1.1: Declaraciones y Declaraciones Condicionales

Gran parte de nuestro trabajo en matemáticas trata de declaraciones. En matemáticas, una declaración es una oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas. A una declaración a veces se le llama proposición. La clave es que no debe haber ambigüedad. Para ser una declaración, una oración debe ser verdadera o falsa, y no puede ser ambas. Entonces una frase como “El cielo es hermoso” no es una declaración ya que si la oración es verdadera o no es cuestión de opinión. Una pregunta como “¿Está lloviendo?” no es una declaración porque es una cuestión y no es declarar o afirmar que algo es cierto.

Algunas oraciones que son de naturaleza matemática a menudo no son declaraciones porque puede que no sepamos con precisión qué representa una variable. Por ejemplo, la ecuación 2\(x\) +5 = 10 no es una declaración ya que no sabemos lo que\(x\) representa. Si sustituimos un valor específico por\(x\) (como\(x\) = 3), entonces la ecuación resultante, 2\(\cdot\) 3 +5 = 10 es una declaración (que es una declaración falsa). A continuación se presentan algunos ejemplos más:

Ejemplo:

• Existe un número real\(x\) tal que 2\(x\) +5 = 10.
  Esta es una declaración porque o tal número real existe o tal número real no existe. En este caso, esta es una afirmación verdadera ya que tal número real sí existe, es decir\(x\) = 2.5.
• Por cada número real\(x\),\(2x +5 = 2 \left( x + \dfrac{5}{2}\right)\).
  Esta es una declaración ya que o bien la oración\(2x +5 = 2 \left( x + \dfrac{5}{2}\right)\) es verdadera cuando se sustituye cualquier número real\(x\) (en cuyo caso, la declaración es verdadera) o hay al menos un número real que puede ser sustituido\(x\) y producir una declaración falsa (en cuyo caso, la declaración es falso). En este caso, la afirmación dada es cierta.
• Resuelve la ecuación\(x^2 - 7x +10 =0\).
  Esto no es una declaración ya que es una directiva. No afirma que algo sea cierto.
• \((a+b)^2 = a^2+b^2\)no es una declaración ya que no se sabe qué\(a\) y\(b\) representar. No obstante, la frase, “Existen números reales\(a\) y\(b\) tal que\((a+b)^2 = a^2+b^2\)" es un enunciado. De hecho, esta es una afirmación verdadera ya que existen tales enteros. Por ejemplo, si\(a=1\) y\(b=0\), entonces\((a+b)^2 = a^2+b^2\).
• Compare el enunciado en el ítem anterior con el enunciado, “Para todos los números reales\(a\) y\(b\),”\((a+b)^2 = a^2+b^2\). Esta es una declaración falsa ya que hay valores para\(a\) y\(b\) para los cuales\((a+b)^2 \ne a^2+b^2\). Por ejemplo, si\(a=2\) y\(b=3\), entonces\((a+b)^2 = 5^2 = 25\) y\(a^2 + b^2 = 2^2 +3^2 = 13\).

Comprobación de progreso 1.1: Declaraciones

¿Cuáles de las siguientes frases son declaraciones? No se preocupe por determinar si una declaración es verdadera o falsa; solo determine si cada oración es una declaración o no.

1. 3 + 4 = 8.
2. 2\(\cdot\) 7 + 8 = 22.
3. \((x-1) = \sqrt(x + 11)\).
4. \(2x + 5y = 7\).
5. Hay enteros\(x\) y\(y\) tal que\(2x + 5y = 7\).
6. Hay enteros\(x\) y\(y\) tal que\(23x + 27y = 52\).
7. Dada una línea\(L\) y un punto\(P\) no en esa línea, hay una línea única a través\(P\) que no se interseca\(L\).
8. \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
9. \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)para todos los números reales\(a\) y\(b\).
10. El derivado de\(f(x) = \sin x\) es\(f' (x) = \cos x\).
11. ¿La ecuación\(3x^2 - 5x - 7 = 0\) tiene dos soluciones de números reales?
12. Si\(ABC\) es un triángulo rectángulo con ángulo recto en el vértice\(B\), y si\(D\) es el punto medio de la hipotenusa, entonces el segmento de línea que conecta el vértice\(B\)\(D\) es la mitad de la longitud de la hipotenusa.
13. No existen tres enteros\(x\),\(y\), y\(z\) tal que\(x^3 + y^2 = z^3\).

