1.2: Construyendo Pruebas Directas

Vista previa Actividad 1 (Definición de enteros pares e impares)
Las definiciones juegan un papel muy importante en las matemáticas. Una prueba directa de una proposición en matemáticas es a menudo una demostración de que la proposición sigue lógicamente de ciertas definiciones y proposiciones previamente probadas. Una definición es un acuerdo al que una palabra o frase en particular representará algún objeto, propiedad u otro concepto al que esperamos referirnos a menudo. En muchas pruebas elementales, la respuesta a la pregunta: “¿Cómo probamos una proposición determinada?” , a menudo se contesta por medio de una definición. Por ejemplo, en Progress Check 1.2 en la página 5, todos los ejemplos que probaste deberían haber indicado que la siguiente declaración condicional es verdadera:

Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.

Para construir una prueba matemática de esta declaración condicional, necesitamos una definición precisa de lo que significa decir que un entero es un número entero par y lo que significa decir que un entero es un entero impar.

Definición

Un entero\(a\) es un entero par siempre que exista un entero\(n\) tal que\(a = 2n\). Un entero a es un entero impar siempre que exista un entero\(n\) tal que\(a = 2n+1\).

Usando esta definición, podemos concluir que el entero 16 es un número entero par ya que 16 = 2\(\cdot\) 8 y 8 es un número entero. Al responder a las siguientes preguntas, se debe obtener una mejor comprensión de estas definiciones. Estas preguntas no están aquí solo para tener preguntas en el libro de texto. Construir y responder a este tipo de preguntas es una manera en la que muchos matemáticos tratarán de obtener una mejor comprensión de una definición.

1. Utilice la definición dada anteriormente para
   (a) Explicar por qué 28, -42, 24 y 0 son pares enteros.
   b) Explique por qué 51, -11, 1 y -1 son números enteros impares.
   
   Es importante darse cuenta de que las definiciones matemáticas no se hacen aleatoriamente. En la mayoría de los casos, están motivados por un concepto matemático que ocurre con frecuencia.
2. ¿Las definiciones de enteros pares y enteros impares son consistentes con tus ideas anteriores sobre enteros pares e impares?

Vista previa de la Actividad 2 (Pensando en una Prueba)

Considere la siguiente proposición:

Proposición. Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.

Piensa en cómo podrías llegar a probar esta proposición. Una prueba directa de una declaración condicional es una demostración de que la conclusión de la declaración condicional se desprende lógicamente de la hipótesis de la declaración condicional. Se utilizan definiciones y proposiciones previamente probadas para justificar cada paso en la prueba. Para ayudar a comenzar a probar esta propuesta, responda las siguientes preguntas:

1. La proposición es una declaración condicional. ¿Cuál es la hipótesis de esta afirmación condicional? ¿Cuál es la conclusión de esta declaración condicional?
2. Si\(x = 2\) y\(y = 3\), entonces\(x \cdot y = 6\). ¿Este ejemplo prueba que la proposición es falsa? Explique.
3. Si\(x = 5\) y\(y = 3\), entonces\(x \cdot y = 15\). ¿Este ejemplo prueba que la proposición es cierta? Explique.
   
   Para probar esta proposición, necesitamos probar que siempre que ambos\(x\) y\(y\) sean enteros impares,\(x \cdot y\) es un entero impar. Como no podemos explorar todos los pares posibles de valores enteros para\(x\) y\(y\), usaremos la definición de un entero impar para ayudarnos a construir una prueba.
4. Para iniciar una prueba de esta proposición, asumiremos que la hipótesis del enunciado condicional es cierta. Entonces en este caso, asumimos que tanto x como yson enteros impares. Entonces podemos usar la definición de un entero impar para concluir que existe un entero m tal que\(x = 2m + 1\). Ahora usa la definición de un entero impar para llegar a una conclusión sobre el entero\(y\).

   Nota: La definición de un entero impar dice que existe otro entero determinado. Esta definición puede ser aplicada a ambos\(x\) y\(y\). Sin embargo, no utilice la misma letra en ambos casos. Hacerlo implicaría eso\(x = y\) y no hemos hecho esa suposición. Para ser más específicos, si\(x = 2m + 1\) y\(y = 2m + 1\), entonces\(x = y\).

5. Tenemos que probar que si la hipótesis es cierta, entonces la conclusión es cierta. Entonces, en este caso, tenemos que demostrar que\(x \cdot y\) es un entero impar. En este punto, solemos hacernos una llamada pregunta atrasada. En este caso, preguntamos: “¿Bajo qué condiciones podemos concluir que\(x \cdot y\) es un entero impar?” Use la definición de un entero impar para responder a esta pregunta, y tenga cuidado de usar una letra diferente para el nuevo entero que la utilizada en la Parte (4).

