0.4: Asesoría al Alumno

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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¡Bienvenido a las matemáticas superiores! Si tu exposición a las matemáticas universitarias se limita al cálculo, este libro probablemente parecerá muy diferente de tus textos anteriores. Muchos estudiantes aprenden cálculo escaneando rápidamente el texto y procediendo directamente a los problemas. Al luchar con un problema, buscan problemas similares en el texto, e intentan emular la solución que encuentran. Por último, revisan la solución, que generalmente se encuentra al dorso del texto, para “validar” la metodología.

Este libro, como muchos textos que abordan temas más avanzados, no está escrito pensando en problemas computacionales. Nuestro objetivo es introducirte en los diversos elementos de las matemáticas de pregrado superior: la cultura, el lenguaje, los métodos, los temas, los estándares y los resultados. Los problemas en estos cursos son probar verdaderas afirmaciones matemáticas, o refutar afirmaciones falsedades. En el contexto del cálculo, el matemático debe probar los resultados que utilizó libremente. Para la mayoría de la gente, esta actividad parece muy diferente a la computación. Por ejemplo, probablemente te resulte necesario pensar en un problema durante algún tiempo antes de comenzar a escribir. A diferencia del cálculo, en el que la dirección general de los métodos suele ser obvia, tratar de probar afirmaciones matemáticas puede parecer sin dirección o accidental. Sin embargo, es más estratégico que aleatorio. Este es uno de los grandes retos de las matemáticas en los niveles superiores, es creativo, no de memoria. Con la práctica y el pensamiento disciplinado, aprenderás a ver tu manera de probar afirmaciones matemáticas.

Comenzaremos nuestro tratamiento de las matemáticas superiores con un gran número de definiciones. Esto es habitual en un curso de matemáticas, y es necesario porque las matemáticas requieren una expresión precisa. Trataremos de motivar estas definiciones para que su utilidad sea obvia lo antes posible. Después de presentar y discutir algunas definiciones, presentaremos argumentos para algunas afirmaciones elementales relativas a estas definiciones. Esto nos dará algo de práctica en la lectura, escritura y discusión de las matemáticas. En los primeros capítulos del libro incluimos numerosas discusiones y comentarios para ayudarle a comprender la dirección básica de los argumentos. En los capítulos posteriores del libro, leerás argumentos más difíciles para algunos resultados clásicos profundos. Te recomendamos que leas estos argumentos deliberadamente para asegurar tu comprensión profunda del argumento y nutrir tu sentido del nivel de detalle y rigor que se espera en una prueba matemática de pregrado.

Al final de cada capítulo hay ejercicios diseñados para dirigir tu atención a la lectura y obligarte a pensar en los detalles de las pruebas. Algunos de estos ejercicios son sencillos, pero muchos de ellos son muy duros. No esperamos que cada alumno sea capaz de resolver todos los problemas. No obstante, pasar una hora (o más) pensando en un problema difícil es tiempo bien empleado aunque no resuelvas el problema: fortalece tus músculos matemáticos, y te permite apreciar, y entender más profundamente, la solución si finalmente se te muestra. En última instancia, podrás resolver algunos de los problemas difíciles tú mismo después de pensarlos profundamente. ¡Entonces serás un verdadero matemático!

Las matemáticas son, desde un punto de vista, un ejercicio lógico. Definimos objetos que no existen físicamente, y utilizamos la lógica para sacar las conclusiones más profundas que podamos sobre estos objetos. Si este fuera el final de la historia, las matemáticas no serían más que un juego, y serían de poco interés perdurable. Ocurre, sin embargo, que interpretar objetos físicos, procesos, comportamientos y otros sujetos de interés intelectual, como objetos matemáticos, y aplicar las conclusiones y técnicas del estudio de estos objetos matemáticos, nos permite extraer conclusiones confiables y poderosas sobre prácticas problemas. Este método de usar las matemáticas para entender el mundo se llama modelización matemática. El mundo en el que vives, la forma en que entiendes este mundo, y cómo se diferencia del mundo y la comprensión de tus ancestros lejanos, es en gran medida el resultado de la investigación matemática. En este libro, tratamos de explicar cómo sacar conclusiones matemáticas con certeza. Cuando estudiaste cálculo, utilizaste numerosos teoremas profundos para sacar conclusiones que de otra manera podrían haber tomado meses en lugar de minutos. Ahora vamos a desarrollar una comprensión de cómo se derivan los resultados de esta profundidad y poder.