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¿Cómo decidimos si una declaración es verdadera o falsa?

En matemáticas, a menudo establecemos que una afirmación es cierta escribiendo una prueba matemática. Para establecer que una declaración es falsa, a menudo encontramos un llamado contraejemplo. (Estas ideas serán exploradas más adelante en este capítulo.) Así que los matemáticos deben ser capaces de descubrir y construir pruebas. Además, una vez realizado el descubrimiento, el matemático debe ser capaz de comunicar este descubrimiento a otros que hablen el lenguaje de las matemáticas. Estaremos tratando estas ideas a lo largo del texto.

Por ahora, queremos enfocarnos en lo que sucede antes de comenzar una prueba. Una cosa que suelen hacer los matemáticos es hacer una conjetura de antemano sobre si la afirmación es verdadera o falsa. Esto a menudo se hace a través de la exploración. El papel de la exploración en las matemáticas suele ser difícil porque el objetivo no es encontrar una respuesta específica sino simplemente investigar. A continuación se presentan algunas técnicas de exploración que podrían ser útiles.

Técnicas de Exploración

• Conjeturas y conjeturas. Formular y anotar preguntas y conjeturas. Cuando hacemos una conjetura en matemáticas, solemos llamarlo conjetura.
• Ejemplos. Construir ejemplos apropiados es extremadamente importante. La exploración a menudo requiere mirar muchos ejemplos. De esta manera, podemos recopilar información que proporcione evidencia de que una afirmación es verdadera, o podríamos encontrar un ejemplo que demuestre que la declaración es falsa. Este tipo de ejemplo se llama contraejemplo.

  Ejemplo:

  Por ejemplo, si alguien hace la conjetura de que\(\sin(2x) = 2 \sin(x)\), para todos los números reales\(x\), podemos probar esta conjetura sustituyendo valores específicos por\(x\). Una forma de hacerlo es elegir valores de\(x\) los que\(\sin(x)\) se conoce. Usando\(x = \frac{\pi}{4}\), vemos que

  \(\sin(2(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1,\)y

  \(2\sin(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\sqrt2}{2}) = \sqrt2\).

  Ya que\(1 \ne \sqrt2\), estos cálculos muestran que esta conjetura es falsa. No obstante, si no encontramos un contraejemplo para una conjetura, normalmente no podemos afirmar que la conjetura es cierta. Lo mejor que podemos decir es que nuestros ejemplos indican que la conjetura es cierta. Como ejemplo, considere la conjetura de que

  Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x + y\) es un entero par.

  Podemos hacer muchos cálculos, como\(3 + 7 = 10\) y\(5 + 11 = 16\), y encontrar que cada vez que sumamos dos enteros impares, la suma es un entero par. Sin embargo, no es posible probar cada par de enteros impares, y así sólo podemos decir que la conjetura parece ser cierta. (Demostraremos que esta afirmación es cierta en la siguiente sección.)

• Uso de conocimientos previos. Esto también es muy importante. No podemos partir de una plaza cada vez que exploramos una declaración. Debemos hacer uso de nuestros conocimientos matemáticos adquiridos. Por la conjetura de que\(\sin (2x) = 2 \sin(x)\), para todos los números reales\(x\), podríamos recordar que existen identidades trigonométricas llamadas “identidades de doble ángulo”. Incluso podemos recordar la identidad correcta para\(\sin (2x)\), pero si no lo hacemos, siempre podemos buscarla. Debemos recordar (o encontrar) que
  
  para todos los números reales\(x\),\[\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x).\]
• Podríamos usar esta identidad para argumentar que la conjetura “para todos los números reales\(\sin (2x) = 2 \sin(x)\)”\(x\), es falsa, pero si lo hacemos, sigue siendo una buena idea dar un contraejemplo específico como lo hicimos antes.
• Cooperación y lluvia de ideas. Trabajar juntos suele ser más fructífero que trabajar solo. Cuando trabajamos con otra persona, podemos comparar notas y articular nuestras ideas. Pensar en voz alta suele ser un método útil de lluvia de ideas que ayuda a generar nuevas ideas.