Propiedades de los sistemas numéricos

Al final de la Sección 1.1, se introdujeron notaciones para los sistemas numéricos estándar que utilizamos en matemáticas. También discutimos algunas propiedades de cierre de los sistemas numéricos estándar. Para este texto, se supone que el lector está familiarizado con estas propiedades de cierre y las reglas básicas del álgebra que se aplican a todos los números reales. Es decir, se supone que el lector está familiarizado con las propiedades de los números reales mostrados en la Tabla 1.2.

Construyendo una Prueba de una Declaración Condicional

Para probar que una declaración condicional\(P \to Q\) es cierta, solo necesitamos probar que\(Q\) es verdad siempre que\(P\) sea verdad. Esto se debe a que la declaración condicional es verdadera siempre que la hipótesis sea falsa. Entonces en una prueba directa de\(P \to Q\), asumimos que eso\(P\) es cierto, y usando esta suposición, procedemos a través de una secuencia lógica de pasos para llegar a la conclusión que\(Q\) es verdadera.

Desafortunadamente, muchas veces no es fácil descubrir cómo iniciar esta secuencia lógica de pasos o cómo llegar a la conclusión que\(Q\) es verdad. Describiremos un método de exploración que a menudo puede ayudar a descubrir los pasos de una prueba. Este método

Para todos los números reales\(x\),\(y\) y\(z\)

Propiedades de Identidad	\(x + 0 = x\)y\(x \cdot 1 = x\)
Propiedades inversas	\(x + (-x) = 0\)y si\(x \ne 0\), entonces\(x \cdot \dfrac{1}{x} = 1\).
Propiedades conmutativas	\(x + y = y + x\)y\(xy = yx\)
Propiedades asociativas	\((x + y) + z = x + (y + z)\)y\((xy) z = x (yz)\)
Propiedades Distributivas	\(x (y + z) = xy + xz\)y\((y+z) x = yx + zx\)

Tabla 1.2: Propiedades de los números reales

implicará trabajar adelante a partir de la hipótesis,\(P\), y hacia atrás desde la conclusión,\(Q\). Usaremos un dispositivo llamado la “mesa de conocimientos” para ayudar a organizar nuestros pensamientos y los pasos de la prueba. Esto se ilustrará con la propuesta de la Actividad Previa 2.

Proposición. Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.
El primer paso es identificar la hipótesis\(P\), y la conclusión,\(Q\), del enunciado condicional. En este caso, tenemos lo siguiente:

\(P\):\(x\) y\(y\) son enteros impares. \(Q\):\(x \cdot y\) es un número entero impar.

Ahora tratamos\(P\) como lo que conocemos (hemos asumido que es cierto) y tratamos\(Q\) como lo que queremos mostrar (es decir, el objetivo). Así que organizamos esto usando\(P\) como primer paso en la porción conocida de la tabla y\(Q\) como último paso en la porción show de la tabla. Pondremos la porción de conocimiento de la mesa en la parte superior y la porción de espectáculo de la mesa en la parte inferior.

Paso	Conoce	Razón
\(P\)	\(x\)y\(y\) son enteros impares	Hipótesis
\(P\)1	...	...
...	...	...
\(Q\)1	...	...
\(Q\)	\(x \cdot y\)es un número entero impar.	?
Paso	Mostrar	Razón

Todavía no hemos llenado el motivo del último paso porque aún no sabemos cómo vamos a llegar a la meta. La idea ahora es hacernos preguntas sobre lo que sabemos y lo que estamos tratando de probar. Por lo general, comenzamos con la conclusión que estamos tratando de probar haciendo una llamada pregunta atrasada. La forma básica de la pregunta es: “¿Bajo qué condiciones podemos concluir que eso\(Q\) es cierto?” La forma en que hacemos la pregunta es crucial ya que debemos ser capaces de responderla. Primero debemos tratar de hacer y responder la pregunta de manera abstracta y luego aplicarla a la forma particular de declaración\(Q\).

En este caso, estamos tratando de demostrar que algún entero es un entero impar. Entonces nuestra pregunta atrasada podría ser: “¿Cómo demostramos que un entero es impar?” En este momento, la única forma que tenemos de responder a esta pregunta es usar la definición de un entero impar. Entonces nuestra respuesta podría ser: “Tenemos que demostrar que existe un entero\(q\) tal que el entero sea igual”\(2q + 1\). Aplicamos esta respuesta a la declaración\(Q\) y la insertamos como la siguiente a la última línea en la tabla de know show.

