1.8: Ejercicios

EJERCICIO 1.1. Demostrar que

\(\{n \in \mathbb{N} \mid n\)es impar y\(n=k(k+1)\) para algunos\(k \in \mathbb{N}\}\)

está vacío.

EJERCICIO 1.2. Dejar\(X\) y\(Y\) ser subconjuntos de algún conjunto\(U\). Probar las leyes de Morgan:\[\begin{aligned} &(X \cup Y)^{c}=X^{c} \cap Y^{c} \\ &(X \cap Y)^{c}=X^{c} \cup Y^{c} \end{aligned}\] EJERCICIO 1.3. Dejar\(X, Y\) y\(Z\) ser conjuntos. Prueba\[\begin{aligned} &X \cap(Y \cup Z)=(X \cap Y) \cup(X \cap Z) \\ &X \cup(Y \cap Z)=(X \cup Y) \cap(X \cup Z) . \end{aligned}\] EJERCICIO 1.4. Vamos\(X=\ulcorner 2\urcorner, Y=\ulcorner 3\urcorner\), y\(Z=\ulcorner 1\urcorner\). Cuáles son los siguientes conjuntos:

(i)\(X \times Y\).

ii)\(X \times Y \times Z\).

iii)\(X \times Y \times Z \times \emptyset\).

iv)\(X \times X\).

(v)\(X^{n}\).

EJERCICIO 1.5. Supongamos que\(X\) es un conjunto con\(m\) elementos, y\(Y\) es un conjunto con\(n\) elementos. ¿Cuántos elementos\(X \times Y\) tiene? ¿La respuesta es la misma si uno o ambos conjuntos están vacíos?

EJERCICIO 1.6. ¿Cuántos elementos\(\emptyset \times \mathbb{N}\) tiene?

EJERCICIO 1.7. Describir todos los intervalos posibles en\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 1.8. Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos finitos no vacíos, con\(m\) y\(n\) elementos, respectivamente. ¿Cuántas funciones hay de\(X\) a\(Y\)? ¿Cuántas inyecciones? ¿Cuántas sobrejecciones? ¿Cuántas bijecciones?

EJERCICIO 1.9. ¿Qué sucede en el Ejercicio\(1.8\) si\(m\) o\(n\) es cero?

EJERCICIO 1.10. Para cada uno de los siguientes conjuntos, cuáles de las operaciones suma, resta, multiplicación, división y exponenciación son operaciones en el conjunto:

(i)\(\mathbb{N}\)

ii)\(\mathbb{Z}\)

iii)\(\mathbb{Q}\)

iv)\(\mathbb{R}\)

(v)\(\mathbb{R}^{+}\).

EJERCICIO 1.11. Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones reales,\(f(x)=3 x+8\),\(g(x)=x^{2}-5 x\). ¿Qué son\(f \circ g\) y\(g \circ f\)? ¿Es\((f \circ g) \circ f=f \circ(g \circ f)\)?

EJERCICIO 1.12. Anote todas las permutaciones de\(\{a, b, c\}\).

EJERCICIO 1.13. ¿Cuál es la generalización natural del Ejercicio\(1.2\) a un número arbitrario de conjuntos? Verifica tus leyes generalizadas. EJERCICIO 1.14. ¿Cuál es la generalización natural del Ejercicio\(1.3\) a un número arbitrario de conjuntos? Verifica tus leyes generalizadas.

EJERCICIO 1.15. \(X\)Sea el conjunto de todos los triángulos en el plano,\(Y\) el conjunto de todos los triángulos en ángulo recto, y\(Z\) el conjunto de todos los triángulos no isósceles. Para cualquier triángulo\(T\), deja\(f(T)\) ser el lado más largo de\(T\), y\(g(T)\) ser el máximo de las longitudes de los lados de\(T\). ¿En cuál de los conjuntos\(X, Y, Z\) es\(f\) una función? ¿Sobre cuál es\(g\) una función?

¿Cuál es el complemento de\(Z\) in\(X\)? ¿Qué es\(Y \cap Z^{c}\)?