Comprobación de progreso 1.2: Exploraciones

Utilizar las técnicas de exploración para investigar cada una de las siguientes afirmaciones. ¿Se puede hacer una conjetura sobre si la afirmación es verdadera o falsa? ¿Se puede determinar si es cierto o falso?

1. \((a + b)^2 = a^2 + b^2\), para todos los números reales a y b.
2. Hay enteros\(x\) y\(y\) tal que\(2x + 5y = 41\).
3. Si\(x\) es un número entero par, entonces\(x^2\) es un número entero par.
4. Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.

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Declaraciones condicionales

Uno de los tipos de enunciados más utilizados en matemáticas es el llamado enunciado condicional. Dadas las declaraciones\(P\) y\(Q\), una declaración de la forma “Si\(P\) entonces\(Q\)” se denomina declaración condicional. Parece razonable que el valor de verdad (verdadero o falso) de la declaración condicional “Si\(P\) entonces\(Q\)” dependa de los valores de verdad de\(P\) y\(Q\). El enunciado “Si\(P\) entonces\(Q\)” significa que\(Q\) debe ser cierto siempre que\(P\) sea cierto. A la declaración\(P\) se le llama la hipótesis de la declaración condicional, y a la declaración\(Q\) se le llama la conclusión de la declaración condicional. Dado que las declaraciones condicionales son probablemente el tipo de declaración más importante en matemáticas, damos una definición más formal.

Definición

Una declaración condicional es una declaración que se puede escribir en la forma “Si\(P\) entonces”\(Q\), donde\(P\) y\(Q\) son oraciones. Para esta declaración condicional,\(P\) se llama la hipótesis y\(Q\) se llama la conclusión.

Intuitivamente, “Si\(P\) entonces\(Q\)” significa que\(Q\) debe ser cierto siempre que\(P\) sea cierto. Debido a que las declaraciones condicionales se usan tan a menudo, se usa una notación simbólica taquigráfica para representar la declaración condicional “Si\(P\) entonces”\(Q\). Usaremos la notación\(P \to Q\) para representar “Si\(P\) entonces”\(Q\). Cuando\(P\) y\(Q\) son declaraciones, parece razonable que el valor de verdad (verdadero o falso) de la declaración condicional\(P \to Q\) dependa de los valores de verdad de\(P\) y\(Q\). Hay cuatro casos a considerar:

• \(P\)es verdad y\(Q\) es verdad.
• \(P\)es falso y\(Q\) es cierto.
• \(P\)es verdadero y\(Q\) es falso.
• \(P\)es falso y\(Q\) es falso.

El enunciado condicional\(P \to Q\) significa que\(Q\) es cierto siempre que\(P\) es cierto. No dice nada sobre el valor de verdad de\(Q\) cuándo\(P\) es falso. Usando esto como guía, definimos que la declaración\(P \to Q\) condicional es falsa solo cuando\(P\) es verdadera y\(Q\) es falsa, es decir, solo cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa. En todos los demás casos,\(P \to Q\) es cierto. Esto se resume en la Tabla 1.1, que se denomina tabla de verdad para la sentencia condicional\(P \to Q\). (En la Tabla 1.1, T significa “verdadero” y F significa “falso”.)

\(P\)	\(Q\)	\(P \to Q\)
T T F F	T F T F	T F T T

Tabla 1.1: Tabla de Verdad para\(P \to Q\)

Lo importante a recordar es que la declaración condicional\(P \to Q\) tiene su propio valor de verdad. Es verdadero o falso (y no ambos). Su valor de verdad depende de los valores de verdad para\(P\) y\(Q\), pero a algunos les resulta un poco desconcertante que la afirmación condicional se considere verdadera cuando la hipótesis P es falsa. Daremos una justificación para ello mediante el uso de un ejemplo.

Ejemplo 1.3:

Supongamos que digo

“Si no está lloviendo, entonces Daisy está montando su bicicleta”.

Podemos representar esta declaración condicional como\(P \to Q\) donde\(P\) está la declaración, “No está lloviendo” y\(Q\) es la declaración, “Daisy está montando su bicicleta”.

