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3.3: Fórmulas

• Bob Dumas and John E. McCarthy
• University of Washington and Washington University in St. Louis

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Hablando vagamente, una fórmula es una expresión matemática con variables. Correspondiente a cada variable$$x_{i}$$,, apareciendo en una fórmula es un universo$$U_{i}$$,, del cual esa variable puede ser sustituida.

DEFINICIÓN. Fórmula abierta Una fórmula matemática abierta en variables$$x_{1}, \ldots, x_{n}$$ es una expresión matemática en la que la sustitución del$$x_{i}(1 \leq i \leq n)$$ por elementos específicos de$$U_{i}$$ produce una declaración matemática.

EJEMPLO 3.8. Considera la fórmula,$x^{2}+y^{2}=z^{2}$ en variables$$x, y$$ y$$z$$, todas con universo$$\mathbb{N}$$. Cualquier sustitución de las variables con números naturales da como resultado una declaración. Por ejemplo,$3^{2}+4^{2}=5^{2}$ o Por$1^{2}+1^{2}=2^{2} .$ supuesto, las declaraciones pueden ser verdaderas o falsas, por lo que algunas sustituciones producen declaraciones verdaderas, mientras que otras darán declaraciones falsas.

Al discutir una fórmula general en$$n$$ variables, podemos usar la notación$$P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$. Para$$1 \leq i \leq n$$, deja$$U_{i}$$ ser el universo de la variable$$x_{i}$$, y$$a_{i} \in U_{i}$$. El enunciado que resulta de la sustitución de$$a_{i}$$ for$$x_{i}, 1 \leq i \leq n$$, está escrito$$P\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$$.

Si$$P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$ es una fórmula en variables$$x_{1}, \ldots, x_{n}$$, y para$$1 \leq i \leq$$$$n, U_{i}$$ es el universo de$$x_{i}$$, entonces podemos pensar en$$\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$ como una sola variable con universo$$U=\prod_{1 \leq i \leq n} U_{i}$$.

Las fórmulas pueden cumplir muchos propósitos en matemáticas:

(1) Caracterizar las relaciones entre cantidades

(2) Definir cálculos (3) Definir conjuntos

(4) Definir funciones.

EJEMPLO 3.9. Considera una fórmula abierta$$P(x, y)$$,, en dos variables,$x^{2}+y^{2}=1,$ con universo$$\mathbb{R}^{2}$$. Es decir, el universo de$$x$$ es$$\mathbb{R}$$ y el universo de$$y$$ es$$\mathbb{R}$$. Una forma de pensar$$P(x, y)$$ es como un medio para particionar$$\mathbb{R}^{2}$$ en dos conjuntos:

(1) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es verdadera, es decir, el círculo unitario;

(2) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es falsa, el complemento del círculo unitario en$$\mathbb{R}^{2}$$.

DEFINICIÓN. Conjunto característico,$$\chi_{P}$$ Let$$P(x)$$ be a formula, y$$U$$ el universo de la variable$$x$$. Se escribe el subconjunto$$U$$ para el que se$$P$$ mantiene la fórmula$$\chi_{P}$$. El conjunto$$\chi_{P}$$ se llama el conjunto característico de$$P(x)$$.

Entonces,$\chi_{\neg P}=U \backslash \chi_{P} .$

3.3.1. Fórmulas y Conectivos Proposicionales.

La lógica proposicional se extiende fácilmente a las fórmulas. Dejar$$P(x)$$ y$$Q(x)$$ ser fórmulas en la variable$$x$$, con universo$$U$$. Let$R(x)=P(x) \wedge Q(x) .$ Entonces el conjunto característico de$$R(x)$$ viene dado por$\chi_{R}=\{a \in U \mid T(P(a) \wedge Q(a))=1\}$ De ahí$\chi_{R}=\chi_{P} \cap \chi_{Q} .$ El conectivo proposicional$$\wedge$$ está fuertemente asociado con la operación de conjunto$$\cap$$. Del mismo modo$$\vee$$ pueden estar asociados$$\cup, \neg$$ con complemento (in$$U$$), y$$\Rightarrow$$ con$$\subseteq$$.

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