2.1: Declaraciones y Operadores Lógicos

PREVIAR ACTIVIDAD\(\PageIndex{1}\): Compound Statements

Los matemáticos a menudo desarrollan formas de construir nuevos objetos matemáticos a partir de objetos matemáticos existentes. Es posible formar nuevas declaraciones a partir de declaraciones existentes conectando las declaraciones con palabras como “y” y “o” o negando la declaración. Un operador lógico (o conectivo) en declaraciones matemáticas es una palabra o combinación de palabras que combina una o más declaraciones matemáticas para hacer una nueva declaración matemática. Una declaración compuesta es una declaración que contiene uno o más operadores. Debido a que algunos operadores se usan con tanta frecuencia en lógica y matemáticas, les damos nombres y usamos símbolos especiales para representarlos.

• La conjunción de los enunciados\(P\) y\(Q\) es el enunciado “\(P\)y\(Q\)” y su denotado por\(P \wedge Q\). El enunciado\(P \wedge Q\) es cierto sólo cuando ambos\(P\) y\(Q\) son ciertos.
• La disyunción de las declaraciones\(P\) y\(Q\) es la declaración “\(P\)o\(Q\)” y su denotada por\(P \vee Q\). El enunciado\(P \vee Q\) es cierto sólo cuando al menos uno de\(P\) o\(Q\) es cierto.
• La negación (de una declaración) del enunciado\(P\) es la declaración “no\(P\)” y se denota por\(\urcorner P\). La negación de\(P\) es verdadera sólo cuando\(P\) es falsa, y\(\urcorner P\) es falsa sólo cuando\(P\) es verdadera.
• La implicación o condicional es la declaración “Si\(P\) entonces\(Q\)” y se denota por\(P \to Q\). El enunciado\(P \to Q\) suele leerse como “\(P\)implica\(Q\), y hemos visto en la Sección 1.1 que\(P \to Q\) es falso sólo cuando\(P\) es verdadero y\(Q\) es falso.

Algunos comentarios sobre la disyunción.
Es importante entender el uso del operador “o”. En matemáticas, utilizamos el “inclusivo o” a menos que se indique lo contrario. Esto quiere decir que\(P \vee Q\) es cierto cuando ambos\(P\) y\(Q\) son ciertos y también cuando solo uno de ellos es cierto. Es decir,\(P \vee Q\) es cierto cuando al menos uno de\(P\) o\(Q\) es verdadero, o\(P \vee Q\) es falso sólo cuando ambos\(P\) y\(Q\) son falsos.

Un uso diferente de la palabra “o” es el “o exclusivo”. Para el exclusivo o, la declaración resultante es falsa cuando ambas declaraciones son verdaderas. Es decir, “\(P\)exclusivo o\(Q\)” es cierto sólo cuando exactamente uno de\(P\) o\(Q\) es cierto. En la vida cotidiana, solemos utilizar el exclusivo o. Cuando alguien dice: “En la intersección, gire a la izquierda o siga recto”, esta persona está utilizando la exclusiva o.

Algunos comentarios sobre la negación. Si bien la declaración\(\urcorner P\),, puede leerse como “No es el caso que”\(P\), a menudo hay mejores formas de decir o escribir esto en inglés. Por ejemplo, solíamos decir (o escribimos):

• La negación de la afirmación, “391 es primo” es “391 no es primo”.
• La negación de la afirmación, “\(12 < 9\)” es “”\(12 \ge 9\).

1. Para las declaraciones

   \(P\): 15 es impar\(Q\): 15 es primo
   escribir cada una de las siguientes declaraciones como oraciones en inglés y determinar

   sean verdaderas o falsas.
   (a)\(P \wedge Q\). b)\(P \vee Q\). c)\(P \wedge \urcorner Q\). d)\(\urcorner P \vee \urcorner Q\).

2. Para las declaraciones

   P: 15 es impar R: 15 < 17

   escribir cada una de las siguientes declaraciones en forma simbólica utilizando los operadores\(\wedge\)\(\vee\), y\(\urcorner\)

   a) 15\(\ge\) 17. b) 15 es impar o 15\(\ge\) 17.
   (c) 15 es par o 15 <17. d) 15 es impar y 15\(\ge\) 17.

ACTIVIDAD PREVENTA\(\PageIndex{2}\): Truth Values of Statements

Utilizaremos las siguientes dos declaraciones para toda esta Actividad de Vista Previa:

• \(P\)es la declaración “Está lloviendo”.
• \(Q\)es la declaración “Daisy está jugando al golf”.

