9.S: Conjuntos finitos e infinitos (Resumen)
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Definiciones importantes
- Conjuntos equivalentes, página 452
- Conjuntos con la misma cardinalidad, página 452
- Conjunto finito, página 455
- Conjunto infinito, página 455
- Cardinalidad de un conjunto finito, página 455
- Cardenalidad de\(\mathbb{N}\), página 466
- \(\aleph_0\), página 466
- Conjunto infinitamente contable, página 466
- Conjunto denumerable, página 466
- Conjunto incontable, página 466
Teoremas y Resultados Importantes sobre Conjuntos Finitos e Infinitos
- Teorema 9.3. Cualquier conjunto equivalente a un conjunto finito no vacío\(A\) es un conjunto finito y tiene la misma cardinalidad que\(A\).
- Teorema 9.6. Si\(S\) es un conjunto finito y\(A\) es un subconjunto de\(S\), entonces\(A\) es finito y\(\text{card}(A) \le \text{card}(S)\).
- Corolario 9.8. Un conjunto finito no es equivalente a ninguno de sus subconjuntos adecuados.
- Teorema 9.9 [El principio del encasillamiento]. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos finitos. Si\(\text{card}(A) > \text{card}(B)\), entonces cualquier función no\(f: A \to B\) es una inyección.
- Teorema 9.10. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos.
1. Si\(A\) es infinito y\(A \thickapprox B\), entonces\(B\) es infinito.
2. Si\(A\) es infinito y\(A \subseteq B\), entonces\(B\) es infinito. - Teorema 9.13. El conjunto\(\mathbb{Z}\) de enteros es contablemente infinito, y así tarjeta\((\mathbb{Z}) = \aleph_0\).
- Teorema 9.14. El conjunto de números racionales positivos es contablemente infinito.
- Teorema 9.16. Si\(A\) es un conjunto contablemente infinito y\(B\) es un conjunto finito, entonces\(A \cup B\) es un conjunto infinitamente contable.
- Teorema 9.17. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos disconjuntos contablemente infinitos, entonces\(A \cup B\) es un conjunto contablemente infinito.
- Teorema 9.18. El conjunto\(\mathbb{Q}\) de todos los números racionales es contablemente infinito.
- Teorema 9.19. Cada subconjunto de los números naturales es contable.
- Corolario 9.20. Cada subconjunto de un conjunto contable es contable.
- Teorema 9.22. El intervalo abierto (0, 1) es un conjunto incontable.
- Teorema 9.24. Dejar\(a\) y\(b\) ser números reales con\(a < b\). El intervalo abierto\((a, b)\) es incontable y tiene cardinalidad\(c\).
- Teorema 9.26. El conjunto de números reales\(\mathbb{R}\) es incontable y tiene cardinalidad\(c\).
- Teorema 9.27 [Teorema de Cantor]. Por cada conjunto\(A\),\(A\) y\(\mathcal{P}(A)\) no tienen la misma cardinalidad.
- Corolario 9.28. \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\)es un conjunto infinito que no es contablemente infinito.
- Teorema 9.29 [Cantor-Schr\(\ddot{0}\) der-Bernstein]. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Si existen inyecciones\(f_1: A \to B\) y\(f_2: B \to A\), entonces\(A \thickapprox B\).