Paso	Conoce	Razón
\(P\)	\(x\)y\(y\) son enteros impares	Hipótesis
\(P\)1	...	...
...	...	...
\(Q\)1	Existe un entero\(q\) tal que\(xy = 2q + 1\)	...
\(Q\)	\(x \cdot y\)es un número entero impar.	Definición de un entero impar
Paso	Mostrar	Razón

Ahora enfocamos nuestro esfuerzo en probar el enunciado\(Q\) 1 ya que sabemos que si podemos probar\(Q\) 1, entonces podemos concluir que eso\(Q\) es cierto. Hacemos una pregunta atrasada sobre\(Q\) 1 como, “¿Cómo podemos probar que existe un entero\(q\) tal que\(x \cdot y = 2q + 1\)?” Puede que no tengamos una respuesta lista para esta pregunta, por lo que miramos la porción de conocimiento de la tabla e intentamos conectar la porción de conocimiento con la porción de espectáculo. Para ello, trabajamos desde el paso\(P\), y esto implica hacer una pregunta hacia adelante. La forma básica de este tipo de preguntas es: “¿Qué podemos concluir del hecho de que\(P\) es verdad?” En este caso, podemos usar la definición de un entero impar para concluir que existen enteros m y n tales que\(x = 2m + 1\) y\(y = 2n + 1\). A esto lo llamaremos Paso\(P\) 1 en la tabla de saber-show. Es importante notar que tuvimos cuidado de no usar la letra q para denotar estos enteros. Si hubiéramos usado q nuevamente, estaríamos reclamando que el mismo entero que da\(x \cdot y = 2q + 1\) también da\(x = 2q + 1\). Es por ello que usamos m y n para los enteros\(x\) y\(y\) ya que no hay garantía que\(x\) iguale\(y\). La regla básica es usar un símbolo diferente para cada nuevo objeto que introduzcamos en una prueba. Entonces en este punto, tenemos:

• Paso\(P\) 1. Sabemos que existen enteros\(m\) y\(n\) tal que\(x = 2m + 1\) y\(y = 2n + 1\).
• Paso\(Q\) 1. Tenemos que demostrar que existe un entero\(q\) tal que\(x \cdot y = 2q + 1\).

Siempre debemos estar buscando una manera de vincular la “parte de saber” con la “parte del espectáculo”. Hay conclusiones que podemos hacer a partir del\(P\) 1, pero a medida que avanzamos, siempre debemos tener presente la forma de declaración en\(Q\) 1. La siguiente pregunta es: “¿De qué podemos concluir\(x \cdot y\) de lo que sabemos?” Una forma de responder a esto es utilizando nuestro conocimiento previo de álgebra. Es decir, primero podemos usar la sustitución para escribir\(x \cdot y = (2m + 1)(2n + 1)\). Aunque esta ecuación no prueba que\(x \cdot y\) sea impar, podemos usar álgebra para intentar reescribir el lado derecho de esta ecuación. \((2m + 1)(2n + 1)\)en forma de un entero impar para que podamos llegar al paso\(Q\) 1. Primero expandimos el lado derecho de la ecuación para obtener

\(x \cdot y = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1\)

Ahora compare el lado derecho de la última ecuación con el lado derecho de la ecuación en el paso\(Q\) 1. A veces la parte difícil en este punto es la realización que\(q\) representa algún entero y que sólo tenemos que demostrar que\(x \cdot y\) equivale a dos veces algún entero más uno. ¿Podemos ahora llegar a esa conclusión? La respuesta es sí porque podemos factorial un 2 de los tres primeros términos en el lado derecho de la ecuación y obtener

\(x \cdot y = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1\)

Ahora podemos completar la tabla mostrando el esquema de la prueba de la siguiente manera:

Paso	Conoce	Razón
\(P\)	\(x\)y\(y\) son enteros impares	Hipótesis
\(P\)1	Existen enteros\(m\) y\(n\) tal que\(x = 2m + 1\) y\(y = 2n + 1\).	Definición de un entero impar.
\(P\)2	\(xy = (2m + 1)(2n + 1)\)	Sustitución
\(P\)3	\(xy = 4mn + 2m + 2n + 1\)	Álgebra
\(P\)4	\(xy = 2(2mn + m + n) + 1\)	Álgebra
\(P\)5	\((2mn + m + n)\)es un número entero	Propiedades de cierre de los números enteros
\(Q\)1	Existe un entero\(q\) tal que\(xy = 2q + 1\)	Uso\(q = (2mn + m + n)\)
\(Q\)	\(x \cdot y\)es un número entero impar.	Definición de un entero impar

