0.5: Asesoría al Instructor
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Aprender terminología - qué significan “contrapositivo” y “conversar” - llega fácilmente a la mayoría de los estudiantes. Tu reto en el curso es enseñarles a leer las definiciones de cerca, y luego cómo manipularlas. Esto es mucho más difícil cuando no hay una imagen concreta que los estudiantes puedan tener en cuenta. Los vectores en\(\mathbb{R}^{n}\), por ejemplo, son más intimidantes que en\(\mathbb{R}^{3}\), no por ningún gran aumento inherente en la complejidad, sino porque son más difíciles de pensar geométricamente, por lo que los estudiantes deben confiar solo en el álgebra. Esta confianza lleva tiempo para construir.
El capítulo 1 consiste principalmente en establecer la notación y discutir conceptos necesarios que algunos pueden haber visto ya (como inyecciones y suryecciones). Desafortunadamente esta puede ser la primera exposición a algunas de estas ideas para muchos estudiantes, por lo que el tratamiento es bastante largo. La velocidad a la que se cubra el material de forma natural dependerá de la fuerza y los antecedentes de los alumnos. Tómate un tiempo explicando por qué una secuencia puede pensarse como una función con dominio\(\mathbb{N}\); las variaciones de esta idea volverán a repetirse.
El capítulo 2 introduce las relaciones. Éstas son difíciles de entender, debido a la naturaleza abstracta de la definición. Las equivalencias y ordenamientos lineales se repiten a lo largo del libro, y la comodidad de los estudiantes con estos aumentará.
Ni el Capítulo 1 ni el Capítulo 2 habitan en las pruebas. De hecho, las pruebas matemáticas y la lógica elemental de primer orden no se introducen hasta el Capítulo 3. Nuestro objetivo es hacer que el estudiante piense en las estructuras y definiciones matemáticas sin el peso psíquico adicional de las pruebas de lectura y escritura. Usamos ejemplos para ilustrar las definiciones. Los primeros Capítulos proporcionan fundamentos conceptuales básicos para capítulos posteriores, y encontramos que la mayoría de los estudiantes tienen las manos ocupadas solo tratando de leer y entender las definiciones y ejemplos. En los ejercicios pedimos a los alumnos que “muestren” la verdad de algunas afirmaciones matemáticas. Nuestra intención es hacer que el estudiante piense en la tarea de probar afirmaciones matemáticas. No se espera que escriban argumentos exitosos antes del Capítulo 3. Animamos a los estudiantes a intentar los problemas aunque probablemente no estén seguros sobre los requisitos para una prueba matemática. Si cree firmemente que las pruebas matemáticas deben discutirse antes de lanzarse a definiciones matemáticas, puede cubrir primero el Capítulo 3.
El capítulo 3 es bastante formal, y debe ir rápido. El capítulo 4 introduce a los estudiantes a la primera técnica de prueba importante: la inducción. Con la práctica, se puede esperar que dominen esta técnica. También introducimos como tema continuo el estudio de polinomios, y demostramos por ejemplo que un polinomio no tiene más raíces que su grado.
Los capítulos 5,6 y 7 son completamente independientes entre sí. El capítulo 5 trata los límites y la continuidad, hasta demostrar que el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es continuo. El capítulo 6 es sobre conjuntos infinitos, demostrando los teoremas de Cantor y el teorema de Schröder-Bernstein. Al final del capítulo, los alumnos habrán llegado a apreciar que generalmente es mucho más fácil construir dos inyecciones que ¡una biyección!
El capítulo 7 contiene una pequeña teoría de números, hasta la prueba del pequeño teorema de Fermat. Luego muestra cuánto de la estructura se transfiere al álgebra de polinomios reales.
El capítulo 8 construye los números reales, usando cortes Dedekind, y demuestra que tienen la menor propiedad de límite superior. Esto se utiliza entonces para probar los teoremas básicos del análisis real: el teorema del Valor Intermedio y el Teorema del Valor Extremo. Las secciones\(8.1\) a través\(8.4\) requieren únicamente Capítulos\(1-4\) y Sección 6.1. Las secciones\(8.5-8.8\) requieren Secciones\(5.1\) y 5.2. Sección\(8.9\) requiere Capítulo 6.
En el Capítulo 9, introducimos los números complejos. Secciones\(9.1\)\(9.3\) prueban la fórmula Tartaglia-Cardano para encontrar las raíces de un cúbico, y señalan cómo es necesario usar números complejos incluso para encontrar raíces reales de cubículos reales. Estas secciones requieren únicamente los Capítulos 1 - 4. En Sección\(9.4\) probamos el Teorema Fundamental del Álgebra. Esto requiere el Capítulo 5 y el teorema de Bolzano-Weierstrass de la Sección 8.6.
¿Qué es un curso razonable basado en este libro? Los capítulos 1 a 4 son esenciales para cualquier curso. En un curso de un cuarto, también se podría abarcar el Capítulo 6 y bien el Capítulo 5 o el 7. En un curso de un semestre, uno podría abarcar Capítulos\(1-6\) y uno de los tres capítulos restantes. El Capítulo 9 puede cubrirse sin el Capítulo 8 si uno está dispuesto a hacer valer la propiedad de Límite Mínimo Superior como axioma de los números reales, y entonces la Sección\(8.6\) puede cubrirse antes de la Sección\(9.4\) sin ningún otro material del Capítulo 8.
Te sugerimos que estés de acuerdo con tus compañeros en un plan de estudios común para este curso, para que los temas que cubras a fondo (por ejemplo, cardinalidad) no tengan que repetirse en cursos sucesivos.
Este curso de transición se está convirtiendo en uno de los cursos más importantes en el plan de estudios de matemáticas, y el primer curso importante para la especialidad de matemáticas. Para el estudiante talentoso e intelectualmente discriminante de primer o segundo año los cursos iniciales estándar en el plan de estudios de matemáticas -cálculo, ecuaciones diferenciales, álgebra matricial- proporcionan poco incentivo para estudiar matemáticas. En efecto, hay pocas matemáticas en estos cursos, y menos aún con la evolución de los planes de estudios de pregrado inferior hacia el servicio de las ciencias y la ingeniería. Esto es particularmente inquietante ya que se refiere al talentoso estudiante que aún no se ha decidido por una especialización y puede que nunca haya considerado las matemáticas. Creemos que se debe alentar a los mejores estudiantes a tomar este curso lo antes posible, incluso concurrente con el cálculo del segundo semestre o tercer trimestre del primer año. No es solo para ayudar a futuros estudiantes de matemáticas, sino que también puede servir un valioso papel en reclutarlos, al permitir que los estudiantes inteligentes vean que las matemáticas son desafiantes y, más al grano, interesantes y profundas. La matemática es su mejor apologista. Exponga a los estudiantes temprano al pensamiento y resultados matemáticos auténticos y déjelos tomar una decisión informada. Puede ser una sorpresa para algunos, pero los buenos estudiantes aún buscan lo que los matemáticos buscaban como estudiantes: la satisfacción de dominar una disciplina difícil, interesante y útil.