4.3: Polinomios

Ahora utilizamos la maquinaria desarrollada en Sección\(4.2\) para emprender un modesto programa matemático. Como indicamos en el primer capítulo de este libro, la mayoría de ustedes, hasta ahora, han utilizado resultados matemáticos para resolver problemas en cómputos. Aquí nos interesa probar un resultado con el que te puede estar familiarizado.

Este resultado se refiere a polinomios con coeficientes reales (es decir, coeficientes que son números reales). Has pasado buena parte de tu vida matemática investigando polinomios, e indudablemente puedes hacer muchas afirmaciones interesantes y veraces sobre ellos. Pero, ¿qué tan seguro está de que estas afirmaciones son ciertas? Es posible que su creencia en estas afirmaciones sea, en general, mera confianza en las afirmaciones y creencias de expertos en la materia. En la práctica, se puede hacer peor que aceptar las aseveraciones de los especialistas, y las limitaciones prácticas generalmente nos obligan a aceptar muchas afirmaciones sobre la fe. Por supuesto, esta práctica conlleva riesgos. Durante cientos de años, las aseveraciones de Aristóteles fueron ampliamente aceptadas, muchas veces a pesar de la evidencia empírica de lo contrario. Naturalmente, seguimos aceptando muchas afirmaciones sobre la fe. En el caso de la ciencia moderna, generalmente no tenemos acceso de primera mano a la evidencia primaria en la que se basan las teorías científicas modernas. Las matemáticas son diferentes de cualquier otro campo del esfuerzo intelectual porque tienes la oportunidad de verificar prácticamente cada reclamo matemático que encuentres. Ahora estás en el punto de tu carrera matemática en el que puedes confirmar directamente los resultados matemáticos.

El teorema que deseamos probar es que el número de raíces reales de un polinomio real es a lo sumo el grado del polinomio. Es posible que esté familiarizado con esta afirmación, pero no esté seguro de por qué se sostiene. Este resultado es interesante, en parte, porque garantiza que la gráfica de un polinomio cruzará cualquier línea horizontal solo finitamente muchas veces. Dicho de otra manera, los conjuntos de niveles de polinomios no pueden tener más elementos que el grado del polinomio.

Notación. \(\mathbb{R}[x] \mathbb{R}[x]\)es el conjunto de polinomios con coeficientes reales en la variable\(x\).

TEOREMA 4.10. Dejar\(N \in \mathbb{N}\) y\(p \in \mathbb{R}[x]\) tener grado\(N \geq 1\). Entonces\(p\) tiene a lo sumo raíces\(N\) reales.

Discusión. Este resultado es lo suficientemente difícil como para que tengamos que probar tres resultados preliminares. Estos lemas\({ }^{2}\) se prueban dentro del argumento para el teorema. A lo largo del argumento estaremos investigando un polinomio general,\(p\), de grado\(N\).

\({ }^{2}\)Un lema es un resultado auxiliar que se utiliza en la prueba de un teorema, algo así como una subrutina. En alemán, un teorema se llama “Satz” y un lema se llama “Hilfsatz”, un “teorema auxiliar”. Comprobante. Primero probamos que la propiedad distributiva generaliza a un número arbitrario de summands.

LEMA 4.11. Dejar\(N \in \mathbb{N}^{+}\) y, para\(0 \leq n \leq N, a_{n} \in \mathbb{R}\). Si\(c \in \mathbb{R}\), entonces\[\sum_{n=0}^{N} c a_{n}=c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}\right) .\] Discusión. Este resultado generaliza la propiedad distributiva a más de dos summands. Estamos asumiendo la propiedad distributiva de los números reales: para\(a, b, c \in \mathbb{R}\),\[c \cdot(a+b)=c a+c b\] Probamos el lema por inducción. Es sorprendente que una afirmación que parece tan obvia utilice la poderosa maquinaria de inducción. Pero recuerden que estamos demostrando esto por todas las sumas finitas de arbitrariamente muchos summands. Por supuesto, puede sentir que el lema es del todo obvio. Si es así, deberías intentar producir tu propia prueba, o leer esta para practicar en inducción matemática en un contexto donde el contenido matemático sea fácil.