Es muy importante darnos cuenta de que sólo hemos construido un esquema de una prueba. Las pruebas matemáticas no están escritas en forma de tabla. Están escritos en forma narrativa utilizando oraciones completas y estructura de párrafo correcta, y siguen ciertas convenciones utilizadas en la escritura matemática. Además, la mayoría de las pruebas se escriben solo desde la perspectiva hacia adelante. Es decir, aunque el uso del proceso atrasado fue esencial para descubrir la prueba, cuando escribimos la prueba en forma narrativa, utilizamos el proceso hacia adelante descrito en la tabla anterior. A continuación se presenta una prueba concluida.

Teorema

Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.

Prueba

Suponemos que\(x\) y\(y\) son enteros impares y demostraremos que\(x \cdot y\) es un entero impar. Dado que\(x\) y\(y\) son impares, existen enteros\(m\) y\(n\) tales que

\(x = 2m + 1\)y\(y = 2n + 1\).

Usando álgebra, obtenemos

\(x \cdot y = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1\)

Dado que\(m\) y\(n\) son enteros y los enteros se cierran bajo suma y multiplicación, concluimos que\(2mn + m + n\) es un entero. Esto significa que se\(x \cdot y\) ha escrito en la forma\(2q + 1\) para algún número entero\(q\), y por lo tanto,\(x \cdot y\) es un número entero impar. En consecuencia, se ha comprobado que si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.

Pautas de redacción para pruebas de matemáticas

A riesgo de simplificación excesiva, se puede considerar que hacer matemáticas tiene dos etapas distintas. La primera etapa es convencerte de que has resuelto el problema o probado una conjetura. Esta etapa es creativa y es muy a menudo como se hace realmente la matemática. La segunda etapa igualmente importante es convencer a otras personas de que has resuelto el problema o probado la conjetura. Esta segunda etapa suele tener poco en común con la primera etapa en el sentido de que realmente no comunica el proceso por el cual resolviste el problema o probaste la conjetura. Sin embargo, es una parte importante del proceso de comunicación de resultados matemáticos a un público más amplio.

Una prueba matemática es un argumento convincente (dentro de los estándares aceptados de la comunidad matemática) de que una determinada afirmación matemática es necesariamente cierta. Una prueba generalmente usa razonamiento deductivo y lógica pero también contiene cierta cantidad de lenguaje ordinario (como el inglés). Una prueba matemática que escribas debería convencer a un público apropiado de que el resultado que estás demostrando es de hecho cierto. Por lo que no consideramos una prueba completa hasta que haya una prueba bien escrita. Por lo que es importante introducir algunas pautas de escritura. El comprobante anterior se redactó de acuerdo con los siguientes lineamientos básicos para la redacción de pruebas. Se darán más lineamientos de escritura en el Capítulo 3.

1. Comience con una declaración cuidadosamente redactada del teorema o resultado a probar. Esta debería ser una simple declaración declarativa del teorema o resultado. No se limite a reescribir el problema como se indica en el libro de texto o dado en un folleto. Los problemas suelen comenzar con frases como “Mostrar eso” o “Demuéstralo”. Esto debería ser reformulado como una simple declaración declarativa del teorema. Entonces salta una línea y escribe “Prueba” en cursiva o letra negrita (cuando se usa un procesador de textos). Comienza la prueba en la misma línea. Asegúrese de que todos los párrafos puedan ser fácilmente identificados. Saltarse una línea entre párrafos o sangrar cada párrafo puede lograr esto.
   
   Como ejemplo, un ejercicio en un texto podría decir: “Probar que si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^2\) es un entero impar”. Esto podría iniciarse de la siguiente manera:

   Teorema

   Si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^2\) es un entero impar.

   Prueba

   Suponemos que x es un entero impar...

2. Comience la prueba con una declaración de sus suposiciones. Sigue la declaración de tus suposiciones con una declaración de lo que probarás.

   Teorema\(\PageIndex{1}\)

   Si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^2\) es un entero impar.

   Prueba

   Suponemos que\(x\) es un entero impar y probaremos que\(x^2\) es un entero impar.

