2.2: Declaraciones lógicamente equivalentes

Vista previa de la actividad\(\PageIndex{1}\): Logically Equivalent Statements

En los Ejercicios (5) y (6) de la Sección 2.1, observamos situaciones en las que dos afirmaciones diferentes tienen las mismas tablas de verdad. Básicamente, esto significa que estas declaraciones son equivalentes, y hacemos la siguiente definición:

Definición

Dos expresiones son lógicamente equivalentes siempre que tengan el mismo valor de verdad para todas las combinaciones posibles de valores de verdad para todas las variables que aparecen en las dos expresiones. En este caso, escribimos\(X \equiv Y\) y decimos eso\(X\) y\(Y\) somos lógicamente equivalentes.

1. Tablas completas de verdad para\(\urcorner (P \wedge Q)\) y\(\urcorner P \vee \urcorner Q\).
2. ¿Son las expresiones\(\urcorner (P \wedge Q)\) y\(\urcorner P \vee \urcorner Q\) lógicamente equivalentes?
3. Supongamos que la afirmación “Voy a jugar al golf y voy a cortar el césped” es falsa. Entonces su negación es cierta. Escribir la negación de esta afirmación en forma de disyunción. ¿Tiene sentido esto?
   
   ¡A veces realmente usamos el razonamiento lógico en nuestra vida cotidiana! Quizás se pueda imaginar a un padre haciendo las siguientes dos declaraciones:
   
   Declaración 1. Si no limpias tu habitación, entonces no puedes ver la televisión.
   Declaración 2. Limpia tu habitación o no puedes ver la televisión.
4. Deja\(P\) ser “no limpias tu habitación”, y deja\(Q\) ser “no puedes ver la televisión”. Utilízalos para traducir la Declaración 1 y la Declaración 2 a formas simbólicas.
5. Construye una tabla de verdad para cada una de las expresiones que determinaste en la Parte (4). ¿Las expresiones son lógicamente equivalentes?
6. Supongamos que la Declaración 1 y la Declaración 2 son falsas. En este caso, ¿cuál es el valor de la verdad\(P\) y cuál es el valor de la verdad\(Q\)? Ahora bien, escribir una verdadera declaración en forma simbólica que sea una conjunción e implique\(P\) y\(Q\).
7. Escriba una tabla de verdad para la declaración (conjunción) en la Parte (6) y compárela con una tabla de verdad para\(\urcorner (P \to Q)\). ¿Qué observas?

Vista previa de la actividad\(\PageIndex{2}\): Converse and Contrapositive

Ahora definimos dos sentencias condicionales importantes que están asociadas con una declaración condicional dada.

Definición

Si\(P\) y\(Q\) son declaraciones, entonces

• Lo contrario de la declaración condicional\(P \to Q\) es la declaración condicional\(Q \to P\).
• El contrapositivo de la declaración condicional\(P \to Q\) es la declaración condicional\(\urcorner Q \to \urcorner P\).

1. Para lo siguiente, la variable x representa un número real. Etiquetar cada una de las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas.
   (a) Si\(x = 3\), entonces\(x^2 = 9\).
   b) Si\(x^2 = 9\), entonces\(x = 3\).
   (c) Si\(x^2 \ne 9\), entonces\(x \ne 3\).
   d) Si\(x \ne 3\), entonces\(x^2 \ne 9\).
2. ¿Qué declaración en la lista de declaraciones condicionales de la Parte (1) es la Conversación de Declaración (1a)? ¿Cuál es el contrapositivo de la Declaración (1a)?
3. Completar tablas de verdad apropiadas para mostrar que
   \(P \to Q\) es lógicamente equivalente a su contrapositivo\(\urcorner Q \to \urcorner P\).
   \(P \to Q\)no es lógicamente equivalente a su contrario\(Q \to P\)

En Preview Activity\(\PageIndex{1}\), introdujimos el concepto de expresiones lógicamente equivalentes y la notación\(X \equiv Y\) para indicar que las declaraciones\(X\) y\(Y\) son lógicamente equivalentes. El siguiente teorema da dos importantes equivalencias lógicas. A veces se les conoce como Leyes de De Morgan.

Teorema 2.5: Las leyes de De Morgan

Para declaraciones\(P\) y\(Q\),

• El enunciado\(\urcorner (P \wedge Q)\) es lógicamente equivalente a\(\urcorner P \vee \urcorner Q\). Esto se puede escribir como\(\urcorner (P \wedge Q) \equiv \urcorner P \vee \urcorner Q\).
• El enunciado\(\urcorner (P \vee Q)\) es lógicamente equivalente a\(\urcorner P \wedge \urcorner Q\). Esto se puede escribir como\(\urcorner (P \vee Q) \equiv \urcorner P \wedge \urcorner Q\).

