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# 9.S: Conjuntos finitos e infinitos (Resumen)

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Definiciones importantes

• Conjuntos equivalentes, página 452
• Conjuntos con la misma cardinalidad, página 452
• Conjunto finito, página 455
• Conjunto infinito, página 455
• Cardinalidad de un conjunto finito, página 455
• Cardenalidad de$$\mathbb{N}$$, página 466
• $$\aleph_0$$, página 466
• Conjunto infinitamente contable, página 466
• Conjunto denumerable, página 466
• Conjunto incontable, página 466

Teoremas y Resultados Importantes sobre Conjuntos Finitos e Infinitos

• Teorema 9.3. Cualquier conjunto equivalente a un conjunto finito no vacío$$A$$ es un conjunto finito y tiene la misma cardinalidad que$$A$$.
• Teorema 9.6. Si$$S$$ es un conjunto finito y$$A$$ es un subconjunto de$$S$$, entonces$$A$$ es finito y$$\text{card}(A) \le \text{card}(S)$$.
• Corolario 9.8. Un conjunto finito no es equivalente a ninguno de sus subconjuntos adecuados.
• Teorema 9.9 [El principio del encasillamiento]. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos finitos. Si$$\text{card}(A) > \text{card}(B)$$, entonces cualquier función no$$f: A \to B$$ es una inyección.
• Teorema 9.10. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos.

1. Si$$A$$ es infinito y$$A \thickapprox B$$, entonces$$B$$ es infinito.
2. Si$$A$$ es infinito y$$A \subseteq B$$, entonces$$B$$ es infinito.
• Teorema 9.13. El conjunto$$\mathbb{Z}$$ de enteros es contablemente infinito, y así tarjeta$$(\mathbb{Z}) = \aleph_0$$.
• Teorema 9.14. El conjunto de números racionales positivos es contablemente infinito.
• Teorema 9.16. Si$$A$$ es un conjunto contablemente infinito y$$B$$ es un conjunto finito, entonces$$A \cup B$$ es un conjunto infinitamente contable.
• Teorema 9.17. Si$$A$$ y$$B$$ son conjuntos disconjuntos contablemente infinitos, entonces$$A \cup B$$ es un conjunto contablemente infinito.
• Teorema 9.18. El conjunto$$\mathbb{Q}$$ de todos los números racionales es contablemente infinito.
• Teorema 9.19. Cada subconjunto de los números naturales es contable.
• Corolario 9.20. Cada subconjunto de un conjunto contable es contable.
• Teorema 9.22. El intervalo abierto (0, 1) es un conjunto incontable.
• Teorema 9.24. Dejar$$a$$ y$$b$$ ser números reales con$$a < b$$. El intervalo abierto$$(a, b)$$ es incontable y tiene cardinalidad$$c$$.
• Teorema 9.26. El conjunto de números reales$$\mathbb{R}$$ es incontable y tiene cardinalidad$$c$$.
• Teorema 9.27 [Teorema de Cantor]. Por cada conjunto$$A$$,$$A$$ y$$\mathcal{P}(A)$$ no tienen la misma cardinalidad.
• Corolario 9.28. $$\mathcal{P}(\mathbb{N})$$es un conjunto infinito que no es contablemente infinito.
• Teorema 9.29 [Cantor-Schr$$\ddot{0}$$ der-Bernstein]. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos. Si existen inyecciones$$f_1: A \to B$$ y$$f_2: B \to A$$, entonces$$A \thickapprox B$$.

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