3. Useelpronombre “nosotros”. Si se usa un pronombre en una prueba, la convención habitual es usar “nosotros” en lugar de “I.” La idea es hacer hincapié en que tú y el lector están haciendo las matemáticas juntos. Ayudará a animar al lector a seguir trabajando a través de las matemáticas. Observe que iniciamos la prueba del Teorema 1.8 con “Asumimos que...”.
4. Use cursiva para variables cuando use un procesador de textos. Cuando se usa un procesador de textos para escribir matemáticas, el procesador de textos necesita ser capaz de producir los símbolos y ecuaciones matemáticas apropiados. Las matemáticas que se escriben con un procesador de textos deben parecerse a las matemáticas tipografiadas. Esto significa que la fuente cursiva se usa para las variables, la fuente en negrilla se usa para los vectores y la fuente regular se usa para términos matemáticos como los nombres de las funciones trigonométricas y logarítmicas.

   Por ejemplo, no escribimos\(sin \, x\) ni\(\mathbf {sin} \, x\). La forma correcta de tipografiar esto es\(\sin x\).

5. Mostrar ecuaciones importantes y expresiones matemáticas. Las ecuaciones y manipulaciones son a menudo una parte integral de la exposición matemática. No escribir ecuaciones, manipulaciones algebraicas o fórmulas en una columna con razones dadas en otra columna. Deben mostrarse ecuaciones y manipulaciones importantes. Esto significa que deben estar centradas con líneas en blanco antes y después de la ecuación o manipulaciones, y si el lado izquierdo de las ecuaciones no cambia, no debe repetirse. Por ejemplo,

   Usando álgebra, obtenemos
   
   \(x \cdot y = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1\)
   
   Since\(m\) y\(n\) son enteros, concluimos que....

6. Dígale al lector cuando se haya completado el comprobante. Quizás la mejor manera de hacerlo es simplemente escribir: “Esto completa la prueba”. A pesar de que pueda parecer repetitivo, una buena alternativa es terminar una prueba con una frase que indique precisamente lo que se ha probado. En cualquier caso, suele ser una buena práctica usar algún “símbolo de fin de prueba” como

Comprobación de Progreso 1.9 (Propuestas de Prueba)

Construir una tabla de know show para cada una de las siguientes proposiciones y luego escribir una prueba formal para una de las proposiciones.

1. Si\(x\) es un número entero par y\(y\) es un número entero par, entonces\(x + y\) es un número entero par.
2. Si\(x\) es un entero par y\(y\) es un entero impar, entonces\(x + y\) es un entero impar.
3. Si\(x\) es un número entero par y\(y\) es un entero impar, entonces\(x + y\) es un número entero par.

Contestar

Algunos comentarios sobre la construcción de pruebas directas

1. Cuando construimos la tabla de conocimientos previos a escribir una prueba para el Teorema 1.8, solo teníamos una respuesta para la pregunta hacia atrás y una respuesta para la pregunta hacia adelante. A menudo, puede haber más de una respuesta para estas preguntas. Por ejemplo, considere la siguiente declaración:

   Si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^2\) es un entero impar.

   La pregunta hacia atrás para esto podría ser: “¿Cómo pruebo que un entero es un entero impar?” Una forma de responder a esto es usar la definición de un entero impar, pero otra forma es usar el resultado del Teorema 1.8. Es decir, podemos probar que un entero es impar demostrando que es un producto de dos enteros impares.

   La dificultad entonces es decidir qué respuesta usar. A veces podemos decirlo observando cuidadosamente la interacción entre el proceso hacia adelante y el proceso hacia atrás. Otras veces, tal vez tengamos que trabajar con más de una respuesta posible.

2. A veces podemos usar resultados previamente probados para responder una pregunta hacia adelante o una pregunta atrasada. Este fue el caso en el ejemplo dado en Comentario (1), donde se utilizó el Teorema 1.8 para responder a una pregunta atrasada.
3. Si bien comenzamos con dos procesos separados (adelante y atrás), la clave para construir una prueba es encontrar la manera de vincular estos dos procesos. Esto puede ser difícil. Una forma de proceder es usar la porción de conocimiento de la tabla para motivar respuestas a preguntas atrasadas y usar la porción de mostrar de la tabla para motivar respuestas a preguntas hacia adelante.
4. Responder a una pregunta atrasada a veces puede ser complicado. Si el objetivo es la declaración\(Q\), debemos construir la tabla de know show para que si sabemos que\(Q\) 1 es cierto, entonces podamos concluir que eso\(Q\) es cierto. A veces es fácil responder a esto de una manera que si se sabe que\(Q\) es cierto, entonces podemos concluir que\(Q\) 1 es cierto. Por ejemplo, supongamos que el objetivo es demostrar

   \(y^2 = 4\),

   donde\(y\) es un número real. Una pregunta atrasada podría ser: “¿Cómo demostramos que el cuadrado de un número real es igual a cuatro?” Una posible respuesta es probar que el número real es igual a 2. Otra forma es demostrar que el número real es igual a 2. Esta es una pregunta atrasada apropiada, y estas son respuestas apropiadas.

