1.9: Consejos para comenzar con algunos ejercicios

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118502

Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ejercicio 1.2. Esto se podría hacer con un diagrama de Venn. No obstante, una vez que haya más de tres conjuntos (ver Ejercicio 1.13), este enfoque será difícil. Una prueba algebraica se generalizará más fácilmente, así que trata de encontrar una aquí. Argumentar a favor de las dos inclusiones\[\begin{aligned} (X \cup Y)^{c} & \subseteq X^{c} \cap Y^{c} \\ X^{c} \cap Y^{c} & \subseteq(X \cup Y)^{c} \end{aligned}\] por separado. En el primero, por ejemplo, asumir eso\(x \in(X \cup Y)^{c}\) y demostrar que debe ser en ambos\(X^{c}\) y\(Y^{c}\).

Ejercicio 1.13. Parte del problema aquí es la notación - ¿y si tienes más conjuntos que letras? Comience con un número finito de conjuntos contenidos en\(U\), y llámalos\(X_{1}, \ldots, X_{n}\). ¿Cuál crees que es el complemento de su unión? Demuéstralo como lo hiciste cuando\(n=2\) en el Ejercicio 1.2. (¿Ve la ventaja de tener una prueba en Ejercicio\(1.2\) que no utilizó diagramas de Venn? Una de las razones por las que a los matemáticos les gusta tener múltiples pruebas del mismo teorema es que es probable que cada prueba se generalice de una manera diferente). ¿Puedes hacer que funcione el mismo argumento si tus conjuntos están indexados por algún conjunto de índices infinito?

Ahora haz lo mismo con el complemento de la intersección.

Ejercicio 1.14. Nuevamente hay un problema notacional, pero mientras\(Y\) y\(Z\) juega el mismo papel en el Ejercicio 1.3,\(X\) juega un papel diferente. Así que reescribe las ecuaciones como\[\begin{aligned} &X \cap\left(Y_{1} \cup Y_{2}\right)=\left(X \cap Y_{1}\right) \cup\left(X \cap Y_{2}\right) \\ &X \cup\left(Y_{1} \cap Y_{2}\right)=\left(X \cup Y_{1}\right) \cap\left(X \cup Y_{2}\right), \end{aligned}\] y mira si puedes generalizar estas.

Ejercicio 1.35. (i) Nuevamente, esto se reduce a probar dos contensiones. Si\(y\) está en el lado izquierdo, entonces debe haber algunos\(x_{0}\) en algunos\(U_{\alpha_{0}}\) tales que\(f(x)=y\). Pero luego\(y\) está adentro\(f\left(U_{\alpha_{0}}\right)\), así\(y\) está en el lado derecho.

Por el contrario, si\(y\) está en el lado derecho, entonces debe estar en\(f\left(U_{\alpha_{0}}\right)\) para algunos\(\alpha_{0} \in A\). Pero luego\(y\) está adentro\(f\left(\cup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)\), y también lo está en el lado izquierdo.