EJERCICIO 1.16. Por cada real positivo\(t\), vamos\(X_{t}=(-t, t)\) y\(Y_{t}=\)\([-t, t]\). Describir

(i)\(\bigcup_{t>0} X_{t}\) y\(\bigcup_{t>0} Y_{t}\).

ii)\(\bigcup_{0<t<10} X_{t}\) y\(\bigcup_{0<t<10} Y_{t}\).

iii)\(\bigcup_{0<t \leq 10}^{0<t<10} X_{t}\) y\(\bigcup_{0<t \leq 10}^{0<t<10} Y_{t}\).

iv)\(\bigcap_{t>10}^{0<t \leq 10} X_{t}\) y\(\bigcap_{t>10}^{0<t \leq 10} Y_{t}\).

\((\mathrm{v}) \bigcap_{t>10}^{t \geq 10} X_{t}\)y\(\bigcap_{t>10}^{t \geq 10} Y_{t}\)

vi)\(\bigcap_{t>0}^{t>10} X_{t}\) y\(\bigcap_{t>0}^{t>10} Y_{t}\).

EJERCICIO 1.17. Dejar\(f\) ser la función real coseno, y dejar que\(g\) sea la función real\(g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

(i) ¿Qué son\(f \circ g, g \circ f, f \circ f, g \circ g\) y\(g \circ g \circ f\)?

(ii) ¿Cuáles son los dominios y rangos de las funciones reales\(f, g, f \circ g\) y\(g \circ f\)?

EJERCICIO 1.18. Dejar\(X\) ser el conjunto de vértices de un cuadrado en el plano. ¿Cuántas permutaciones\(X\) hay? ¿Cuántos de estos provienen de rotaciones? ¿Cuántos vienen de reflexiones en líneas? ¿Cuántos provienen de la composición de una rotación y una reflexión?

EJERCICIO 1.19. Cuáles de las siguientes funciones reales son inyectoras y cuáles son suryectivas:

(i)\(f_{1}(x)=x^{3}-x+2\).

ii)\(f_{2}(x)=x^{3}+x+2\). iii)\(f_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

iv)\(f_{4}(x)= \begin{cases}-x^{2} & x \leq 0 \\ 2 x+3 & x>0\end{cases}\)

EJERCICIO 1.20. Supongamos\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). Demostrar que si\(g \circ f\) es inyectable, entonces\(f\) es inyectable.

Dé un ejemplo para mostrar que no es\(g\) necesario que sea inyectable.

EJERCICIO 1.21. Supongamos\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\).

(i) Demostrar que si\(f\) y\(g\) son suryectivas, así es\(g \circ f\).

(ii) Demostrar que si\(g \circ f\) es suryectiva, entonces una de las dos funciones\(f, g\) debe ser suryectiva (¿cuál?). Dé un ejemplo para mostrar que la otra función no necesita ser suryectiva.

EJERCICIO 1.22. Para cuál\(n \in \mathbb{N}\) es la función\(f(x)=x^{n}\) una inyección.

EJERCICIO 1.23. Dejar\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser un polinomio de grado\(n \in \mathbb{N}\). ¿Para qué valores de\(n\) debe\(f\) ser una sobreyección, y para qué valores no es una suryección?

EJERCICIO 1.24. Anote una bijección de\((X \times Y)\) vez\(Z\) en\(X \times(Y\) cuando\(Z)\). Demostrar que es uno a uno y sobre.

EJERCICIO 1.25. Dejar\(X\) ser un conjunto con\(n\) elementos. ¿Cuántas permutaciones\(X\) hay?

EJERCICIO 1.26. Dejar\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función construida usando solo números naturales y suma, multiplicación y exponenciación (por ejemplo\(f\) podría definirse como\(\left.x \mapsto(x+3)^{x^{2}}\right)\). ¿Qué puedes decir sobre\(f[\mathbb{N}] ?\) ¿Qué puedes decir si incluimos la resta o división?