Prueba

La primera equivalencia en Teorema 2.5 se estableció en Actividad Previa\(\PageIndex{1}\). En el Cuadro 2.3 se establece la segunda equivalencia.

Tabla 2.3: Tabla de la verdad para una de las leyes de De Morgan

\(P\)	\(Q\)	\(P \vee Q\)	\(\urcorner (P \vee Q)\)	\(\urcorner P\)	\(\urcorner Q\)	\(\urcorner (P \vee Q) \equiv \urcorner P \wedge \urcorner Q\)
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (P\ vee Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urcorner P\ cuña\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (P\ vee Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urcorner P\ cuña\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (P\ vee Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urcorner P\ cuña\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">F
\ (P\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (P\ vee Q\)” style="vertical-align:middle; ">F	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner P\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urcorner P\ cuña\ urcorner Q\)” style="vertical-align:middle; ">T

Es posible desarrollar y declarar varias equivalencias lógicas diferentes en este momento. No obstante, nos limitaremos a lo que se considera que son algunos de los más importantes. Dado que muchas declaraciones matemáticas se escriben en forma de declaraciones condicionales, las equivalencias lógicas relacionadas con las declaraciones condicionales son bastante importantes.

Equivalencias lógicas relacionadas con sentencias condicionales

Las dos primeras equivalencias lógicas en el siguiente teorema se establecieron en Actividad Previa\(\PageIndex{1}\), y la tercera equivalencia lógica se estableció en Actividad de Vista previa\(\PageIndex{2}\).

Teorema 2.6

Para declaraciones\(P\) y\(Q\),

1. La sentencia condicional\(P \to Q\) es lógicamente equivalente a\(\urcorner P \vee Q\).
2. El enunciado\(\urcorner (P \to Q)\) es lógicamente equivalente a\(P \wedge \urcorner Q\).
3. El enunciado condicional\(P \to Q\) es lógicamente equivalente a su contrapositivo\(\urcorner Q \to \urcorner P\).

La negación de una declaración condicional

La equivalencia lógica\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\) es interesante porque nos muestra que la negación de una declaración condicional no es otra declaración condicional. La negación de una declaración condicional puede escribirse en forma de conjunción. Entonces, ¿qué significa decir que la declaración condicional

Si no limpias tu habitación, entonces no puedes ver la televisión,

¿es falso? Para responder a esto, podemos usar la equivalencia lógica\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\). La idea es que si\(P \to Q\) es falso, entonces su negación debe ser cierta. Entonces la negación de esto puede escribirse como

No limpias tu habitación y puedes ver televisión.

Para otro ejemplo, considere la siguiente declaración condicional:

Si\(-5 < -3\), entonces\((-5)^2 < (-3)^2\).

Esta afirmación condicional es falsa ya que su hipótesis es verdadera y su conclusión es falsa. En consecuencia, su negación debe ser cierta. Su negación no es una declaración condicional. La negación se puede escribir en forma de conjunción mediante el uso de la equivalencia lógica\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\). Entonces, la negación puede escribirse de la siguiente manera:

\(5 < 3\)y\(\urcorner ((-5)^2 < (-3)^2)\).

No obstante, la segunda parte de esta conjunción puede escribirse de una manera más sencilla al señalar que “no menos que” significa lo mismo que “mayor que o igual a”. Entonces usamos esto para escribir la negación de la declaración condicional original de la siguiente manera:

\(5 < 3\)y\((-5)^2 \ge (-3)^2\).

Esta conjunción es cierta ya que cada una de las declaraciones individuales en la conjunción es verdadera.

Otro método para establecer equivalencias lógicas

Hemos visto que muchas veces es posible utilizar una tabla de verdad para establecer una equivalencia lógica. Sin embargo, también es posible probar una equivalencia lógica utilizando una secuencia de equivalencias lógicas previamente establecidas. Por ejemplo,

• \(P \to Q\)es lógicamente equivalente a\(\urcorner P \vee Q\). Entonces
• \(\urcorner (P \to Q)\)es lógicamente equivalente a\(\urcorner (\urcorner P \vee Q)\).
• De ahí que por una de las Leyes de De Morgan (Teorema 2.5),\(\urcorner (P \to Q)\) es lógicamente equivalente a\(\urcorner (\urcorner P) \wedge \urcorner Q\).
• Esto significa que\(\urcorner (P \to Q)\) es lógicamente equivalente a\(P \wedge \urcorner Q\).

