2.3: Relaciones de equivalencia

Definición: Relación de equivalencia

\(X\)Sea un conjunto y\(R\) una relación sobre\(X\). Decimos que\(R\) es una relación de equivalencia si

(1)\(R\) es reflexivo

(2)\(R\) es simétrico

(3)\(R\) es transitivo.

Ejemplo 2.12

Definir una relación\(R\) sobre\(\mathbb{R}\) por\(x R y\) si y solo si\(x^{2}=\)\(y^{2}\). Entonces\(R\) es una relación de equivalencia.

Ejemplo 2.13

\(R\)Sea una relación definida de la\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) siguiente manera. Si\(a, b, c, d \in \mathbb{Z}\),\[(a, b) R(c, d) \text { if and only if } a+d=b+c \text {. }\] Entonces\(R\) es una relación de equivalencia. En efecto, vamos a revisar las tres propiedades.

Reflexivo: Por (2.14), tenemos\((a, b) R(a, b)\) si\(a+b=a+b\), que claramente sostiene. Simétrico: Supongamos\((a, b) R(c, d)\), entonces\(a+d=b+c\). Para ver si\((c, d) R(a, b)\), debemos comprobar si\(c+b=d+a\); pero esto se sostiene por la conmutatividad de la adición.

Transitivo: Supongamos\((a, b) R(c, d)\) y\((c, d) R(e, f)\). Debemos comprobar que\((a, b) R(e, f)\), en otras palabras que\[a+f=b+e .\] tenemos\(a+d=b+c\) y\(c+f=d+e\), y sumando estas dos ecuaciones obtenemos\[a+d+c+f=b+c+d+e .\] Cancelando\(c+d\) de cada lado de (2.16), obtenemos (2.15) como se desee.

Ejemplo 2.17

Dejar\(R\) ser una relación sobre\(X=\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{+}\) definida por\[(a, b) R(c, d) \text { if and only if } a d=b c \text {. }\] Entonces\(R\) es una relación de equivalencia sobre\(X\). (Demostrar esto; Ejercicio 2.4).

Ejemplo 2.18

Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Definir una relación\(R_{f}\) on\(X\) por\[x R_{f} y \text { if and only if } f(x)=f(y) .\] Entonces\(R_{f}\) es una relación de equivalencia. Comprobamos las condiciones para una relación de equivalencia:

\(R_{f}\)es claramente reflexivo, ya que, para cualquier\(x \in X\),\[f(x)=f(x) .\]\(R_{f}\) es simétrico ya que, para cualquiera\(x \in X\) y\(y \in X\),\[f(x)=f(y) \text { if and only if } f(y)=f(x) .\] Mostrar\(R_{f}\) es transitivo, vamos \(x, y, z \in X\). Si\(f(x)=f(y)\) y\(f(y)=\)\(f(z)\) entonces\(f(x)=f(z)\).

Las relaciones de equivalencia tienen tres de las propiedades clave de la identidad. Permiten relacionar objetos en un conjunto que deseamos considerar como “los mismos” en un contexto dado. Esto nos permite enfocarnos en qué diferencias entre objetos matemáticos son relevantes para la discusión en cuestión, y cuáles no. Por ello, es un símbolo común para una relación de equivalencia\(\sim\).

Definición: Clase de equivalencia,\([x]_{R}\)

Dejar\(R\) ser una relación de equivalencia en un conjunto\(X\). Si\(x \in X\) entonces la clase de equivalencia de\(x\) módulo\(R\), denotada por\([x]_{R}\), es\[[x]_{R}=\{y \in X \mid x R y\} .\] Si\(y \in[x]_{R}\) llamamos a\(y\) un elemento representativo de\([x]_{R}\). Se escribe el conjunto de todas las clases\(\left\{[x]_{R} \mid x \in X\right\}\) de equivalencia\(X / R\). Se llama el cociente espacio de\(X\) por\(R\).

Podemos utilizar\([x]\) para la clase de equivalencia de\(x\), siempre que la relación de equivalencia sea clara.

