3.3: Fórmulas

Hablando vagamente, una fórmula es una expresión matemática con variables. Correspondiente a cada variable\(x_{i}\),, apareciendo en una fórmula es un universo\(U_{i}\),, del cual esa variable puede ser sustituida.

DEFINICIÓN. Fórmula abierta Una fórmula matemática abierta en variables\(x_{1}, \ldots, x_{n}\) es una expresión matemática en la que la sustitución del\(x_{i}(1 \leq i \leq n)\) por elementos específicos de\(U_{i}\) produce una declaración matemática.

EJEMPLO 3.8. Considera la fórmula,\[x^{2}+y^{2}=z^{2}\] en variables\(x, y\) y\(z\), todas con universo\(\mathbb{N}\). Cualquier sustitución de las variables con números naturales da como resultado una declaración. Por ejemplo,\[3^{2}+4^{2}=5^{2}\] o Por\[1^{2}+1^{2}=2^{2} .\] supuesto, las declaraciones pueden ser verdaderas o falsas, por lo que algunas sustituciones producen declaraciones verdaderas, mientras que otras darán declaraciones falsas.

Al discutir una fórmula general en\(n\) variables, podemos usar la notación\(P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\). Para\(1 \leq i \leq n\), deja\(U_{i}\) ser el universo de la variable\(x_{i}\), y\(a_{i} \in U_{i}\). El enunciado que resulta de la sustitución de\(a_{i}\) for\(x_{i}, 1 \leq i \leq n\), está escrito\(P\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\).

Si\(P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) es una fórmula en variables\(x_{1}, \ldots, x_{n}\), y para\(1 \leq i \leq\)\(n, U_{i}\) es el universo de\(x_{i}\), entonces podemos pensar en\(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) como una sola variable con universo\(U=\prod_{1 \leq i \leq n} U_{i}\).

Las fórmulas pueden cumplir muchos propósitos en matemáticas:

(1) Caracterizar las relaciones entre cantidades

(2) Definir cálculos (3) Definir conjuntos

(4) Definir funciones.

EJEMPLO 3.9. Considera una fórmula abierta\(P(x, y)\),, en dos variables,\[x^{2}+y^{2}=1,\] con universo\(\mathbb{R}^{2}\). Es decir, el universo de\(x\) es\(\mathbb{R}\) y el universo de\(y\) es\(\mathbb{R}\). Una forma de pensar\(P(x, y)\) es como un medio para particionar\(\mathbb{R}^{2}\) en dos conjuntos:

(1) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es verdadera, es decir, el círculo unitario;

(2) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es falsa, el complemento del círculo unitario en\(\mathbb{R}^{2}\).

DEFINICIÓN. Conjunto característico,\(\chi_{P}\) Let\(P(x)\) be a formula, y\(U\) el universo de la variable\(x\). Se escribe el subconjunto\(U\) para el que se\(P\) mantiene la fórmula\(\chi_{P}\). El conjunto\(\chi_{P}\) se llama el conjunto característico de\(P(x)\).

Entonces,\[\chi_{\neg P}=U \backslash \chi_{P} .\]

3.3.1. Fórmulas y Conectivos Proposicionales.

La lógica proposicional se extiende fácilmente a las fórmulas. Dejar\(P(x)\) y\(Q(x)\) ser fórmulas en la variable\(x\), con universo\(U\). Let\[R(x)=P(x) \wedge Q(x) .\] Entonces el conjunto característico de\(R(x)\) viene dado por\[\chi_{R}=\{a \in U \mid T(P(a) \wedge Q(a))=1\}\] De ahí\[\chi_{R}=\chi_{P} \cap \chi_{Q} .\] El conectivo proposicional\(\wedge\) está fuertemente asociado con la operación de conjunto\(\cap\). Del mismo modo\(\vee\) pueden estar asociados\(\cup, \neg\) con complemento (in\(U\)), y\(\Rightarrow\) con\(\subseteq\).