A pesar de que no es una analogía perfecta, piensa en la afirmación\(P \to Q\) como falsa para significar que mentí y piensa en la afirmación\(P \to Q\) como verdadera para significar que no mentí. Ahora comprobaremos el valor de la verdad de\(P \to Q\) basándonos en los valores de verdad de\(P\) y\(Q\).

1. Supongamos que ambos\(P\) y\(Q\) son ciertos. Es decir, no está lloviendo y Daisy está montando su bicicleta. En este caso, parece razonable decir que dije la verdad y eso\(P \to Q\) es cierto.
2. Supongamos que eso\(P\)\(Q\) es cierto y es falso o que no está lloviendo y Daisy no está montando su bicicleta. Parecería que al hacer la declaración, “Si no está lloviendo, entonces Daisy está montando su bicicleta”, eso no he dicho la verdad. Entonces en este caso, la afirmación\(P \to Q\) es falsa.
3. Ahora supongamos que eso\(P\) es falso y\(Q\) es cierto o que está lloviendo y Daisy está montando su bicicleta. ¿Yo hice una declaración falsa al afirmar que si no está lloviendo, entonces Daisy está montando su bicicleta? La clave es que no hice ninguna declaración sobre lo que pasaría si llovía, y así no mentí. Por lo que consideramos la afirmación condicional, “Si no está lloviendo, entonces Daisy está montando su bicicleta”, es cierto en el caso en el que está lloviendo y Daisy está montando su bicicleta.
4. Por último, supongamos que ambos\(P\) y\(Q\) son falsos. Es decir, está lloviendo y Daisy no está montando su bicicleta. Al igual que en la situación anterior, como lo fue mi declaración\(P \to Q\), no hice ningún reclamo sobre lo que pasaría si llovía, y así no mentí. Por lo que la afirmación\(P \to Q\) no puede ser falsa en este caso y así la consideramos cierta.

Comprobación de Progreso 1.4: xploraciones con Declaraciones Condicionales

1. Considera la siguiente frase:

Si\(x\) es un número real positivo, entonces\(x^2 + 8x\) es un número real positivo.

Si bien la hipótesis y conclusión de esta oración condicional no son declaraciones, la oración condicional en sí misma puede considerarse como una declaración siempre y cuando sepamos qué números posibles se pueden usar para la variable\(x\). Desde el contexto de esta frase, parece que podemos sustituir cualquier número real positivo por\(x\). También podemos sustituir 0 por\(x\) o un número real negativo por x siempre que estemos dispuestos a trabajar con una hipótesis falsa en la declaración condicional. (En el Capítulo 2, aprenderemos a ser más cuidadosos y precisos con este tipo de declaraciones condicionales).

a) Obsérvese que si\(x = -3\), entonces\(x^2 + 8x = -15\), que es negativo. ¿Significa esto que la declaración condicional dada es falsa?

b) Obsérvese que si\(x = 4\), entonces\(x^2 + 8x = 48\), que es positivo. ¿Significa esto que la declaración condicional dada es verdadera?

c) ¿Cree que esta afirmación condicional es verdadera o falsa? Registrar los resultados de al menos cinco ejemplos diferentes donde la hipótesis de esta afirmación condicional sea cierta.

2. “Si\(n\) es un número entero positivo, entonces\(n^2 - n +41\) es un número primo”. (Recuerde que un número primo es un entero positivo mayor que 1 cuyos únicos factores positivos son 1 y él mismo).
Para explorar si esta afirmación es cierta o no, intente usar (y registrar sus resultados) para\(n = 1\)\(n = 2\),\(n = 3\),\(n = 4\),\(n = 5\), y\(n = 10\). Después registrar los resultados para al menos otros cuatro valores de\(n\). ¿Esta afirmación condicional parece ser cierta?

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Observaciones adicionales sobre las declaraciones condicionales

1. Las convenciones para el valor de verdad de las declaraciones condicionales pueden parecer un poco extrañas, especialmente el hecho de que la declaración condicional es verdadera cuando la hipótesis de la declaración condicional es falsa. El siguiente ejemplo está destinado a mostrar que esto tiene sentido.