Notación. Equivalencia mod\(R, \equiv_{R}, \sim\) Let\(R\) Ser una relación de equivalencia en un conjunto\(X\). Podemos expresarlo\(x R y\) por escrito\[x \equiv y \bmod R\]\[x \equiv_{R} y\] o por la\[x \sim y .\] Proposición 2.19. Supongamos que\(\sim\) es una relación de equivalencia sobre\(X\). Vamos\(x, y \in X\). Si\(x \sim y\), entonces\[[x]=[y] .\] Si no\(x\) es equivalente a\(y(x \nsim y)\), entonces\[[x] \cap[y]=\emptyset .\] Prueba. (i) Asumir\(x \sim y\). Demostremos eso\([x] \subseteq[y]\). Vamos\(z \in[x]\). Esto significa que\(x \sim z\). Ya que\(\sim\) es simétrico\(x \sim y\), y, tenemos\(y \sim x\). Como\(y \sim x\) y\(x \sim z\), por transitividad de\(\sim\) lo conseguimos\(y \sim z\). Por lo tanto\(z \in[y]\). Ya que\(z\) es un elemento arbitrario de\([x]\), lo hemos demostrado\([x] \subseteq[y]\). Como\(y \sim x\), el mismo argumento con\(x\) e\(y\) intercambiado da\([y] \subseteq[x]\), y por lo tanto\([x]=[y]\).

(ii) Ahora asuma eso\(x\) y no\(y\) son equivalentes. Debemos demostrar que no existe\(z\) tal que\(z \in[x]\) y\(z \in[y]\). Vamos a argumentar por contradicción. Supongamos que hubiera tal\(z\). Entonces tendríamos\[x \sim z \quad \text { and } \quad y \sim z .\] Por simetría, tenemos también eso\(z \sim y\), y por transitividad, entonces tenemos eso\(x \sim y\). Esto contradice la suposición que no\(x\) equivale a\(y\). Entonces si\(x\) y no\(y\) son equivalentes, no\(z\) pueden existir que sea simultáneamente en ambos\([x]\) y\([y]\). Por lo tanto\([x]\) y\([y]\) son conjuntos disarticulados, según se requiera.

Entonces, ¿qué hemos mostrado? No hemos demostrado que ninguna relación en particular sea una relación de equivalencia. Más bien hemos demostrado que cualquier relación de equivalencia en un conjunto divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas.

Como veremos a lo largo de este libro, y verás a lo largo de tus estudios matemáticos, esta es una herramienta sorprendentemente poderosa.

Definición. Pares disjuntas Let\(\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) be a family of sets. La familia es disjunta por pares si es por alguna\(\alpha, \beta \in A, \alpha \neq \beta\),\[X_{\alpha} \cap X_{\beta}=\emptyset .\] DEFINICIÓN. Partition Let\(Y\) Ser un conjunto y\(\mathcal{F}=\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) ser una familia de conjuntos no vacíos. La colección\(\mathcal{F}\) es una partición de\(Y\) si\(\mathcal{F}\) es disjunta por pares y\[Y=\bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha} .\] Dada una relación de equivalencia\(\sim\) en un conjunto\(X\), las clases de equivalencia con respecto a \(\sim\)dar una partición de\(X\). Por el contrario, las particiones dan lugar a relaciones de equivalencia.

Teorema 2.21

(i)\(X\) Sea un conjunto, y\(\sim\) una relación de equivalencia sobre\(X\). Entonces\(X / \sim\) es una partición de\(X\). (ii) Por el contrario, dejar\(\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) ser una partición de\(X\). Dejar\(\sim\) ser la relación en\(X\) definida por\(x \sim y\) siempre\(x\) y\(y\) son miembros del mismo conjunto en la partición. Entonces\(\sim\) es una relación de equivalencia.

PRUEBA. La parte (i) del teorema es Proposición\(2.19\) replanteada, y dimos la prueba anterior. Para probar lo contrario, debemos demostrar que la relación\(\sim\) definida como en la parte (ii) del teorema es una equivalencia.

Reflexivity: Vamos\(x \in X\). Entonces\(x\) está en algunos\(X_{\alpha_{0}}\), ya que la unión de todos estos conjuntos es todo de\(X\). Por lo tanto\(x \sim x\).

Simetría: Supongamos\(x \sim y\). Entonces hay algunos\(X_{\alpha_{0}}\) tales que\(x \in X_{\alpha_{0}}\) y\(y \in X_{\alpha_{0}}\). Esto implica que\(y \sim x\).

Transitividad: Supongamos\(x \sim y\) y\(y \sim z\). Después hay conjuntos\(X_{\alpha_{0}}\) y\(X_{\alpha_{1}}\) tal que ambos\(x\) y\(y\) están en\(X_{\alpha_{0}}\), y ambos\(y\) y\(z\) están en\(X_{\alpha_{1}}\). Pero como los conjuntos\(X_{\alpha}\) forman una partición, y\(y\) está en ambos\(X_{\alpha_{0}}\) y\(X_{\alpha_{1}}\), debemos tenerlo\(X_{\alpha_{0}}=X_{\alpha_{1}}\). Esto implica que\(x\) y\(z\) están en el mismo miembro de la partición, y así\(x \sim z\).