   No obstante, si el objetivo es demostrar

   \(y = 2\)

   donde\(y\) está un número real, podríamos preguntar, “¿Cómo demostramos que un número real es igual a 2?” No es apropiado responder a esta pregunta con “probar que el cuadrado del número real es igual a 4”. Esto es porque si\(y^2 = 4\), entonces no es necesariamente cierto eso\(y = 2\).

5. Por último, es muy importante darse cuenta de que no todas las pruebas pueden construirse mediante el uso de una simple mesa de know show. Las pruebas se complicarán más que las que se encuentran en esta sección. El punto principal de esta sección no es la tabla de know show en sí, sino la forma de pensar sobre una prueba que se indica por una tabla de know show. En la mayoría de las pruebas, es muy importante precisar cuidadosamente qué es lo que se está asumiendo y qué es lo que estamos tratando de probar. El proceso de hacer las “preguntas atrasadas” y las “preguntas hacia adelante” es la parte importante de la mesa del know show. Es muy importante entrar en el “hábito de la mente” de trabajar hacia atrás de lo que es lo que estamos tratando de demostrar y trabajar hacia adelante desde lo que estamos asumiendo. En lugar de intentar inmediatamente escribir una prueba completa, necesitamos detenernos, pensar y hacer preguntas como

• ¿Exactamente qué es lo que estoy tratando de probar?
• ¿Cómo puedo probarlo?
• ¿Qué métodos tengo que me permitan probarlo?
• ¿Cuáles son los supuestos?
• ¿Cómo puedo usar estos supuestos para probar el resultado?

Comprobación de progreso 1.10 (Explorando una Proposición)

Construya una tabla de valores para\(3m^2 + 4m +6\) usar al menos seis enteros diferentes para\(m\). Hacer la mitad de los valores para enteros\(m\) pares y la otra mitad enteros impares. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa?

Si\(m\) es un entero impar, entonces\(3m^2 + 4m +6\) es un entero impar.

Justifica tu conclusión. Esto quiere decir que si la proposición es cierta, entonces debes escribir una prueba de la proposición. Si la proposición es falsa, debe proporcionar un ejemplo de un entero impar para el cual\(3m^2 + 4m +6\) es un número entero par.

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Comprobación de Progreso 1.11 (Construyendo y Escribiendo una Prueba)

El Teorema de Pitágoras para triángulos rectos establece que si a y b son las longitudes de las patas de un triángulo rectángulo y\(c\) es la longitud de la hipotenusa, entonces\(a^2 + b^2 = c^2\). Por ejemplo, si\(a = 5\) y\(b = 12\) son las longitudes de los dos lados de un triángulo rectángulo y si\(c\) es la longitud de la hipotenusa, entonces el\(c^2 = 5^2 + 12^2\) y\(c^2 = 169\). Dado que c es una longitud y debe ser positiva, concluimos que\(c = 13\).

Construir y proporcionar una prueba bien escrita para la siguiente proposición.

Proposición. Si\(m\) es un número real y\(m\),\(m + 1\), y\(m + 2\) son las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo, entonces\(m = 3\).

Aunque esta proposición utiliza conceptos matemáticos diferentes a los utilizados en esta sección, el proceso de construcción de una prueba para esta proposición es el mismo método de avance hacia atrás que se utilizó para construir una prueba para el Teorema 1.8. No obstante, la pregunta atrasada: “¿Cómo lo demostramos\(m = 3\)?” es simple pero puede ser difícil de responder. La idea básica es desarrollar una ecuación desde el proceso hacia adelante y mostrar que\(m = 3\) es una solución de esa ecuación.

Contestar

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Ejercicios para la Sección 1.2

1. Construir una tabla de know show para cada una de las siguientes declaraciones y luego escribir una prueba formal para una de las declaraciones.
   
   (a) Si\(m\) es un entero par, entonces\(m + 1\) es un entero impar.
   (b) Si\(m\) es un entero impar, entonces\(m + 1\) es un entero par.
2. Construir una tabla de know show para cada una de las siguientes declaraciones y luego escribir una prueba formal para una de las declaraciones.
   