   Supongamos que Ed tiene exactamente 52 dólares en su billetera. Las siguientes cuatro afirmaciones utilizarán las cuatro posibles combinaciones de verdad para la hipótesis y conclusión de una declaración condicional.

   • Si Ed tiene exactamente 52 dólares en su billetera, entonces tiene 20 dólares en su billetera. Esta es una verdadera afirmación. Observe que tanto la hipótesis como la conclusión son ciertas.
   • Si Ed tiene exactamente 52 dólares en su billetera, entonces tiene 100 dólares en su billetera. Esta afirmación es falsa. Observe que la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa.
   • Si Ed tiene 100 dólares en su billetera, entonces tiene al menos 50 dólares en su billetera. Esta afirmación es cierta independientemente de la cantidad de dinero que tenga en su cartera. En este caso, la hipótesis es falsa y la conclusión es verdadera.
   • Si Ed tiene 100 dólares en su billetera, entonces tiene al menos 80 dólares en su billetera. Esta afirmación es cierta independientemente de la cantidad de dinero que tenga en su cartera. En este caso, la hipótesis es falsa y la conclusión es falsa.

     Se trata de un ejemplo ingenioso pero sí ilustra que las convenciones para el valor de verdad de una declaración condicional tienen sentido. El mensaje es que para estar completos en matemáticas, necesitamos tener convenciones sobre cuándo una declaración condicional es verdadera y cuándo es falsa.

2. El hecho de que solo haya un caso en el que una declaración condicional es falsa a menudo proporciona un método para demostrar que una declaración condicional dada es falsa. En Progress Check 1.4, te preguntaron si pensabas que la siguiente declaración condicional era verdadera o falsa.

   Si\(n\) es un entero positivo, entonces\((n^2 - n + 41)\) es un número primo.

   Quizás por todos los valores que probaste\(n\),\((n^2 - n + 41)\) resultó ser un número primo. No obstante, si lo intentamos\(n = 41\), ge
   
   \(n^2 - n + 41 = 41^2 - 41 + 41\)
   \(n^2 - n + 41 = 41^2\)
   
   Así que en el caso donde\(n = 41\), la hipótesis es verdadera (41 es un entero positivo) y la conclusión es falsa no\(41^2\) es primo. Por lo tanto, 41 es un contraejemplo para esta conjetura y la sentencia condicional
   “Si\(n\) es un entero positivo, entonces\((n^2 - n + 41)\) es un número primo”
   es falsa. Hay otros contraejemplos (como\(n = 42\),\(n = 45\), y\(n = 50\)), pero solo se necesita un contraejemplo para probar que la declaración es falsa.

3. Si bien se puede usar un ejemplo para probar que una declaración condicional es falsa, en la mayoría de los casos, no podemos usar ejemplos para probar que una declaración condicional es verdadera. Por ejemplo, en Progress Check 1.4, sustituimos valores\(x\) por la sentencia condicional “Si\(x\) es un número real positivo, entonces\(x^2 + 8x\) es un número real positivo”. Por cada número real positivo utilizado para\(x\), vimos que\(x^2 + 8x\) era positivo. Sin embargo, esto no prueba que la afirmación condicional sea cierta porque es imposible sustituir cada número real positivo por\(x\). Entonces, aunque podamos creer que esta afirmación es cierta, para poder concluir es verdad, necesitamos escribir una prueba matemática. Los métodos de prueba se discutirán en la Sección 1.2 y en el Capítulo 3.

Comprobación de progreso 1.5: Trabajar con una declaración condicional

La siguiente afirmación es una afirmación verdadera, que está probada en muchos textos de cálculo.

Si la función\(f\) es diferenciable en\(a\), entonces la función\(f\) es continua en\(a\).

Utilizando sólo esta verdadera afirmación, ¿es posible llegar a una conclusión sobre la función en cada uno de los siguientes casos?

1. Se sabe que la función\(f\), donde\(f(x) = \sin x\), es diferenciable a 0.
2. Se sabe que la función\(f\), donde\(f(x) = \sqrt[3]x\), no es diferenciable a 0.
3. Se sabe que la función\(f\), donde\(f(x) = |x|\), es continua a 0.
4. Se sabe que la función\(f\), donde no\(f(x) = \dfrac{|x|}{x}\) es continua a 0.

