I_{A}(a) = a\) para cada\(a \in A\).

Ejercicio\(6.6.9\).

\(A\)Déjese ser un conjunto. Mostrar que el mapa de identidad\(I_{A}\) es una bijección de\(A\) a\(A\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Cada fórmula define una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\). ¿Cuáles de las funciones son biyecciones? Demuestre que sus respuestas son correctas.

1. \(a(x) = 7.\)
2. \(b(x) = 4x − 7.\)
3. \(c(x) = x^{2}.\)
4. \(d(r) = 3r + 2.\)
5. \(e(s) = 3|s| + 2.\)
6. \(f(t)=\sqrt{t^{2}+1}\)
7. \(g(u)=\sqrt[3]{u}-5 .\)

Ejemplo\(6.6.11\).

Definir\(f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) por\(f(m, n) = m^{2} + n\).

1. Demostrar que\(f\) está en.
2. Demostrar que no\(f\) es uno a uno.

Solución

1. Dado\(k \in \mathbb{N}\), vamos\(x = (0, k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}\). Entonces\[f(x)=f(0, k)=0^{2}+k=k.\]
   Desde\(k\) es un elemento arbitrario de\(\mathbb{N}\), concluimos que\(f\) es sobre.
2. Dejar\(x_{1} = (1, 0)\) y\(x_{2} = (0, 1)\). Entonces\(x_{1} \neq x_{2}\), pero\[f\left(x_{1}\right)=f(1,0)=1^{2}+0=1=0^{2}+1=f(0,1)=f\left(x_{2}\right) ,\]
   así no lo\(f\) es uno a uno.

Ejercicio\(6.6.12\).

Definir\(g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) por\(g(m, n) = (m + n, m − n)\).

1. Demostrar que no\(g\) está en. [Pista:\((m + n) + (m − n) = 2m\). ¿Esto puede ser extraño?]
2. Demostrar que\(g\) es uno a uno.

Preposición\(6.6.13\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\). Show\(f\) es una bijección iff, para cada uno\(b \in B\), hay una única\(a \in A\), tal que\(f(a) = b\). En otras palabras,\(f\) es una bijección si y solo si\[\forall b \in B, \exists ! a \in A,(f(a)=b) .\]

Prueba

(\(\Rightarrow\)) Dejar\(b\) ser un elemento arbitrario de\(B\). Ya que\(f\) es una biyección, está sobre, entonces existe\(a \in A\), tal que\(f(a) = b\). Todo lo que queda es demostrar que\(a\) es único. Para ello, vamos\(a^{\prime} \in A\), tal que\(f(a^{\prime}) = b\). Entonces,\[f\left(a^{\prime}\right)=b=f(a) .\]
ya que\(f\) es una bijección, es uno a uno, por lo que concluimos que\(a^{\prime} = a\). Así,\(a\) es único.

(\(\Leftarrow\)) Baste con mostrar que\(f\) es tanto sobre como uno-a-uno.
(onto) Dado\(b \in B\), estamos asumiendo que hay un elemento (único)\(a\) de\(A\), tal que\(f(a) = b\). Por lo tanto\(f\) está en.

(uno-a-uno) Dado\(a_{1}, a_{2} \in A\), tal que\(f(a_{1}) = f(a_{2})\), vamos\(b = f(a_{1})\). Entonces\(f(a_{1}) = b\) y\(f(a_{2}) = b\). De la singularidad del elemento\(a\) de\(A\), tal que\(f(a) = b\), concluimos que\(a_{1} = a_{2}\). Dado que\(a_{1}\) y\(a_{2}\) son elementos arbitrarios de\(A\), tal que\(f(a_{1}) = f(a_{2})\), esto implica que\(f\) es uno-a-uno.

OBSERVACIÓN\(6.6.14\).

Oficialmente, no\(\times\) es asociativo, porque\[(A \times B) \times C=\{((a, b), c) \mid a \in A, b \in B, c \in C\}\]
y (normalmente) no\[A \times(B \times C)=\{(a,(b, c)) \mid a \in A, b \in B, c \in C\} .\]
son los mismos conjuntos: un elemento de\((A \times B) \times C\) debe tener un par ordenado\((a, b)\) como su primera coordenada, mientras que un elemento de\(A \times(B \times C)\) puede tener cualquier elemento de \(A\)como su primera coordenada.

Ejercicio\(6.6.15\).

Supongamos\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos. Definir\[f:(A \times B) \times C \rightarrow A \times(B \times C) \quad \text { by } \quad f((a, b), c)=(a,(b, c)) .\]

Demostrar que\(f\) es una bijección.

OBSERVACIÓN\(6.6.16\).

Se puede definir el producto cartesiano de más de dos juegos. Por ejemplo,\[A \times B \times C=\{(a, b, c) \mid a \in A, b \in B, c \in C\} .\]
aunque no\(A \times B \times C\) es lo mismo que\((A \times B) \times C\) o\(A \times(B \times C)\), la diferencia entre ellos a menudo puede ser ignorada en la práctica.