El último paso utilizó el hecho de que\(\urcorner (\urcorner P)\) es lógicamente equivalente a\(P\).

A la hora de probar teoremas en matemáticas, muchas veces es importante poder decidir si dos expresiones son lógicamente equivalentes. A veces, cuando intentamos probar un teorema, podemos no tener éxito en desarrollar una prueba para la declaración original del teorema. No obstante, en algunos casos, es posible probar una declaración equivalente. Saber que las declaraciones son equivalentes nos dice que si probamos una, entonces también hemos probado la otra. De hecho, una vez que conocemos el valor de verdad de una declaración, entonces conocemos el valor de verdad de cualquier otra afirmación lógicamente equivalente. Esto se ilustra en el Avance Check 2.7.

Comprobación de progreso 2.7 (Trabajando con una equivalencia lógica)

En la Sección 2.1, construimos una tabla de verdad para\((P \wedge \urcorner Q) \to R\).

1. Aunque es posible usar tablas de verdad para mostrar que\(P \to (Q \vee R)\) es lógicamente equivalente a\(P \wedge \urcorner Q) \to R\), en su lugar usamos equivalencias lógicas previamente comprobadas para probar esta equivalencia lógica. En este caso, puede ser más fácil comenzar a trabajar con él\(P \wedge \urcorner Q) \to R\). Empezar con
   
   \(P \wedge \urcorner Q) \to R \equiv \urcorner (P \wedge \urcorner Q) \vee R\),
   
   lo que se justifica por la equivalencia lógica establecida en la Parte (5) de Vista previa Actividad 1. Continuar usando una de las leyes de De Morgan sobre\(\urcorner (P \wedge \urcorner Q)\).
2. Que a y b sean números enteros. Supongamos que estamos tratando de probar lo siguiente:
   
   Si 3 es un factor de\(a \cdot b\), entonces 3 es un factor de\(a\) o 3 es un factor de\(b\).
   
   Explique por qué habremos probado esta afirmación si demostramos lo siguiente:
   
   Si 3 es un factor de\(a \cdot b\) y 3 no es un factor de\(a\), entonces 3 es un factor de\(b\).

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Como veremos, muchas veces es difícil construir una prueba directa para una declaración condicional de la forma\(P \to (Q \vee R)\). La equivalencia lógica en Progress Check 2.7 nos da otra forma de intentar probar una declaración del formulario\(P \to (Q \vee R)\). La ventaja de la forma equivalente,\(P \wedge \urcorner Q) \to R\), es que tenemos una suposición adicional,\(\urcorner Q\), en la hipótesis. Esto nos da más información con la que trabajar.

El teorema 2.8 establece algunas de las equivalencias lógicas más utilizadas al escribir pruebas matemáticas.

Teorema 2.8: equivalencias lógicas importantes

Para declaración\(P\),\(Q\), y\(R\),

Leyes de De Morgan\(\urcorner (P \wedge Q) \equiv \urcorner P \vee \urcorner Q\).
\(\urcorner (P \vee Q) \equiv \urcorner P \wedge \urcorner Q\).

Declaración Condicional. \(P \to Q \equiv \urcorner Q \to \urcorner P\)(contrapositivo)
\(P \to Q \equiv \urcorner P \vee Q\)
\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\)

Declaración Bicondicional\((P leftrightarrow Q) \equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P)\)

Doble negación\(\urcorner (\urcorner P) \equiv P\)

Leyes Distributivas\(P \vee (Q \wedge R) \equiv (P \vee Q) \wedge (P \vee R)\)
\(P \wedge (Q \vee R) \equiv (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\)

Condicionales condisyunciones\(P \to (Q \vee R) \equiv (P \wedge \urcorner Q) \to R\)
\((P \vee Q) \to R \equiv (P \to R) \wedge (Q \to R)\)

Ya hemos establecido muchas de estas equivalencias. Otros se establecerán en los ejercicios.