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Propiedades de cierre de sistemas numéricos

El sistema numérico primario utilizado en álgebra y cálculo es el sistema de números reales. Usualmente usamos el símbolo R para representar el conjunto de todos los números reales. Los números reales consisten en los números racionales y los números irracionales. Los números racionales son aquellos números reales que se pueden escribir como cociente de dos enteros (con un denominador distinto de cero), y los números irracionales son aquellos números reales que no se pueden escribir como cociente de dos enteros. Es decir, un número racional puede escribirse en forma de fracción, y un número irracional no puede escribirse en forma de fracción. Algunos números irracionales comunes son\(\sqrt2\),\(\pi\) y\(e\). Usualmente usamos el símbolo\(\mathbb{Q}\) para representar el conjunto de todos los números racionales. (La letra\(\mathbb{Q}\) se usa porque los números racionales son cocientes de enteros.) No hay un símbolo estándar para el conjunto de todos los números irracionales.

Quizás el sistema numérico más básico utilizado en matemáticas es el conjunto de números naturales. Los números naturales consisten en los números enteros positivos como 1, 2, 3, 107 y 203. Usaremos el símbolo\(\mathbb{N}\) para representar el conjunto de números naturales. Otro sistema numérico básico con el que estaremos trabajando es el conjunto de enteros. Los enteros consisten en cero, los números enteros positivos y los negativos de los números enteros positivos. Si\(n\) es un entero, podemos escribir\(n = \dfrac{n}{1}\). Entonces cada entero es un número racional y por lo tanto también un número real.

Usaremos la letra\(\mathbb{Z}\) para representar el conjunto de enteros. (La letra\(\mathbb{Z}\) es de la palabra alemana,\(Zahlen\), para números.) Tres de las propiedades básicas de los enteros son que el conjunto\(\mathbb{Z}\) se cierra bajo suma, el conjunto\(\mathbb{Z}\) se cierra bajo multiplicación y el conjunto de enteros se cierra bajo resta. Esto significa que

• Si\(x\) y\(y\) son números enteros, entonces\(x + y\) es un número entero;
• Si\(x\) y\(y\) son números enteros, entonces\(x \cdot y\) es un número entero; y
• Si\(x\) y\(y\) son enteros, entonces\(x - y\) es un entero.

Observe que estas llamadas propiedades de cierre se definen en términos de declaraciones condicionales. Esto quiere decir que si podemos encontrar una instancia donde la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa, entonces la declaración condicional es falsa.

Ejemplo 1.6: Cierre

1. Para que el conjunto de números naturales se cierre bajo resta, la siguiente declaración condicional tendría que ser verdadera: Si\(x\) y\(y\) son números naturales, entonces\(x - y\) es un número natural. No obstante, dado que 5 y 8 son números naturales\(5 - 8 = -3\), que no es un número natural, esta afirmación condicional es falsa. Por lo tanto, el conjunto de números naturales no se cierra bajo resta.
2. Podemos usar las reglas para multiplicar fracciones y las reglas de cierre para los enteros para mostrar que los números racionales se cierran bajo multiplicación. Si\(\dfrac{a}{b}\) y\(\dfrac{c}{d}\) son números racionales (entonces\(a\)\(b\),\(c\),, y\(d\) son enteros y\(b\) y no\(d\) son cero), entonces
   
   \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}.\)
   
   Dado que los enteros están cerrados bajo multiplicación, sabemos eso\(ac\) y\(bd\) son enteros y desde\(b \ne 0\) y\(d \ne 0\),\(bd \ne 0\). De ahí que\(\dfrac{ac}{bd}\) sea un número racional y esto demuestra que los números racionales se cierran bajo multiplicación.

Comprobación de Progreso 1.7: Propiedades de Cierre

Responde a cada una de las siguientes preguntas.

1. ¿El conjunto de números racionales se cierra bajo suma? Explicar.
2. ¿El conjunto de enteros está cerrado bajo división? Explicar.
3. ¿El conjunto de números racionales se cierra bajo resta? Explicar.