En cada una de las siguientes cuatro partes, se asignará un valor de verdad a las declaraciones\(P\) y\(Q\). Por ejemplo, en la Pregunta (1), asumiremos que cada enunciado es verdadero. En la Pregunta (2), asumiremos que eso\(P\) es verdadero y\(Q\) es falso. En cada parte, determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:

(a) (\(P \wedge Q\)) Está lloviendo y Daisy está jugando al golf.

(b) (\(P \vee Q\)) Está lloviendo o Daisy está jugando al golf.

(c) (\(P \to Q\)) Si está lloviendo, entonces Daisy está jugando al golf.

d) (\(\urcorner P\)) No llueve.

¿Cuáles de las cuatro afirmaciones [a) a d)] son verdaderas y cuáles son falsas en cada una de las cuatro situaciones siguientes?

1. Cuando\(P\) es cierto (está lloviendo) y\(Q\) es cierto (Daisy está jugando al golf).
2. Cuando\(P\) es cierto (está lloviendo) y\(Q\) es falso (Daisy no está jugando al golf).
3. Cuando\(P\) es falso (no está lloviendo) y\(Q\) es cierto (Daisy está jugando al golf).
4. Cuando\(P\) es falso (no está lloviendo) y\(Q\) es falso (Daisy no está jugando al golf).

En las actividades de vista previa de esta sección, aprendimos sobre las afirmaciones compuestas y sus valores de verdad. Esta información se puede resumir con tablas de verdad como se muestra a continuación.

\(P\)	\(\urcorner P\)
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner P\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner P\)” style="vertical-align:middle; ">T

\(P\)	\(Q\)	\(P \wedge Q\)
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (P\ cuña Q\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (P\ cuña Q\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (P\ cuña Q\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (P\ cuña Q\)” style="vertical-align:middle; ">F

\(P\)	\(Q\)	\(P \vee Q\)
\ (P\) ">T	\ (Q\) ">T	\ (P\ vee Q\) ">T
\ (P\) ">T	\ (Q\) ">F	\ (P\ vee Q\) ">T
\ (P\) ">F	\ (Q\) ">T	\ (P\ vee Q\) ">T
\ (P\) ">F	\ (Q\) ">F	\ (P\ vee Q\) ">F

\(P\)	\(Q\)	\(P \to Q\)
\ (P\) ">T	\ (Q\) ">T	\ (P\ a Q\) ">T
\ (P\) ">T	\ (Q\) ">F	\ (P\ a Q\) ">F
\ (P\) ">F	\ (Q\) ">T	\ (P\ a Q\) ">T
\ (P\) ">F	\ (Q\) ">F	\ (P\ a Q\) ">T

En lugar de memorizar las tablas de la verdad, para muchas personas es más fácil recordar las reglas resumidas en la Tabla 2.1.

Tabla 2.1: Valores de Verdad para Conectivos Comunes

Operador	Forma Simbólica	Resumen de Truth Values
Conjunción	\(P \wedge Q\)	Cierto solo cuando ambos\(P\) y\(Q\) son ciertos
Disyunción	\(P \vee Q\)	False solo cuando ambos\(P\) y\(Q\) son falsos
Negación	\(\urcorner P\)	Valor de verdad opuesto de\(P\)
Condicional	\(P \to Q\)	Falso solo cuando\(P\) es verdadero y\(Q\) es falso

Otras formas de declaraciones condicionales

Las declaraciones condicionales son extremadamente importantes en matemáticas porque casi todos los teoremas matemáticos son (o pueden ser) declarados en forma de una declaración condicional en la siguiente forma:

Si “se cumplen ciertas condiciones”, entonces “pasa algo”.

Es imperativo que todos los estudiantes que estudian matemáticas entiendan a fondo el significado de una declaración condicional y la tabla de verdad para una declaración condicional.