Argumentaremos por inducción sobre el número de términos en la suma. El caso base es para sumas con dos summands - esto es solo la propiedad distributiva. En el paso de inducción probamos el resultado condicional que si el lema tiene para todas las sumas con\(N\) términos, entonces se mantiene para todas las sumas con\(N+1\) términos. En cada paso del argumento (pasos base e inducción) estamos argumentando por infinitamente muchas afirmaciones concretas argumentando a favor de una sola afirmación abstracta.

Comprobante. Argumentamos por inducción sobre\(N\).

Estuche base:\(N=1\) Let\(c, a_{0}, a_{1} \in \mathbb{R}\). Por la propiedad distributiva, Paso\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^{1} c a_{n} &=c a_{0}+c a_{1} \\ &=c\left(a_{0}+a_{1}\right) \\ &=c\left(\sum_{n=0}^{1} a_{n}\right) . \end{aligned}\] de inducción:

Dejar\(c \in \mathbb{R}\) y\(a_{n} \in \mathbb{R}\), para\(0 \leq n \leq N+1\). \[\sum_{n=0}^{N} c a_{n}=c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}\right) .\]Asumimos Tenemos\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^{N+1} c a_{n} &=\left(\sum_{n=0}^{N} c a_{n}\right)+c a_{N+1} \\ &={ }_{I H} \quad c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}\right)+c a_{N+1} \end{aligned}\] Por la ley distributiva (para dos summands)\[\begin{aligned} c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}\right)+c a_{N+1} &=c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}+a_{N+1}\right) \\ &=c\left(\sum_{n=0}^{N+1} a_{n}\right) . \end{aligned}\] Por lo tanto,\[\sum_{n=0}^{N+1} c a_{n}=c\left(\sum_{n=0}^{N+1} a_{n}\right) .\] Por el principio de inducción el resultado se mantiene para todos\(N \in \mathbb{N}\). LEMA 4.12. Si\(x, y \in \mathbb{R}\) y\(n \in \mathbb{N}^{+}\), luego\[\begin{aligned} x^{n}-y^{n} &=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2} y+\cdots+x y^{n-2}+y^{n-1}\right) \\ &=(x-y)\left(\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} y^{j}\right) . \end{aligned}\] Discusión. La notación en la última línea del lema significa que la suma se toma sobre todos los números naturales\(i\) y\(j\) que tienen la propiedad que\(i+j=n-1\).

PRUEBA. Por Lema 4.11,\[\begin{aligned} (x-y)\left(\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} y^{j}\right) &=x\left(\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} y^{j}\right)-y\left(\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} y^{j}\right) \\ &=\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i+1} y^{j}-\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} y^{j+1} \\ &=x^{n}-y^{n} . \end{aligned}\] El siguiente lema asocia raíces de polinomios y factores lineales.

LEMA 4.13. Dejar\(p\) ser un polinomio de grado\(N\). Un número real,\(c\), es una raíz de\(p\) iff\[p(x)=(x-c) q(x),\] donde\(q(x)\) es un polinomio de grado\(N-1\).

Discusión. Este lema es una declaración bicondicional. Es decir, el lema es proposicionalmente equivalente a la conjunción de dos declaraciones condicionales. Demostramos las declaraciones condicionales de forma independiente. Una de las declaraciones condicionales es obvia (¿puedes determinar cuál?). La declaración condicional más difícil utilizará Lemma 4.12. Al probar un bicondicional,\(P \Longleftrightarrow Q\), al probar las declaraciones condicionales\(P \Rightarrow Q\) y\(Q \Rightarrow P\), a menudo usamos\((\Rightarrow)\) y\((\Leftarrow)\) para identificar la declaración condicional bajo consideración. Comprobante. Dejar\(p\) ser un polinomio de grado\(N\). Luego hay\(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{N} \in\)\(\mathbb{R}, a_{N} \neq 0\), tal que,\[p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n} .\] (\(\Leftarrow\)) Supongamos que hay\(c \in \mathbb{R}\) y un polinomio\(q\) de grado\(N-1\) tal que\[p(x)=(x-c) q(x) .\] Entonces \[p(c)=(c-c) q(c)=0 .\]Entonces\(c\) es una raíz de\(p\).