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1.1

1. ¿Cuáles de las siguientes frases son declaraciones?
   (a)\(3^2 + 4^2 = 5^2.\)
   (b)\(a^2 + b^2 = c^2.\)
   (c) Existen enteros\(a\),\(b\), y\(c\) tal que\(a^2 + b^2 = c^2.\)
   (d) Si\(x^2 = 4\), entonces\(x = 2.\)
   e) Por cada número real\(x\), si\(x^2 = 4\), entonces f\(x = 2.\)
   ) Por cada número real\(t\), g\(\sin^2t + \cos^2t = 1.\)
   ) h\(\sin x < \sin (\frac{\pi}{4}).\)
   ) Si\(n\) es un número primo, entonces\(n^2\) tiene tres factores positivos.
   (i) 1 +\(\tan^2 \theta = \text{sec}^2 \theta.\)
   (j) Cada rectángulo es un paralelogramo.
   (k) Cada número natural par mayor o igual a 4 es la suma de dos números primos.
2. Identificar la hipótesis y la conclusión para cada una de las siguientes declaraciones condicionales.
   (a) Si\(n\) es un número primo, entonces\(n^2\) tiene tres factores positivos.
   (b) Si\(a\) es un número irracional y\(b\) es un número irracional, entonces\(a \cdot b\) es un número irracional.
   (c) Si\(p\) es un número primo, entonces\(p = 2\) o\(p\) es un número impar.
   d) Si\(p\) es un número primo y\(p \ne 2\) o\(p\) es un número impar.
   (e)\(p \ne 2\) o\(p\) es un número par, entonces no\(p\) es primo.
3. Determinar si cada una de las siguientes declaraciones condicionales es verdadera o falsa.
   (a) Si 10 < 7, entonces 3 = 4.
   (b) Si 7 < 10, entonces 3 = 4.
   (c) Si 10 < 7, entonces 3 + 5 = 8.
   (d) Si 7 < 10, entonces 3 + 5 = 8.
4. Determinar las condiciones bajo las cuales cada una de las siguientes oraciones condicionales será una declaración verdadera.
   (a) Si a + 2 = 5, entonces 8 < 5.
   (b) Si 5 < 8, entonces a + 2 = 5.
5. \(P\)Sea la declaración “Estudiante X aprobó cada tarea en Cálculo I”, y dejar\(Q\) ser la declaración “Estudiante X recibió una calificación de C o mejor en Cálculo I.”
   a) ¿Qué significa\(P\) para ser verdad? ¿Qué significa\(Q\) para ser verdad?
   (b) Supongamos que el Estudiante X aprobó todas las tareas en Cálculo I y recibió una calificación de B-, y que el instructor hizo la declaración\(P \to Q\). ¿Diría usted que el instructor mintió o dijo la verdad?
   (c) Supongamos que el Estudiante X aprobó todas las tareas en Cálculo I y recibió una calificación de C-, y que el instructor hizo la declaración\(P \to Q\). ¿Diría usted que el instructor mintió o dijo la verdad?
   (d) Ahora supongamos que el Estudiante X no aprobó dos tareas en Cálculo I y recibió una calificación de D, y que el instructor hizo la declaración\(P \to Q\). ¿Diría usted que el instructor mintió o dijo la verdad?
   (e) ¿Cómo se relacionan las Partes (5b), (5c) y (5d) con la tabla de la verdad para\(P \to Q\)?
6. A continuación se presenta una declaración de un teorema que puede ser probado usando cálculo o precálculo matemático. Para este teorema\(a\),,\(b\), y\(c\) son números reales.

   Teorema Si f es una función cuadrática de la forma
   \(f(x) = ax^2 + bx + c\) y a < 0, entonces la función f tiene un valor máximo cuando\(x = \dfrac{-b}{2a}\).
   
   Utilizando sólo este teorema, ¿qué se puede concluir sobre las funciones dadas por las siguientes fórmulas?
   a)\(g (x) = -8x^2 + 5x - 2\)
   b\(h (x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 3x\)
   ) c\(k (x) = 8x^2 - 5x - 7\)
   ) d\(j (x) = -\dfrac{71}{99}x^2 +210\)
   ) e\(f (x) = -4x^2 - 3x + 7\)
   ) f\(F (x) = -x^4 + x^3 + 9\)

7. A continuación se presenta una declaración de un teorema que se puede probar usando la fórmula cuadrática. Para este teorema\(a\),,\(b\), y\(c\) son números reales.