Ejercicios para la Sección 2.2

1. Escribir lo contrario y contrapositivo de cada una de las siguientes declaraciones condicionales.
   (a) Si\(a = 5\), entonces\(a^2 = 25\).
   (b) Si no llueve, entonces Laura está jugando al golf.
   (c) Si\(a \ne b\), entonces\(a^4 \ne b^4\).
   (d) Si\(a\) es un entero impar, entonces\(3a\) es un entero impar.
2. Escribir cada una de las declaraciones condicionales en el Ejercicio (1) como una disyunción lógicamente equiva- prestada, y escribir la negación de cada una de las declaraciones condicionales en el Ejercicio (1) como una conjunción.
3. Escribir una negación útil de cada una de las siguientes afirmaciones. No deje una negación como prefijo de una declaración. Por ejemplo, escribiríamos la negación de “Voy a jugar al golf y cortaré el césped” como “No voy a jugar al golf o no voy a cortar el césped”.
   (a) Ganaremos el primer juego y ganaremos el segundo juego.
   (b) Perderán el primer juego o perderán el segundo juego.
   (c) Si siegas el césped, entonces te pagaré $20.
   (d) Si no ganamos el primer juego, entonces no jugaremos un segundo juego.
   (e) Lavaré el auto o cortaré el césped.
   (f) Si egresas de la universidad, entonces conseguirás un empleo o irás a la escuela de posgrado.
   (g) Si juego tenis, entonces lavaré el auto o lavaré los platos.
   (h) Si limpias tu habitación o lavas los platillos, entonces puedes ir a ver una película.
   (i) Hace calor afuera y si no llueve, entonces voy a jugar al golf.
4. Utilice tablas de verdad para establecer cada una de las siguientes equivalencias lógicas que tratan con declaraciones bicondicionales:
   (a)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P)\)
   (b)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (Q \leftrightarrow P)\)
   (c)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (\urcorner P \leftrightarrow \urcorner Q)\)
5. Utilizar tablas de verdad para probar cada una de las leyes distributivas del Teorema 2.8.
   
   a\(P \vee (Q \wedge R) \equiv (P \vee Q) \wedge (P \vee R)\)
   ) b\(P \wedge (Q \vee R) \equiv (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\)
6. Utilice tablas de verdad para probar la siguiente equivalencia lógica del Teorema 2.8:
   
   \([(P \vee Q) \to R] \equiv (P \to R) \wedge (Q \to R)\).
7. Utilizar equivalencias lógicas previamente comprobadas para probar cada una de las siguientes equivalencias lógicas sobre condicionales con conjunciones:
   
   (a)\([(P \wedge Q) \to R] \equiv (P \to R) \vee (Q \to R)\)
   (b)\([P \to (Q \wedge R)] \equiv (P \to R) \wedge (P \to R)\)
8. Si\(P\) y\(Q\) son declaraciones, ¿la declaración es\((P \vee Q) \wedge \urcorner (P \wedge Q)\) lógicamente equivalente a la declaración\((P \wedge \urcorner Q) \vee (Q \wedge \urcorner P)\)? Justifica tu conclusión.
9. Utilizar equivalencias lógicas previamente comprobadas para probar cada una de las siguientes equivalencias lógicas: (a)\([\urcorner P \to (Q \wedge \urcorner Q)] \equiv P\)
   (b)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (\urcorner P \vee Q) \wedge (\urcorner Q \vee p)\)
   (c)\(\urcorner (P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge \urcorner Q) \vee (Q \wedge \urcorner P)\)
   (d)\((P \to Q) \to R \equiv (P \wedge \urcorner Q) \vee R\)
   (e)\((P \to Q) \to R \equiv (\urcorner P \to R) \wedge (Q \to R)\)
   (f)\([(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv [(\urcorner R \wedge \urcorner S) \to (\urcorner P \vee \urcorner Q)]\)
   g\([(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv [(P \wedge Q \wedge \urcorner R) \to S]\)
   ) h\([(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv (\urcorner P \vee \urcorner Q \vee R \vee S)\)
   ) i\(\urcorner [(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv (P \wedge Q \wedge \urcorner R \wedge \urcorner S)\)
10. Dejar a ser un número real y dejar que f sea una función de valor real definida en un intervalo que contiene\(x = a\). Considere la siguiente declaración condicional:
    
    Si\(f\) es diferenciable en\(x = a\), entonces\(f\) es continuo en\(x = a\).

    ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones tienen el mismo significado que esta afirmación condicional y cuáles son las negaciones de esta afirmación condicional?

    Nota: Esto no es preguntar qué afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Se trata de preguntar qué declaraciones son lógicamente equivalentes a la declaración dada. Podría ser útil dejar que P represente la hipótesis de la declaración dada,\(Q\) representar la conclusión y luego determinar una representación simbólica para cada declaración. En lugar de usar tablas de verdad, trata de usar equivalencias lógicas ya establecidas para justificar tus conclusiones.
    