EJERCICIO 1.27. Vamos\(f(x)=x^{3}-x .\) Encuentra conjuntos\(X\) y\(Y\) tal que\(f: X \rightarrow Y\) es una bijección. ¿Hay una elección máxima de\(X ?\) Si la hay, es única? ¿Hay una elección máxima de\(y\)? Si la hay, ¿es única?

EJERCICIO 1.28. Vamos\(f(x)=\tan (x)\). Utilice la notación de conjunto para definir el dominio y el rango de\(f\). ¿Qué es\(f^{-1}(1)\)? Qué es\(f^{-1}\left[\mathbb{R}^{+}\right] ?\) EJERCICIO 1.29. Para cada una de las siguientes funciones reales, encuentra un intervalo\(X\) que contenga más de un punto y tal que la función sea una biyección de\(X\) a\(f[X]\). Encuentra una fórmula para la función inversa.

(i)\(f_{1}(x)=x^{2}+5 x+6\).

ii)\(f_{2}(x)=x^{3}-x+2\).

iii)\(f_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

iv)\(f_{4}(x)= \begin{cases}-x^{2} & x \leq 0 \\ 2 x+3 & x>0\end{cases}\)

EJERCICIO 1.30. Encuentre fórmulas para las siguientes secuencias:

(i)\(\langle 1,2,9,28,65,126, \ldots\rangle\).

ii)\(\langle 1,-1,1,-1,1,-1, \ldots\rangle\).

iii)\(\langle 2,1,10,27,66,125,218, \ldots\rangle\).

iv)\(\langle 1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots\rangle\).

EJERCICIO 1.31. Que la función real\(f\) sea estrictamente creciente. Demostrar que para cualquiera\(b \in \mathbb{R}, f^{-1}(b)\) está vacío o consiste en un solo elemento, y eso por lo tanto\(f\) es una inyección. Si también\(f\) es una biyección, ¿es la función inversa de\(f\) también aumentar estrictamente?

EJERCICIO 1.32. \(f\)Sea una función real que sea una biyección. Mostrar que la gráfica de\(f^{-1}\) es el reflejo de la gráfica de\(f\) en la línea\(y=x\).

EJERCICIO 1.33. Dejar\(X_{n}=\{n+1, n+2, \ldots, 2 n\}\) para cada uno\(n \in \mathbb{N}^{+}\) como en el Ejemplo 1.43. ¿Qué son

(i)\(\cup_{n=1}^{5} X_{n}\).

ii)\(\cap_{n=4}^{6} X_{n}\).

iii)\(\cap_{k=1}^{5}\left[\cup_{n=1}^{k} X_{n}\right]\).

iv)\(\cap_{k=5}^{\infty}\left[\cup_{n=3}^{k} X_{n}\right]\).

EJERCICIO 1.34. Verificar las aseveraciones del Ejemplo 1.44.

EJERCICIO 1.35. Dejemos\(f: X \rightarrow Y\), y asumamos eso\(U_{\alpha} \subseteq X\) para cada\(\alpha \in A\), y\(V_{\beta} \subseteq Y\) para cada uno\(\beta \in B\). Demostrar:\[\begin{aligned} & \text { (i) } f\left(\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha \in A} f\left(U_{\alpha}\right) \\ & \text { (ii) } f\left(\bigcap_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right) \subseteq \bigcap_{\alpha \in A} f\left(U_{\alpha}\right) \\ & \text { (iii) } f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in B} V_{\beta}\right)=\bigcup_{\beta \in B} f^{-1}\left(V_{\beta}\right) \\ & \text { (iv) } f^{-1}\left(\bigcap_{\beta \in B} V_{\beta}\right)=\bigcap_{\beta \in B} f^{-1}\left(V_{\beta}\right) \text {. } \end{aligned}\] Tenga en cuenta que (ii) tiene contención en lugar de igualdad. Dar un ejemplo de contención adecuada en la parte (ii). Encontrar una condición\(f\) que garantice la igualdad en el (ii).