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5.4: La fuerte forma de inducción matemática

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    La fuerte forma de inducción matemática (también conocida como el principio de inducción completa, PCI; también conocida como inducción de curso de valores) se llama porque las hipótesis que se utilizan son más fuertes. En lugar de mostrar eso\(P_k \implies P_{k+1}\) en el paso inductivo, llegamos a suponer que todas las declaraciones numeradas menores que\(P_{k+1}\) son verdaderas. Para hacer la vida un poco más fácil vamos a renumerar un poco las cosas. El enunciado que hay que probar es

    \(∀k(P_0 ∧ P_1 ∧ . . . ∧ P_{k−1}) \implies P_k\).

    Un esquema de una prueba inductiva fuerte es:

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    \[∀n ∈ \mathbb{N}, P_n\]

    Prueba

    (Por inducción completa)

    Base: (Técnicamente, una prueba PCI no requiere una base. Te recomendamos que demuestres que eso\(P_0\) es cierto de todos modos.)

    Paso inductivo: (Aquí debemos demostrar que\(∀k, \left( \bigwedge^{k−1}_{i=0} P_i \right) \implies P_k\) es verdad.)

    Q.E.D.

    Es bastante común que realmente no necesitemos todas las declaraciones de\(P_0\)\(P_{k−1}\) a para que sean ciertas, sino solo una de ellas (y no sabemos a priori cuál). El siguiente es un resultado clásico; la prueba de que todos los números mayores que\(1\) tienen factores primos.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Para todos los números naturales\(n\),\(n > 1\) implica\(n\) tiene un factor primo.

    Prueba

    (Por fuerte inducción) Considerar un número natural arbitrario\(n > 1\). Si\(n\) es primo entonces n claramente tiene un factor primo (en sí mismo), así que supongamos que no\(n\) es primo. Por definición, se puede factorizar un número natural compuesto, por lo que\(n = a · b\) para algún par de números naturales\(a\) y\(b\) que son ambos mayores que\(1\). Ya que\(a\) y\(b\) son factores de n tanto mayores que\(1\), se deduce que\(a < n\) (también es cierto que\(b < n\) pero no necesitamos eso..). La hipótesis inductiva ahora se puede aplicar para deducir que a tiene un factor primo\(p\). Ya que\(p | a) and \(a | n\), por transitividad\(p | n\). Así\(n\) tiene un factor primo.

    Q.E.D.

    Ejercicios:

    Dar pruebas inductivas de lo siguiente:

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Un “problema de sellos postales” es un problema que (normalmente) nos pide determinar qué valores totales de franqueo se pueden producir usando dos tipos de sellos. Supongamos que tienes\(3¢\) sellos y\(7¢\) sellos, muestra (usando inducción fuerte) que se puede lograr cualquier valor de franqueo\(12¢\) o superior. Es decir,

    \(∀n ∈ \mathbb{N}, n ≥ 12 \implies ∃x, y ∈ \mathbb{N}, n = 3x + 7y\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar que cualquier franqueo entero de\(12¢\) o más se puede hacer usando solo\(4¢\) y\(5¢\) sellos.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    La ecuación polinómica\(x^2 = x + 1\) tiene dos soluciones,\(α = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) y\(β = \dfrac{1− \sqrt{5}}{2}\). Demostrar que el número de Fibonacci\(F_n\) es menor o igual a\(α_n\) para todos\(n ≥ 0\).


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