2.4: Construyendo Biyecciones

Consideremos una aplicación abstracta particularmente interesante e importante de las clases de equivalencia. Vamos\(f: X \rightarrow Y\). La función no\(f\) necesita ser una inyección o una sobreyección. Sin embargo, ya hemos discutido la conveniencia de encontrar una “inversa” para\(f\), aun cuando no cumpla con las condiciones necesarias para la existencia de una inversa. En Sección\(1.3\) consideramos la función\(\left.f\right|_{D}\), dónde\(D \subseteq X\) y\(\left.f\right|_{D}\) es una inyección. Otro enfoque es utilizar la función\(f\) para crear una nueva función en un dominio distinto que conserve gran parte de la información de\(f\).

Utilizamos\(f\) para inducir una relación de equivalencia sobre\(X\). Definir una relación\(\sim\) sobre\(X\) por\[x \sim y \text { if and only if } f(x)=f(y) .\] Mostramos en Ejemplo\(2.18\) que\(\sim\) es una relación de equivalencia; es la relación de equivalencia en\(X\) inducida por\(f\). La relación de equivalencia\(\sim\) induce una partición de\(X\), es decir,\(X / \sim(\) que es el conjunto\(\{[x] \mid x \in X\}\) de todas las clases de equivalencia). Notación. \(X / f\)Dejar\(f: X \rightarrow Y\) y\(\sim\) ser la relación de equivalencia sobre\(X\) inducido por\(f\). Escribimos\(X / f\) para el conjunto de clases de equivalencia inducidas por\(\sim\) on\(X\).

Una clase de equivalencia in\(X / f\) es la imagen inversa de un elemento en\(\operatorname{Ran}(f)\). Es decir, si\(x \in X\) y\(f(x)=y\),\[[x]=f^{-1}(y) .\] Entonces\[X / f=\left\{f^{-1}(y) \mid y \in \operatorname{Ran}(f)\right\} .\] Los elementos de\(X / f\) se llaman los conjuntos de niveles de\(f\). La inspiración para esto viene de pensar en un mapa topográfico. Las curvas en un mapa topográfico correspondientes a altitudes fijas se denominan curvas de nivel. Considera la función desde un punto en un mapa hasta la altitud de la ubicación física representada por el punto en el mapa. Las curvas de nivel en el mapa son subconjuntos de los conjuntos de niveles de esta función.

Notación. \(\Pi_{f}\)Vamos\(f: X \rightarrow Y\). La función\(\Pi_{f}: X \rightarrow X / f\) se define por\(\Pi_{f}(x)=[x]_{f}\), donde\([x]_{f}\) está la clase de equivalencia de\(x\) con respecto a la relación de equivalencia inducida por\(f\).

Deja\(Z \subseteq Y\) ser el rango de\(f\). Definimos una nueva función,\(\widehat{f}: X / f \rightarrow Z\) por\[\widehat{f}([x])=f(x) .\] La función\(\widehat{f}\) está estrechamente relacionada con\(f\); de hecho, para cada\(x \in X\),\[f(x)=\widehat{f} \circ \Pi_{f}(x) .\] Esto a veces se ilustra con un diagrama, como en la Figura \(2.22\).

La función\(\hat{f}\) es una biyección. En este sentido, cada función puede asociarse canónicamente con una biyección. Consideramos la función que vimos en la Sección 1.3.

FIGURA 2.22. Hacer una función en una biyección

Ejemplo 2.23

Vamos\(f(x)=\tan (x)\). Como comentamos anteriormente, podemos “invertir” esta función considerando la función Tan:\((-\pi / 2, \pi / 2) \rightarrow\)\(\mathbb{R}\) por\[\operatorname{Tan}=\left.\tan \right|_{(-\pi / 2, \pi / 2)}\] La función Tan es una biyección, y tiene una inversa,\[\operatorname{Arctan}: \mathbb{R} \rightarrow(-\pi / 2, \pi / 2)\] Para cualquiera\(k \in \mathbb{Z}\) hay una restricción correspondiente de tan,\[\tan \mid\left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}, \frac{(2 k+3) \pi}{2}\right)\] que es una biyección, y por lo tanto tiene una función inversa.

Otra biyección se puede construir sobre las clases de equivalencia inducidas por\(f(x)=\tan (x)\). Un conjunto de niveles de\(f\) es\([x]_{f}=\{x+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\). \(X\)Sea el dominio del bronceado. Entonces\[X / f=\left\{[x]_{f} \mid x \in X\right\}\] podemos interpretar una clase de equivalencia\([x]_{f}\) con respecto a los ángulos en posición estándar en el plano cartesiano. La clase de equivalencia de\(x\) es el conjunto de ángulos en posición estándar que tienen lado terminal colineal con el lado terminal del ángulo\(x\) - ver Figura 2.24.

FIGURA 2.24. Ángulos colineales

Siguiendo la construcción descrita anteriormente, la función\(\Pi_{f}: X \rightarrow\)\(X / f\) es la función\[\Pi_{f}(x)=[x]_{f}=\{x+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .\] La función\(\widehat{f}: X / f \rightarrow \mathbb{R}\) dada por\[\widehat{f}\left([x]_{f}\right)=f(x)\] es una biyección. Además,\[\tan =\widehat{f} \circ \Pi_{f} .\] si\(x \in X\), entonces\(\Pi_{f}(x)\) es el conjunto de todos los ángulos que tienen lado terminal colineal con el lado terminal de ángulo\(x\) en posición estándar. Así nos\(\Pi_{f}\) dice que solo\(\tan\) se puede distinguir la pendiente del lado terminal del ángulo - no el cuadrante del ángulo o cuántas revoluciones subtendió el ángulo.