    (a) Si\(f\) es continuo en\(x = a\), entonces\(f\) es diferenciable en\(x = a\).
    (b) Si no\(f\) es diferenciable en\(x = a\), entonces no\(f\) es continuo en\(x = a\).
    (c) Si no\(f\) es continuo en\(x = a\), entonces no\(f\) es diferenciable at\(x = a\).
    (d) no\(f\) es diferenciable en\(x = a\) o\(f\) es continuo en\(x = a\).
    (e) no\(f\) es continuo en\(x = a\) o\(f\) es diferenciable en\(x = a\).
    (f)\(f\) es diferenciable en\(x = a\) o no\(f\) es continuo en\(x = a\).

11. Dejar\(a\),\(b\), y\(c\) ser enteros. Considera la siguiente declaración condicional:
    
    Si\(a\) divide\(bc\), entonces\(a\) divide\(b\) o\(a\) divide\(c\).

    ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones tienen el mismo significado que esta afirmación condicional y cuáles son las negaciones de esta afirmación condicional?

    También se aplica a este ejercicio la nota para Ejercicio (10).
    
    (a) Si\(a\) divide\(b\) o\(a\) divide\(c\), entonces\(a\) divide\(bc\).
    b) Si\(a\) no divide\(b\) o\(a\) no divide\(c\), entonces\(a\) no divide\(bc\).
    c)\(a\) divide\(bc\),\(a\) no divide\(b\) y\(a\) no divide\(c\).
    d) Si\(a\) no divide\(b\) y\(a\) no divide\(c\), entonces\(a\) no divide\(bc\).
    e)\(a\) no divide,\(a\) divide\(bc\)\(b\) o\(a\) divide\(c\).
    f) Si\(a\) divide\(bc\) y\(a\) no divide\(c\), entonces\(a\) divide\(b\).
    g) Si\(a\) divide\(bc\) o\(a\) no divide\(b\), entonces\(a\) divide\(c\).

12. \(x\)Déjese ser un número real. Considera la siguiente declaración condicional:
    
    Si\(x^3 - x = 2x^2 +6\), entonces\(x = -2\) o\(x = 3\).
    
    ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones tienen el mismo significado que esta afirmación condicional y cuáles son las negaciones de esta afirmación condicional? Explique cada conclusión. (Ver la nota en las instrucciones para Ejercicio (10).)
    
    (a) Si\(x \ne -2\) y\(x \ne 3\), entonces\(x^3 - x \ne 2x^2 +6\).
    b) Si\(x = -2\) o\(x = 3\), entonces\(x^3 - x = 2x^2 +6\).
    (c) Si\(x \ne -2\) o\(x \ne 3\), entonces\(x^3 - x \ne 2x^2 +6\).
    d) Si\(x^3 - x = 2x^2 +6\) y\(x \ne -2\), entonces\(x = 3\).
    (e) Si\(x^3 - x = 2x^2 +6\) o\(x \ne -2\), entonces\(x = 3\).
    f)\(x^3 - x = 2x^2 +6\)\(x \ne -2\), y\(x \ne 3\).
    g)\(x^3 - x \ne 2x^2 +6\) o\(x = -2\) o\(x = 3\).
    
    Exploraciones y actividades
13. Trabajar con una Equivalencia Lógica. Supongamos que estamos tratando de probar lo siguiente para los enteros\(x\) y\(y\):
    
    Si\(x \cdot y\) es par, entonces\(x\) es par o\(y\) es par.

    Notamos que podemos escribir esta declaración en la siguiente forma simbólica:

    \(P \to (Q \vee R)\),
    
    donde\(P\) es “\(x \cdot y\)es par”,\(Q\) es “\(x\)es par” y\(R\) es “\(y\)es par”.
    
    (a) Escribir la forma simbólica del contrapositivo de\(P \to (Q \vee R)\). Luego usa una de las Leyes de De Morgan (Teorema 2.5) para reescribir la hipótesis de esta afirmación condicional.
    (b) Utilice el resultado de la Parte (13a) para explicar por qué la sentencia dada es lógicamente equivalente a la siguiente declaración:
    
    Si\(x\) es impar y\(y\) es impar, entonces\(x \cdot y\) es impar.
    
    Las dos afirmaciones en esta actividad son lógicamente equivalentes. Ahora tenemos la opción de probar cualquiera de estas declaraciones. Si probamos uno, probamos el otro, o si demostramos que uno es falso, el otro también es falso. El segundo enunciado es el Teorema 1.8, el cual fue probado en la Sección 1.2.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.