También debemos ser conscientes de que en el idioma inglés, hay otras formas de expresar la declaración condicional\(P \to Q\) distintas de “Si\(P\), entonces”\(Q\). A continuación se presentan algunas formas comunes de expresar la declaración condicional\(P \to Q\) en el idioma inglés:

• Si\(P\), entonces\(Q\).
• \(P\)implica\(Q\).
• \(P\)sólo si\(Q\).
• \(Q\)si\(P\).
• Siempre que\(P\) es verdad,\(Q\) es verdad.
• \(Q\)es verdad siempre que\(P\) sea verdad.
• \(Q\)es necesario para\(P\). (Esto significa que si\(P\) es cierto, entonces\(Q\) es necesariamente cierto.)
• \(P\)es suficiente para\(Q\). (Esto quiere decir que si\(Q\) quieres ser verdad, es suficiente para demostrar que\(P\) es verdad.)

  En todos estos casos,\(P\) es la hipótesis de la declaración condicional y\(Q\) es la conclusión de la declaración condicional.

Comprobación de progreso 2.1: La declaración “Sólo si”

Recordemos que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Let\(S\) representar la siguiente declaración condicional verdadera:

Si un cuadrilátero es un cuadrado, entonces es un rectángulo.

Escribe esta declaración condicional en inglés usando

1. la palabra “siempre que”
2. la frase “sólo si”
3. la frase “es necesaria para”
4. la frase “es suficiente para”

Contestar

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Construyendo tablas de verdad

Las tablas de verdad para declaraciones compuestas se pueden construir usando las tablas de verdad para los conectivos básicos. Para ilustrar esto, construiremos una tabla de verdad para. \((P \wedge \urcorner Q) \to R\). El primer paso es determinar el número de filas necesarias.

• Para una tabla de verdad con dos declaraciones simples diferentes, se necesitan cuatro filas ya que hay cuatro combinaciones diferentes de valores de verdad para las dos declaraciones. Debemos ser consistentes con la forma en que configuramos las filas. La forma en que lo haremos en este texto es etiquetar las filas para la primera sentencia con (T, T, F, F) y las filas para la segunda sentencia con (T, F, T, F). Todas las tablas de verdad en el texto tienen este esquema.
• Para una tabla de verdad con tres declaraciones simples diferentes, se necesitan ocho filas ya que hay ocho combinaciones diferentes de valores de verdad para las tres declaraciones. Nuestro esquema estándar para este tipo de tabla de verdad se muestra en la Tabla 2.2.

El siguiente paso es determinar las columnas a utilizar. Una forma de hacerlo es trabajar hacia atrás desde la forma de la declaración dada. Pues\((P \wedge \urcorner Q) \to R\), el último paso es tratar con el operador condicional\((\to)\). Para ello, necesitamos conocer los valores de verdad de\((P \wedge \urcorner Q)\) y\(R\). Para determinar los valores de verdad para\((P \wedge \urcorner Q)\), necesitamos aplicar las reglas para el operador de conjunción\((\wedge)\) y necesitamos conocer los valores de verdad para\(P\) y\(\urcorner Q\).

El Cuadro 2.2 es una tabla de verdad terminada para\((P \wedge \urcorner Q) \to R\) con los números de escalón indicados en la parte inferior de cada columna. Los números de paso corresponden al orden en que se completaron las columnas.

Cuadro 2.2: Tabla de Verdad para\((P \wedge \urcorner Q) \to R\)

\(P\)	\(Q\)	\(R\)	\(\urcorner Q\)	\((P \wedge \urcorner Q)\)	\((P \wedge \urcorner Q) \to R\)
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">T
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">1	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">1	\ (R\)” style="vertical-align:middle; ">1	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">2	\ ((P\ cuña\ urcorner Q)\)” style="vertical-align:middle; ">3	\ ((P\ cuña\ uresquina Q)\ a R\)” style="vertical-align:middle; ">4

• Al completar la columna para\(P \wedge \urcorner Q\), recuerda que la única vez que la conjunción es verdadera es cuando ambas\(P\) y\(\urcorner Q\) son verdaderas.
• Al completar la columna para\((P \wedge \urcorner Q) \to R\), recuerde que la única vez que la declaración condicional es falsa es cuando la hipótesis\((P \wedge \urcorner Q)\) es verdadera y la conclusión,\(R\), es falsa.

La última columna ingresada es la tabla de verdad para la sentencia\((P \wedge \urcorner Q) \to R\) usando el set up en las tres primeras columnas.

Comprobación de Progreso 2.2: Construyendo Tablas de Verdad

Construye una tabla de verdad para cada una de las siguientes afirmaciones:

1. \(P \wedge \urcorner Q\)
2. \(\urcorner(P \wedge Q)\)
3. \(\urcorner P \wedge \urcorner Q\)
4. \(\urcorner P \vee \urcorner Q\)

¿Alguna de estas afirmaciones tiene la misma tabla de verdad?