   (a) Si\(x\) es un entero par y\(y\) es un entero par, entonces\(x + y\) es un entero par.
   (b) Si\(x\) es un entero par y\(y\) es un entero impar, entonces\(x + y\) es un entero impar.
   (c) Si\(x\) es un entero impar y\(y\) es un entero impar, entonces\(x + y\) es un entero par.
3. Construir una tabla de know show para cada una de las siguientes declaraciones y luego escribir una prueba formal para una de las declaraciones.
   
   (a) Si\(m\) es un entero par y\(n\) es un entero, entonces\(m \cdot n\) es un entero par.
   (b) Si\(n\) es un número entero par, entonces\(n^2\) es un número entero par.
   (c) Si\(n\) es un entero impar, entonces\(n^2\) es un entero impar.
4. Construya una tabla de know show y escriba una prueba completa para cada una de las siguientes declaraciones:
   
   (a) Si\(m\) es un entero par, entonces\(5m + 7\) es un entero impar.
   (b) Si\(m\) es un entero impar, entonces\(5m + 7\) es un entero par.
   (c) Si\(m\) y\(n\) son enteros impares, entonces\(mn + 7\) es un entero par.
5. Construya una tabla de know show y escriba una prueba completa para cada una de las siguientes declaraciones:
   
   (a) Si\(m\) es un entero par, entonces\(3m^2 + 2m + 3\) es un entero impar.
   (b) Si\(m\) es un entero impar, entonces\(3m^2 + 7m + 12\) es un entero par.
6. En esta sección, se señaló que a menudo hay más de una forma de responder a una pregunta atrasada. Por ejemplo, si la pregunta atrasada es: “¿Cómo podemos probar que dos números reales son iguales?” , una posible respuesta es demostrar que su diferencia es igual a 0. Otra posible respuesta es probar que el primero es menor o igual que el segundo y que el segundo es menor o igual que el primero
   
   (a) Dar al menos una respuesta más a la pregunta atrasada, “¿Cómo podemos probar que dos números reales son iguales?”
   b) Enumere tantas respuestas como pueda para la pregunta atrasada, “¿Cómo podemos probar que un número real es igual a cero?”
   c) Enumere tantas respuestas como pueda para la pregunta atrasada, “¿Cómo podemos probar que dos líneas son paralelas?”
   d) Enumere tantas respuestas como pueda para la pregunta atrasada, “¿Cómo podemos probar que un triángulo es isósceles?”
7. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica tus conclusiones.
   
   (a) Si\(a\),\(b\) y\(c\) son enteros, entonces\(ab + ac\) es un entero par.
   (b) Si\(b\) y\(c\) son enteros impares y\(a\) es un entero, entonces\(ab + ac\) es un número entero par.
8. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Justifica tu conclusión.
   Si\(a\) y\(b\) son números reales no negativos y\(a + b = 0\), entonces\(a = 0\).

   O bien dar un contraejemplo para demostrar que es falso o esbozar una prueba completando una tabla de know show.

9. Se dice que un entero\(a\) es un número entero de tipo 0 si existe un entero\(n\) tal que\(a = 3n\). Se dice que un entero\(a\) es un número entero de tipo 1 si existe un entero\(n\) tal que\(a = 3n + 1\). Un entero a se dice que es un número entero de tipo 2 si existe un entero\(m\) tal que\(a = 3m + 2\).
   
   (a) Dar ejemplos de al menos cuatro enteros diferentes que sean enteros de tipo 1.
   (b) Dar ejemplos de al menos cuatro enteros diferentes que sean enteros de tipo 2.
   (c) Al multiplicar pares de enteros de la lista en el Ejercicio (9a), ¿parece que la siguiente afirmación es verdadera o falsa?

   Si\(a\) y\(b\) son ambos enteros de tipo 1, entonces\(a \cdot b\) es un número entero de tipo 1.

10. Utilice las definiciones del Ejercicio (9) para ayudar a escribir una prueba para cada una de las siguientes declaraciones:
    
    (a) Si\(a\) y\(b\) son ambos enteros tipo 1, entonces\(a + b\) es un entero tipo 2.
    (b) Si\(a\) y\(b\) son ambos enteros de tipo 2, entonces\(a + b\) es un número entero de tipo 1.
    (a) Si\(a\) es un número entero de tipo 1 y\(b\) es un número entero de tipo 2, entonces\(a \cdot b\) es un número entero de tipo 2.
    (a) Si\(a\) y\(b\) son ambos enteros tipo 2, entonces\(a \cdot b\) es tipo 1 entero.
11. Vamos\(a\),\(b\), y\(c\) ser números reales con\(a \ne 0\). Las soluciones de la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) vienen dadas por la fórmula cuadrática, que establece que las soluciones son\(x1\) y\(x2\), dónde
    
    \(x_1 = \dfrac{-b + \sqrt(b^2 - 4ac)}{2a}\) y\(x_2 = \dfrac{-b - \sqrt(b^2 - 4ac)}{2a}\).
    
