2.1: Definiciones
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Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. Una relación de\(X\) a\(Y\) es un subconjunto de\(X \times Y\).
Alternativamente, cualquier conjunto de pares ordenados es una relación. Si\(Y=X\), decimos que\(R\) es una relación sobre\(X\).
Notación. \(x\)\(X\)Ry Let and\(Y\) be sets y\(R\) ser una relación sobre\(X \times Y\). Si\(x \in X\) y\(y \in Y\), entonces podemos expresar que\(x\) lleva\(R\) relación con\(y\) (es decir\((x, y) \in R\)) por escrito\(x R y\).
Entonces para\(X\) y\(Y\) establece,\(x \in X, y \in Y\), y\(R\) una relación sobre\(X \times Y\),\(x R y\) si y solo si\((x, y) \in R\).
Deje\(\leq\) ser el pedido habitual en\(\mathbb{Q}\). Entonces\(\leq\) es una relación sobre\(\mathbb{Q}\). Escribimos\[1 / 2 \leq 2\] para expresar que\(1 / 2\) lleva la relación\(\leq\) con 2.
Definir una relación\(R\) de\(\mathbb{Z}\) a\(\mathbb{R}\) por\(x R y\) si\(x>y+3\). Entonces podríamos escribir\(7 R \sqrt{2}\) o\((7, \sqrt{2}) \in R\) decir que\((7, \sqrt{2})\) está en la relación.
Vamos\(X=\{2,7,17,27,35,72\}\). Definir una relación\(R\) por\(x R y\) si\(x \neq y\) y\(x\) y\(y\) tener un dígito en común. Entonces\(R=\{(2,27),(2,72),(7,17),(7,27),(7,72),(17,7),(17,27),(17,72),\),\((27,2),(27,7),(27,17),(27,72),(72,2),(72,7),(72,17),(72,27)\}\). EJEMPLO 2.4. Dejar\(P\) ser el conjunto de todos los polígonos en el plano. Definir una relación\(E\) diciendo\((x, y) \in E\) si\(x\) y\(y\) tener el mismo número de lados.
¿Cómo usan las relaciones los matemáticos? Una relación en un conjunto se puede utilizar para imponer la estructura. En el Ejemplo 2.1, la relación de orden habitual\(\leq\) sobre nos\(\mathbb{Q}\) permite pensar que los números racionales se encuentran en una línea numérica, lo que proporciona una visión adicional de los números racionales. En el Ejemplo 2.4, podemos usar la relación para romper polígonos en los conjuntos de triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc.
Una función\(f: X \rightarrow Y\) puede ser pensada como un tipo muy especial de relación de\(X\) a\(Y\). En efecto, la gráfica de la función es un conjunto de pares ordenados en\(X \times Y\), pero tiene la propiedad adicional de que cada\(x\) in\(X\) ocurre exactamente una vez como primer elemento de un par en la relación. Como discutimos en la Sección 1.3, las funciones son una forma útil de relacionar conjuntos.
\(X\)Sea un conjunto, y\(R\) una relación sobre\(X\). Aquí hay algunas propiedades importantes que la relación puede tener o no.
\(R\)es reflexivo si para cada\(x \in X\),\[x R x .\] simétrico\(R\) es simétrico si para alguno\(x, y \in X\),\[x R y \text { implies } y R x \text {. }\] antisimétrico\(R\) es antisimétrico si es para alguno\(x, y \in X\), \[[(x, y) \in R \text { and }(y, x) \in R] \text { implies } x=y \text {. }\]Transitivo\(R\) es transitivo si para alguno\(x, y, z \in X\),\[[x R y \text { and } y R z] \text { implies }[x R z] \text {. }\] ¿Cuál de estas cuatro propiedades se aplica a las relaciones dadas en los Ejemplos 2.1-2.4 (Ejercicio 2.1)?