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La Declaración Bicondicional

Algunos resultados matemáticos se expresan en la forma “\(P\)si y sólo si\(Q\)” o “\(P\)es necesario y suficiente para”\(Q\). Un ejemplo sería, “Un triángulo es equilátero si y sólo si sus tres ángulos interiores son congruentes”. La forma simbólica para la declaración bicondicional “\(P\)si y sólo si\(Q\)” es\(P \leftrightarrow Q\). Para determinar una tabla de verdad para una declaración bicondicional, es instructivo observar cuidadosamente la forma de la frase “\(P\)si y solo si”\(Q\). La palabra “y” sugiere que esta afirmación es una conjunción. En realidad es una conjunción de las declaraciones “\(P\)si\(Q\)” y “\(P\)sólo si”\(Q\). La forma simbólica de esta conjunción es\([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\).

Comprobación de progreso 2.3: La tabla de la verdad para la declaración bicondicional

Completa una tabla de verdad para\([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\). Utilice las siguientes columnas:\(P\)\(Q\),\(Q \to P\),\(P \to Q\), y\([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\). La última columna de esta tabla será la verdad para\(P \leftrightarrow Q\).

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Otras formas de la Declaración Bicondicional

Al igual que con la declaración condicional, existen algunas formas comunes de expresar la declaración bicondicional,\(P \leftrightarrow Q\), en el idioma inglés.

Ejemplo

• \(P\)es y sólo si\(Q\).
• \(P\)es necesario y suficiente para\(Q\).
• \(P\)implica\(Q\) e\(Q\) implica\(P\).

Tautologías y Contradicciones

Definición: tautología

Una tautología es una declaración compuesta S que es verdadera para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las declaraciones componentes de las que forman parte\(S\). Una contradicción es una declaración compuesta que es falsa para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las declaraciones componentes de las que forman parte\(S\).

Es decir, una tautología es necesariamente cierta en todas las circunstancias, y una contradicción es necesariamente falsa en todas las circunstancias.

Comprobación de Progreso 2.4 (Tautologías y Contradicciones)

Para declaraciones\(P\) y\(Q\):

1. Usa una tabla de verdad para mostrar que\((P \vee \urcorner P)\) es una tautología.
2. Usa una tabla de verdad para mostrar que\((P \wedge \urcorner P)\) es una contradicción.
3. Usa una tabla de verdad para determinar si\(P \to (P \vee P)\) es una tautología, una contradicción, ni ninguna.

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Ejercicios para la Sección 2.1

1. Supongamos que Daisy dice: “Si no llueve, entonces voy a jugar al golf”. Más tarde en el día llegas a saber que sí llovió pero Daisy seguía jugando al golf. ¿Fue verdadera o falsa la declaración de Daisy? Apoye tu conclusión.
2. Supongamos que\(P\) y\(Q\) son declaraciones para las que\(P \to Q\) es verdad y para las cuales\(\urcorner Q\) es verdad. ¿Qué conclusión (si la hay) se puede hacer sobre el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones?
   
   a)\(P\)
   b)\(P \wedge Q\)
   c)\(P \vee Q\)
3. Supongamos que\(P\) y\(Q\) son declaraciones para las que\(P \to Q\) es falso. ¿Qué conclusión (si la hay) se puede hacer sobre el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones?
   
   a)\(\urcorner P \to Q\)
   b)\(Q \to P\)
   c)\(P \ vee Q\)
4. Supongamos que\(P\) y\(Q\) son declaraciones para las cuales\(Q\)\(\urcorner P \to Q\) es falsa y es verdadera (y no se sabe si\(R\) es verdadera o falsa). ¿Qué conclusión (si la hay) se puede hacer sobre el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones?
   
