3.3: Fórmulas

Hablando vagamente, una fórmula es una expresión matemática con variables. Correspondiente a cada variable$x_{i}$,, apareciendo en una fórmula es un universo$U_{i}$,, del cual esa variable puede ser sustituida.

DEFINICIÓN. Fórmula abierta Una fórmula matemática abierta en variables$x_{1}, \ldots, x_{n}$ es una expresión matemática en la que la sustitución del$x_{i}(1 \leq i \leq n)$ por elementos específicos de$U_{i}$ produce una declaración matemática.

EJEMPLO 3.8. Considera la fórmula, $$x^{2}+y^{2}=z^{2}$$ en variables$x, y$ y$z$, todas con universo$\mathbb{N}$. Cualquier sustitución de las variables con números naturales da como resultado una declaración. Por ejemplo, $$3^{2}+4^{2}=5^{2}$$ o Por $$1^{2}+1^{2}=2^{2} .$$ supuesto, las declaraciones pueden ser verdaderas o falsas, por lo que algunas sustituciones producen declaraciones verdaderas, mientras que otras darán declaraciones falsas.

Al discutir una fórmula general en$n$ variables, podemos usar la notación$P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Para$1 \leq i \leq n$, deja$U_{i}$ ser el universo de la variable$x_{i}$, y$a_{i} \in U_{i}$. El enunciado que resulta de la sustitución de$a_{i}$ for$x_{i}, 1 \leq i \leq n$, está escrito$P\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$.

Si$P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ es una fórmula en variables$x_{1}, \ldots, x_{n}$, y para$1 \leq i \leq$$n, U_{i}$ es el universo de$x_{i}$, entonces podemos pensar en$\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ como una sola variable con universo$U=\prod_{1 \leq i \leq n} U_{i}$.

Las fórmulas pueden cumplir muchos propósitos en matemáticas:

(1) Caracterizar las relaciones entre cantidades

(2) Definir cálculos (3) Definir conjuntos

(4) Definir funciones.

EJEMPLO 3.9. Considera una fórmula abierta$P(x, y)$,, en dos variables, $$x^{2}+y^{2}=1,$$ con universo$\mathbb{R}^{2}$. Es decir, el universo de$x$ es$\mathbb{R}$ y el universo de$y$ es$\mathbb{R}$. Una forma de pensar$P(x, y)$ es como un medio para particionar$\mathbb{R}^{2}$ en dos conjuntos:

(1) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es verdadera, es decir, el círculo unitario;

(2) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es falsa, el complemento del círculo unitario en$\mathbb{R}^{2}$.

DEFINICIÓN. Conjunto característico,$\chi_{P}$ Let$P(x)$ be a formula, y$U$ el universo de la variable$x$. Se escribe el subconjunto$U$ para el que se$P$ mantiene la fórmula$\chi_{P}$. El conjunto$\chi_{P}$ se llama el conjunto característico de$P(x)$.

Entonces, $$\chi_{\neg P}=U \backslash \chi_{P} .$$

3.3.1. Fórmulas y Conectivos Proposicionales.

La lógica proposicional se extiende fácilmente a las fórmulas. Dejar$P(x)$ y$Q(x)$ ser fórmulas en la variable$x$, con universo$U$. Let $$R(x)=P(x) \wedge Q(x) .$$ Entonces el conjunto característico de$R(x)$ viene dado por $$\chi_{R}=\{a \in U \mid T(P(a) \wedge Q(a))=1\}$$ De ahí $$\chi_{R}=\chi_{P} \cap \chi_{Q} .$$ El conectivo proposicional$\wedge$ está fuertemente asociado con la operación de conjunto$\cap$. Del mismo modo$\vee$ pueden estar asociados$\cup, \neg$ con complemento (in$U$), y$\Rightarrow$ con$\subseteq$.