\((\Rightarrow)\)Dejar\(c \in \mathbb{R}\) ser una raíz de\(p\). Entonces\[\begin{aligned} p(x) &=p(x)-p(c) \\ &=a_{0}-a_{0}+\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(x^{n}-c^{n}\right) \\ &=\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(x^{n}-c^{n}\right) . \end{aligned}\] Por Lema 4.12, para\(n \geq 1\),\[x^{n}-c^{n}=(x-c) q_{n}(x)\] donde\[q_{n}(x)=x^{n-1}+c x^{n-2}+\cdots+c^{n-2} x+c^{n-1}=\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} c^{j} .\] Por Lema 4.11,\[p(x)=\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(x^{n}-c^{n}\right)=(x-c) \sum_{n=1}^{N} a_{n} q_{n}(x) .\] Let\[q(x)=\sum_{n=1}^{N} a_{n} q_{n}(x) .\] Para todos\(n\) entre 1 y\(N, q_{n}(x)\) tiene grado\((n-1)\). Entonces el grado de\(q(x)\) es menor que\(N\). Sin embargo el coeficiente de\(x^{N-1}\) in\(q(x)\) es\(a_{N}\), y\(a_{N} \neq 0\) por suposición. Entonces el grado de\(q(x)\) es\(N-1\), y\[p(x)=(x-c) q(x) .\] completamos la prueba del teorema. Dejar\(p\) ser un polinomio de grado\(N\). Argumentamos por inducción sobre el grado de\(p\).

Caso base:\(N=1\).

Si\(p\) es un polinomio de grado 1, entonces es de la forma\[p(x)=a_{1} x+a_{0},\] y la única raíz es\(-a_{0} / a_{1}\).

Paso de inducción:

Supongamos que el teorema se sostiene para\(N \in \mathbb{N}^{+}\). Dejar\(p\) tener grado\(N+1\). Si no\(p\) tiene raíces, el teorema se sostiene para\(p\). Entonces supongamos que\(p\) tiene una raíz real,\(c \in \mathbb{R}\). Por Lemma\(4.13\),\[p(x)=(x-c) q(x),\] donde\(q\) es de grado\(N\). Por la hipótesis de inducción,\(q\) tiene a lo sumo raíces\(N\) reales. Si\(x\) es una raíz de\(p\), entonces por (4.14) o bien\(x\) es una raíz de\(q\) o\(x=c\). Por lo tanto\(p\) tiene como máximo\(N+1\) raíces, demostrando el paso de inducción.

Como función, un polinomio en una variable particular es lo mismo que un polinomio con los mismos coeficientes en una variable diferente. Dejar\(p \in \mathbb{R}[x]\) ser\[p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n},\] y\(q \in \mathbb{R}[y]\) ser\[q(y)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} y^{n} .\] Entonces como funciones reales\(p\) y\(q\) son la misma función. Es decir,\[\operatorname{graph}(p)=\operatorname{graph}(q) .\] como objetos algebraicos, sin embargo, ocasionalmente se podría desear distinguir entre polinomios en distintas variables.

Terminamos esta sección demostrando que los polinomios son iguales como funciones si y sólo si tienen los mismos coeficientes.

COROLARIO 4.15. Vamos\(p, q \in \mathbb{R}[x]\). Los coeficientes de\(p\) y\(q\) son iguales iff\[(\forall x \in \mathbb{R}) \quad p(x)=q(x) .\] Prueba. \((\Rightarrow)\)Si los coeficientes de\(p\) y\(q\) son todos iguales, entonces, dejando\(a_{n}\) denotar el\(n^{\text {th }}\) coeficiente, tenemos\[(\forall x \in \mathbb{R}) p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n}=q(x) .\] (\(\Leftarrow\)) Supongamos\((\forall x \in \mathbb{R}) p(x)=q(x)\). Entonces\(p-q\) es un polinomio con infinitamente muchas raíces. Si\(p\) y en\(q\) desacuerdo sobre algún coeficiente, entonces\(p-q\) es un polinomio distinto de cero, tiene un grado, y por Teorema 4.10, finitamente muchas raíces. Por lo tanto,\(p\) y\(q\) deben acordar todos los coeficientes.