   (a)\(\urcorner Q \to P\)
   (b)\(P\)
   (c)\(P \wedge R\)
   (d)\(R \to \urcorner P\)
5. Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes afirmaciones:
   
   (a)\(P \to Q\)
   (b)\(Q \to P\)
   (c)\(\urcorner P \to \urcorner Q\)
   (d)\(\urcorner Q \to \urcorner P\)
   
   ¿Alguna de estas afirmaciones tiene la misma verdad? mesa?
6. Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes afirmaciones:
   
   (a)\(P \vee \urcorner Q\)
   (b)\(\urcorner (P \vee Q)\)
   (c)\(\urcorner P \vee \urcorner Q\)
   (d)\(\urcorner P \wedge \urcorner Q\)
   
   ¿Alguna de estas afirmaciones tiene la misma verdad? mesa?
7. Construir tabla de verdad para\(P \wedge (Q \vee R)\) y\((P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\). Qué observas.
8. Supongamos que cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera.
   • Laura está en séptimo grado.
   • ≡ ╳ Laura obtuvo una A en el examen de matemáticas o Sarah obtuvo una A en la prueba de matemáticas.
   • ���Si Sarah obtuvo una A en el examen de matematicas, entonces Laura no esta en el séptimo grado.
     
     Si es posible, determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones. Explica cuidadosamente tu razonamiento.
     
     (a) Laura obtuvo una A en el examen de matemáticas.
     (b) Sarah obtuvo una A en el examen de matemáticas.
     (c) O Laura o Sarah no obtuvieron una A en el examen de matemáticas.
9. \(P\)Dejemos que signifique “el entero\(x\) es par”, y dejar\(Q\) que signifique “\(x^2\)es par”. Expresar la declaración condicional\(P \to Q\) en inglés utilizando
   
   (a) La forma “if then” de la declaración condicional
   (b) La palabra “Implica”
   (c) La forma “only if” de la declaración condicional
   (d) La frase “is necesario para” e
   ) La frase “es suficiente para”
10. Repita Ejercicio (9) para la sentencia condicional\(Q \to P\).
11. Para declaraciones\(P\) y\(Q\), usar tablas de verdad para determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es una tautología, una contradicción, o ninguna.
    (a)\(\urcorner Q \vee (P \to Q)\).
    b)\(Q \wedge (P \wedge \urcorner Q)\).
    c)\((Q \wedge P) \wedge (P \to \urcorner Q)\).
    d)\(\urcorner Q \to (P \wedge \urcorner P)\).
12. Para declaraciones\(P\),\(Q\), y\(R\):
    a) Demostrar que\([(P \to Q) \wedge P] \to Q\) es una tautología. Nota: En la lógica simbólica, esta es una forma de argumento lógico importante llamada modus ponens.
    b) Demostrar que\([(P \to Q) \wedge (Q \to R)] \to (P \to R)\) es atautología. Nota: En la lógica simbólica, esta es una forma de argumento lógico importante llamada silogismo.
    
    Exploraciones y actividades
13. Trabajar con Declaraciones Condicionales. Complete la siguiente tabla:

    Formulario en inglés	Hipótesis	Conclusión	Forma Simbólica
    Si\(P\), entonces\(Q\)	\(P\)	\(Q\)	\(P \to Q\)
    \(Q\)sólo si\(P\)	\(Q\)	\(P\)	\(Q \to P\)
    \(P\)es necesario para\(Q\)
    \(P\)es suficiente para\(Q\)
    \(Q\)es necesario para\(P\)
    \(P\)implica\(Q\)
    \(P\)sólo si\(Q\)
    \(P\)si\(Q\)
    si\(Q\) entonces\(P\)
    si\(\urcorner Q\) entonces\(\urcorner P\)
    si\(Q\), entonces\(Q \wedge R\)
    si\(P \vee Q\), entonces\(R\)

14. Trabajar con la Verdad Valores de las Declaraciones. Supongamos que\(P\) y\(Q\) son declaraciones verdaderas, eso\(U\) y\(V\) son declaraciones falsas, y eso\(W\) es una declaración y no se sabe si\(W\) es verdadera o falsa.
    
    ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles son falsas y para qué afirmaciones no es posible determinar si es verdadera o falsa? Justifica tus conclusiones.
    
    (a)\((P \vee Q) \vee (U \wedge W)\) (f)\((\urcorner P \vee \urcorner U) \wedge (Q \vee \urcorner V)\)
    (b)\(P \wedge (Q \to W)\) (g)\((P \wedge \urcorner Q) \wedge (U \vee W)\)
    (c)\(P \wedge (W \to Q)\) (h)\((P \vee \urcorner Q) \to (U \wedge W)\)
    (d)\(W \to (P \wedge U)\) (i)\((P \vee W) \to (U \wedge W)\)
    (e)\(W \to (P \wedge \urcorner U)\) (j)\((U \wedge \urcorner V) \to (P \wedge W)\)

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