   Teorema Si\(f\) es una función cuadrática de la forma
   \(f(x) = ax^2 + bx + c\) y ac < 0, entonces la función\(f\) tiene dos intercepciones x.

   Utilizando sólo este teorema, ¿qué se puede concluir sobre las funciones dadas por las siguientes fórmulas?
   a)\(g (x) = -8x^2 + 5x - 2\)
   b\(h (x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 3x\)
   ) c\(k (x) = 8x^2 - 5x - 7\)
   ) d\(j (x) = -\dfrac{71}{99}x^2 +210\)
   ) e\(f (x) = -4x^2 - 3x + 7\)
   ) f\(F (x) = -x^4 + x^3 + 9\)

8. A continuación se presenta una declaración de un teorema sobre ciertas ecuaciones cúbicas.Para este teorema,\(b\) representa un número real.

   Teorema A. Si\(f\) es una función cúbica de la forma\(f (x) = x^3 - x + b\) y b > 1, entonces la función\(f\) tiene exactamente una\(x\) -intercepción.
   
   A continuación se presenta otro teorema sobre\(x\) -intercepciones de funciones:
   
   Teorema B. Si\(f\) y\(g\) son funciones con\(g (x) = k \cdot f (x)\), donde\(k\) es un número real distinto de cero, entonces\(f\) y\(g\) tienen exactamente las mismas\(x\) -intercepciones.

   Usando solo estos dos teoremas y algunas manipulaciones algebraicas simples, ¿qué se puede concluir sobre las funciones dadas por las siguientes fórmulas?
   a)\(f (x) = x^3 -x + 7\)
   b\(g (x) = x^3 + x +7\)
   ) c\(h (x) = -x^3 + x - 5\)
   ) d\(k (x) = 2x^3 + 2x + 3\)
   ) e\(r (x) = x^4 - x + 11\)
   ) f\(F (x) = 2x^3 - 2x + 7\)

9. a) ¿El conjunto de números naturales está cerrado bajo división?
   b) ¿El conjunto de números racionales se cierra bajo división?
   c) ¿El conjunto de números racionales distintos de cero está cerrado bajo división?
   d) ¿Se cierra bajo división el conjunto de números racionales positivos?
   e) ¿Se cierra bajo resta el conjunto de números reales positivos?
   f) ¿El conjunto de números racionales negativos se cierra bajo división?
   g) ¿El conjunto de enteros negativos se cierra bajo suma?
   
   Exploraciones y actividades
10. Explorando Proposiciones. En Progress Check 1.2, utilizamos la exploración para mostrar que ciertas afirmaciones eran falsas y para hacer conjeturas de que ciertas afirmaciones eran verdaderas. También podemos usar la exploración para formular una conjetura que creemos que es cierta. Por ejemplo, si calculamos potencias sucesivas de\(2, (2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ...)\) y examinamos los dígitos de unidades de estos números, podríamos hacer las siguientes conjeturas (entre otras):
    \(\bullet\) Si\(n\) es un número natural, entonces el dígito de unidades de\(2^n\) debe ser 2, 4, 6 u 8.
    \(\bullet\)Las unidades dígitos de las potencias sucesivas de 2 se repiten según el patrón “2, 4, 8, 6”.
    a) ¿Es posible formular una conjetura sobre las unidades dígitos de poderes sucesivos de\(4 (4^1, 4^2, 4^3, 4^4, 4^5,...)\)? Si es así, formular al menos una conjetura.
    b) ¿Es posible formular una conjetura sobre el dígito de unidades de números de la forma\(7^n - 2^n\), donde\(n\) es un número natural? Si es así, formular una conjetura en forma de declaración condicional en la forma “Si\(n\) es un número natural, entonces...”.
    (c) Dejar\(f (x) = e^(2x)\). Determinar las primeras ocho derivadas de esta función. ¿Qué observas? Formular una conjetura que parezca cierta. La conjetura debe escribirse como una declaración condicional en la forma, “Si n es un número natural, entonces...”.

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