4.2: Contención
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Hay dos nociones de estar “dentro” de un conjunto. Una cosa puede ser un elemento de un conjunto, o puede estar contenida como un subconjunto. Distinguir estas dos nociones de inclusión es esencial. Una dificultad que a veces complica las cosas es que un conjunto puede contener otros conjuntos como elementos. Por ejemplo, como vimos en la sección anterior, los elementos de un conjunto de poder son ellos mismos conjuntos.
Un conjunto\(A\) es un subconjunto de otro conjunto\(B\) si todos los elementos de\(A\)'s también están en\(B\). La terminología superconjunto se utiliza para referirse\(B\) en esta situación, ya que en “El conjunto de todas las funciones de valor real en una variable real es un superconjunto de las funciones polinómicas”. La relación subconjunto/superconjunto se indica con un símbolo que debe considerarse como una versión estilizada del signo menor o igual, cuando\(A\) es un subconjunto de\(B\) escribimos\(A ⊆ B\).
Decimos que\(A\) es un subconjunto propio de\(B\) si\(B\) tiene algunos elementos que no están en\(A\), y en esta situación escribimos\(A ⊂ B\) o si realmente queremos enfatizar el hecho de que los conjuntos no son iguales podemos escribir\(A \nsubseteq B\). Por cierto, si quieres enfatizar la relación de superconjunto, todos estos símbolos se pueden dar la vuelta. Entonces por ejemplo\(A ⊇ B\) significa que\(A\) es un superconjunto de\(B\) aunque potencialmente podrían ser iguales.
Como hemos visto anteriormente, el símbolo\(∈\) se usa entre un elemento de un conjunto y el conjunto en el que se encuentra. El siguiente ejercicio tiene por objeto aclarar la distinción entre\(∈\) y\(⊆\).
Vamos\(A = 1, 2, \{1\}, \{a, b\}\). ¿Cuáles de las siguientes son ciertas?
- \(\{a, b\} ⊆ A.\)
- \(\{a, b\} ∈ A.\)
- \(a ∈ A.\)
- \(1 ∈ A.\)
- \(1 ⊆ A.\)
- \(\{1\} ⊆ A.\)
- \(\{1\} ∈ A.\)
- \(\{2\} ∈ A.\)
- \(\{2\} ⊆ A.\)
- \(\{\{1\}\} ⊆ A.\)
Otra perspectiva que puede ayudar a aclarar la distinción entre\(∈\) y\(⊆\) es considerar a qué corresponden en Lógica. El símbolo “elemento de”\(∈\) se utiliza para construir oraciones abiertas que encarnan la pregunta de pertenencia, por lo que corresponde a oraciones simples en Lógica. El símbolo de “establecer contención”\(⊆\) va entre dos conjuntos y así lo que sea que corresponda en Lógica debería ser algo que apropiadamente pueda insertarse entre dos frases. Repasemos un breve ejemplo para averiguar cuál podría ser eso. Para mantener las cosas simples trabajaremos dentro del conjunto universal\(U = \{1, 2, 3, . . . 50\}\). Dejar\(T\) ser el subconjunto de\(U\) que consiste en aquellos números que son divisibles por\(10\), y dejar\(F\) ser los que son divisibles por\(5\).
\(T = \{10, 20, 30, 40, 50\} \\ F = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}\)
Ojalá, quede claro que se\(⊆\) puede insertar entre estos dos conjuntos así:\(T ⊆ F\). Por otro lado, podemos reexpresar los conjuntos\(T\) y\(F\) usar la notación set-builder para ver claramente cuáles son sus preguntas de membresía.
\(T = \{x ∈ U \;10|x\} \\ F = \{x ∈ U \;5|x\}\)
¿Qué operador lógico encaja muy bien entre\(10 |x\) y\(5|x\)? Bueno, claro, es la flecha de implicación. Es fácil verificar eso\(10 | x \implies 5 | x\), y es igualmente fácil notar que la otra dirección no funciona,\(5 |x\);\(10 |x\) — por ejemplo,\(5\) va uniformemente hacia\(15\), pero\(10\) no lo hace.
El enunciado general es: si\(A\) y\(B\) son conjuntos,\(M_A(x)\) y\(M_B(x)\) son sus respectivas preguntas de membresía, entonces\(A ⊆ B\) corresponde precisamente a\(∀x ∈ U\),\(M_A(x) \implies M_B(x)\).