    (a) Demostrar que la suma de las dos soluciones de la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) es igual a\(-\dfrac{b}{a}\).
    b) Demostrar que el producto de las dos soluciones de la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) es igual a\(\dfrac{c}{a}\).
12. (a) Ver Ejercicio (11) para la fórmula cuadrática, que da las soluciones a una ecuación cuadrática. Que a, b, y c sean números reales con\(a \ne 0\). El discriminante de la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) se define como\(b^2 - 4ac\). Explique cómo usar este discriminante para determinar si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones de números reales, una solución de número real o ninguna solución de número real.
    b) Demostrar que si\(a\)\(b\), y\(c\) son números reales con\(a > 0\) y\(c < 0\), entonces una solución de la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) es un número real positivo.
    (c) Demostrar que si\(a\)\(b\),, y\(c\) son números reales con\(a \ne 0\)\(b > 0\), y\(b < 2 \sqrt(ac)\), entonces la ecuación cuadrática no\(ax^2 + bx + c = 0\) tiene soluciones de números reales.
    
    Exploraciones y actividades
13. Triples pitagóricos. Tres números naturales\(a\),\(b\), y\(c\) con\(a < b < c\) se dice que forman un triple pitagórico siempre que\(a^2 + b^2 = c^2\). Por ejemplo, 3, 4 y 5 forman un triple pitagórico desde entonces\(3^2 + 4^2 = 5^2\). El estudio de los triples pitagóricos comenzó con el desarrollo del Teorema de Pitágoras para triángulos rectos, que establece que si\(a\) y\(b\) son las longitudes de las patas de un triángulo rectángulo y\(c\) es la longitud de la hipotenusa, entonces\(a^2 + b^2 = c^2\). Por ejemplo, si las longitudes de las patas de un triángulo rectángulo son de 4 y 7 unidades, entonces\(c^2 = 4^2 + 7^2 = 63\), y la longitud de la hipotenusa debe ser\(\sqrt63\) unidades (ya que la longitud debe ser un número real positivo). Observe que 4, 7, y no\(\sqrt63\) son un triple pitagórico ya que no\(\sqrt63\) es un número natural.
    
    a) Verificar que cada una de las siguientes triples de números naturales forman un triple pitagórico.
    
    (1) 3, 4 y 5. (2) 8, 15, y 17. (3) 12, 35, y 37
    (4) 6, 8 y 10. (5) 10, 24, y 26 (6) 14, 48, y 50
    
    (b) ¿Existe un triple pitagórico de la forma\(m\)\(m + 7\), y\(m +8\), ¿dónde\(m\) está un número natural? Si la respuesta es sí, determine todas esas triples pitagóricas. Si la respuesta es no, demuestre que no existe tal triple pitagórico.
    
    c) ¿Existe un triple pitagórico de la forma\(m\), y\(m + 11\)\(m + 12\), dónde\(m\) está un número natural? Si la respuesta es sí, determine todas esas triples pitagóricas. Si la respuesta es no, demuestre que no existe tal triple pitagórico.
14. Más Trabajo con Triples Pitagóricos. En el Ejercicio (13), verificamos que cada uno de los siguientes triples de números naturales son triples pitagóricos:
    
    (1) 3, 4 y 5. (2) 8, 15 y 17. (3) 12, 35, y 37
    (4) 6, 8 y 10. (5) 10, 24 y 26 (6) 14, 48 y 50
    
    a) Centrarse en el número menos uniforme natural en cada uno de estos triples pitagóricos. \(n\)Sea este número par y encuentre m para que\(n = 2m\). Ahora intenta escribir fórmulas para los otros dos números en el triple pitagórico en términos de m. Por ejemplo, para 3, 4, y 5,\(n = 4\) y\(m = 2\), y para 8, 15, y 17,\(n = 8\) y\(m = 4\). Una vez que creas que tienes fórmulas, prueba tus resultados con\(m = 10\). Es decir, revisa para ver que tienes un triple pitagórico cuyo número par más pequeño es el 20.
    
    (b) Escribir una proposición y luego escribir una prueba de la proposición. La proposición debe estar en la forma: Si\(m\) es un número natural y\(m \ge 2\), entonces...

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