Ahora a mucha gente (¡yo incluido!) esto se ve gracioso al principio,\(⊆\) en la teoría de conjuntos corresponde a\(\implies\) en Lógica. Parece que ambos símbolos son flechas de una especie, ¡pero apuntan en direcciones opuestas! Personalmente, resuelvo la aparente discrepancia pensando en la “fuerza” de los predicados lógicos. Un predicado es más fuerte que otro si pone más condiciones a los elementos que lo harían verdad. Por ejemplo, “\(x\)es doblemente par” es más fuerte que “\(x\)es (meramente) par”. Ahora, la afirmación más fuerte implica a los más débiles (asumiendo por supuesto que son versiones cada vez más fuertes de la misma idea). Si un número es doblemente par (es decir, divisible por\(4\)) entonces ciertamente es par — pero lo contrario ciertamente no es cierto,\(6\) es par pero no doblemente par. Piensa en todo esto en términos de conjuntos ahora. ¿Qué conjunto contiene el otro, el conjunto de números doblemente pares o el conjunto de números pares? Claramente, el conjunto que corresponde a criterios de membresía más estrictos es menor que el conjunto que corresponde a criterios menos restrictivos, por lo que el conjunto definido por un criterio de membresía débil contiene el que tiene un criterio más fuerte.
Si se nos pide probar que un conjunto está contenido en otro como subconjunto,\(A ⊆ B\), hay dos formas de proceder. Podemos argumentar pensando en elementos, o (aunque esto equivale a lo mismo) podemos demostrar que el criterio\(A\) de membresía implica el criterio\(B\) de membresía.
Considera\(S\), el conjunto de cuadrados perfectos y\(F\), el conjunto de cuartos poderes perfectos. ¿Cuál está contenido en el otro? ¿Puedes probarlo?
Terminaremos esta sección con una prueba bastante elemental —principalmente solo para ilustrar cómo se debe proceder uno al probar que un conjunto está contenido en otro.
Let\(D\) representar el conjunto de todos los enteros que son divisibles por\(9\),
\[D = \{x ∈ \mathcal{Z} ∃k ∈ \mathcal{Z}, x = 9k\}.\]
Let\(C\) representar el conjunto de todos los enteros que son divisibles por\(3\),
\[C = \{x ∈ \mathcal{Z} ∃k ∈ \mathcal{Z}, x = 3k\}.\]
El conjunto\(D\) está contenido en\(C\). ¡Vamos a probarlo!
Prueba: Supongamos que\(x\) es un elemento arbitrario de\(D\). De la definición de\(D\) ello se deduce que hay un entero\(k\) tal que\(x = 9k\). Queremos mostrar eso\(x ∈ C\), pero como\(x = 9k\) es fácil ver aquello que muestra (ya\(x = 3(3k)\) que\(3k\) es claramente un entero) que\(x\) está en\(C\).
Q.E.D.
Ejercicios:
Inserte ∈ o en los espacios en blanco en las siguientes oraciones (para producir oraciones verdaderas).
- \(1 \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \{3, 2, 1, \{a, b\}\}\)
- \(\{a\} \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \{a, \{a, b\}\}\)
- \(\{a, b\} \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \{3, 2, 1, \{a, b\}\}\)
- \(\{\{a, b\}\} \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \{a, \{a, b\}\}\)
Supongamos que\(p\) es un primo, para cada uno\(n\) en\(\mathbb{Z}^+\), definir el conjunto\(P_n = \{x ∈ \mathbb{Z} + p^n |x\}\). Conjetura y prueba una declaración sobre las contenciones entre estos conjuntos.
Proporcionar un contraejemplo para disipar la noción de que un subconjunto debe tener menos elementos que su superconjunto.
Hemos visto que\(A ⊆ B\) corresponde a\(M_A \implies M_B\). ¿Qué corresponde a la declaración contrapositiva?
Determinar dos conjuntos\(A\) y\(B\) tal que tanto de las oraciones\(A ∈ B\) como\(A ⊆ B\) sean verdaderas.
Demostrar que el conjunto de cuartos poderes perfectos está contenido en el conjunto de cuadrados perfectos.